解析几何第一章课件.ppt

1、解析几何解析几何讲授:钟春平Email:总评成绩期中成绩期末成绩平时成绩交作业时间:每周习题课时交给助教第1页，共63页。教学课时安排教学课时安排教材章节课时数第一章：向量代数 6第二章：空间解析几何 14第三章：坐标变换与二次曲线的分类 12第四章：保距变换与仿射变换 12第五章：射影几何初步 8第2页，共63页。域。何和微分几何这两大领几化，并从中发展出代数世纪就已经完备和定型在门学科法来研究几何对象。这法的同时，运用代数方方学分支，它在采用坐标解析几何是这样一个数什么是解析几何？笛卡儿。惹耐者是德国数学家世纪前半叶，主要创立产生于解析几何的诞生192171 .第3页，共63页。第一章 向

2、量代数算来解决。运描述，然后利用向量的：把几何问题用向量来程来表示。，从而几何图形可用方的点就可用坐标来表示中坐标系，平面（空间）：在平面（空间）建立向向量量法法坐坐标标法法第4页，共63页。1 向量的线性运算 1.1 向量的概念、记号和几何表示单位向量。（正交），有向线段，两个向量的平行、垂直度，零向量，反向量，数量，向量，向量的长第5页，共63页。.,:.,法法则则三三角角形形定定义义1 1.1 1方法称为加法的这种求两个向量之和的则作任取一点规定如下记作的和也是一个向量与两个向量向量的加法ACBCABA 1.,:ACABCDADABADABA则作平行四边形为两边和以线段作取定一点平平行行

3、四四边边形形法法则则1.2向量的线性运算第6页，共63页。).(,.)(:,.)(,);()(;,得在上式两边加上它满足等式记作的差也是一个向量与两个向量的逆运算向量的减法是向量加法有等式：即对任何向量结合律向量加法满足交换律和00,第7页，共63页。.,;,0 ;,0 .|.简称数乘的乘法这种运算叫做数与向量反向与则若同向与则若方向为其大小为记作的乘积是一个向量，与实数向量 定义1.2定义1.22.向量与数乘积第8页，共63页。.,.:,1 ,|,.,有都不为零时并且两两平行当时有都平行于则当记作以后把这个数注反向与当同向与当这里事实上只需取使实数则必存在并且向量若反之由定义，1,/0 0,

4、/第9页，共63页。.)(;)()(;)()(1)(2)10)(,.,)()(5431有等式和实数意的向量算规律：对任数乘向量还满足以下运或得由定义;0 00 0第10页，共63页。.,.11111分解，可对就说，使得，若存在一组实数）的线性组合，的（系数为，为称向量是一组实数，是一组向量，设n n1 1n n1 1n n1 1n n1 1n n1 1nnnnn1.3向量的分解第11页，共63页。.)1(一分解，并且分解方式唯对都可以不共面，则任何向量如果一分解，并且分解方式唯可以对行，则不平共面，并且如果三个向量。一平面，则称它们共面如果一组向量平行于同一直线，则它们共线；如果一组向量平行于

5、同,.,(2)定定理理)定定理理1 1.1 1(向向量量分分解解第12页，共63页。.,0 0,)()(,.,0 0,0 0,/,C C,矛盾平行于是不全为零与但则有若另有分解式从而使存在实数于是从而不平行与但由于于是决定的直线交于点的直线与点作平行于过令证明/,/,)1(:DCODDCODDAOOBOCOBOA第13页，共63页。.,0 0,)()()(,.,(1 1),矛盾共面于是不全为零但则有若另有分解式即可分解对从而可分解对知由于是于点决定的平面交的直线与点作平行于过令证明,/,)2(:EDOEOEEDEBAOOCDODOCOBOA.基础可以说是仿射几何学的也射坐标系的理论基础，注：分

6、解定理是建立仿第14页，共63页。.,0 0,使得不全为零的实数存在共面的充分必要条件是向量命命题题1 1.1 1第15页，共63页。.)1(,.1,OBsOAsOCsOBOAOCBACBAO使得即存在实数并且分解系数之和等于可分解，对量的充分必要条件是：向共线和不共线，则点假设命命题题1 1.2 21.4 在三点共线问题上的应用第16页，共63页。.),(.),(),()(,),)(,()(.),(,),(;),(,).,.,.sssCBABCACBACABCBACBACCBACBACCBAABCCBACCBAABCBCCBABACABACsBACs1121121的关系是与并且易知，简单比用

7、向量表示即为的长度之比。和绝对值等于线段是负数之外时，在线段当点的长度之比和就是线段的内点时，为线段并且当点不同时才有意义它只在记作（量个数所在直线上的位置的一在点也是反映点）（所在直线上的位置，即在点反映了点中的数命题 简简单单比比定定比比第17页，共63页。).,(),(),(),(,),(),(.,OFBODCOEAECBFACDBAOCDBFAEACBCABFEDABC和求已知交于一点和边上，使得线段分别在中，点设三角形21 例例1 1.3 3第18页，共63页。.,;.,)(,.,.,;,仿射坐标系仿射坐标系空间空间仿射坐标仿射坐标定位向量定位向量坐标向量坐标向量原点原点仿射标架仿射

8、标架定义1.3定义1.3决定的标架的对应关系称为由仿射三元有序数组这样得到的空间的点与架的关于上述仿射标组称为点分解系数构成的有序数的对的称为把向量意一点对于空间的任为它的，称它的为称，记作构成空间的一个一起与三个不共面向量空间中一点321321321321321e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee eOAAOAAOOO 2 仿射坐标系2.1仿射坐标系的定义第19页，共63页。的点的坐标符号如下：，各个卦限称为八个将空间分称八个部分，三张坐标面称为两条坐标轴决定的平面；和轴，它们分别平行于轴和轴，别称为。三条坐标轴分为方向为正方向的数轴称其平行

9、于坐标向量，并以（并且以其为零点），后，把经过原点取定仿射标架的坐标即为则点如果卦卦限限坐坐标标平平面面坐坐标标轴轴321321321e ee ee ee ee ee ee ee ee e,;).,(,zyxOOzyxPzyxOP 第20页，共63页。IIIIIIIVVVIVII VIIIx+-+-+y+-+-z+-第21页，共63页。).,(),(),(,).,(,(2);,(1),(),(,.,;332211321321321332211321321321abababABbbbaaaBAaaababababbbaaaO的坐标为则向量，的坐标分别是设点的坐标为对任何实数的坐标为则，的坐标分别

10、是设向量系取定一个空间仿射坐标 推推论论定定理理1 1.2 2e ee ee e2.2 向量的坐标第22页，共63页。的坐标。求为的坐标的重心，是由点组设点例的坐标。求点坐标分别为的又设共线，并且设例MnizyxAAAAMCbbbaaaBACBACBAiiiin,),(,.),(),(,.),(,.21514121321321 第23页，共63页。2.3 几何应用举例.),(),(,0221122112211222111zxzxzyzyyxyxzyxzyx /,则和的坐标分别为向量设在空间仿射坐标系中。问题的计算过程数量化何量的线性运算就可把几有了仿射坐标系，用向例例1 1.6 6第24页，共

11、63页。.,),(),(),(,;0111212121212121321 cc bb aaCBAccbbaaCBAO 三点共线则的坐标分别为上的三点系上的一个平面仿射坐标是平面设e ee ee e例例1 1.7 7第25页，共63页。.),(,.),(.,;,.,12212121121ccCBAccBACOBcOAcOCccCOBOAOBAOCBA 有并且在共线时共线的充分必要条件是与根据命题则为点在此坐标系中的坐标设作平面上的仿射坐标系不共线和点上的取上的三个不同的点是平面设第26页，共63页。.,:).,(),(),(),(,1 件是三点共线的充分必要条试用坐标法证明记见下图都不是上依次在

12、直线点是三个不共线的点设RQPRACQCBPBACBACABCABRQPCBAa au us s定定理理)例例1 1.8 8(MMe en ne el l第27页，共63页。.01,7.1.1,11),(;11,0),(,;0,1,1),(,;:共线的充分必要条件是的结论可得利用例题点的仿射坐标为可得由点的仿射坐标为可得由类似地点的仿射坐标为于是得由取仿射坐标系证明RQPQQCBRRACPABAPPBAACABA第28页，共63页。?),(,)(.,:).,(),(),(,)(结论是否仍然成立是各边的内点未必上的点依次是如果要条件为交于一点的充分必三条线段证明记的内点的边依次为设CABCABF

13、EDCDBFAEFACECBDBACABCABABCFED211 理理)例例1 1.9 9(C Ce ev va a定定第29页，共63页。.1,0)1)(1(,.1)1(,1,)1()1(,.11,01,)1(1,),(,),().0,1(),1,0(,0,1,.,;.,:即共线等价于于是可求得共线可求得由点的坐标为故可设线段上点的均在过因和为的坐标分别可得利用的坐标分别为容易求得的坐标中求出在仿射坐标系共线等价于三点交于一点于是线段点相交于设证明FOBxxOCDxxOAOEFEFACECBDCBFOBACADAFOBCDBFAEOCDAE第30页，共63页。.,cos ,cos ,.,0,

14、/,000212121e e|e ee ee e|e e|e ee e.e ee e,e e,e eeeeepppp即则记何夹角为它们的几是两个非零向量，记，设一的容易证明以上分解是唯和影，分别记作方向上的内投影和外投在分别为和则称使得式解是一个非零向量，作分是一个向量，设定定义义1 1.4 43 向量的内积3.1 向量的投影第31页，共63页。.)()()2(.)()(1 ,eeeeeeeeeepppppppppp，和实数对任意向量）对任意两个向量（性质，即投影具有 线性 命命题题1 1.3 3第32页，共63页。.|)6(|)3(,cos|)5(|,cos )4()1(,.,cos|;0,

15、.,00pp0 (2)易知否则中有零向量时，当的内积是个实数，记作两个向量 定定义义1 1.5 53.2 内积的定义第33页，共63页。.)()()();()()()(,21有等式和实数对任意向量定定理理1 1.3 33.3 内积的双线性性质第34页，共63页。.),(,.abDBAbACaBCCABCCD证明边长为边长为的分角线，的角是设交于一点证明三角形的三条高线理用内积运算证明余弦定 例1.12例1.12例1.11例1.11例1.10例1.10第35页，共63页。.cos,|,0 ,1,.)()()(,2322212322213322112322213322112333332233222

16、223113312112211111332211332211bbbaaabababaaaabababajibabababababababababbbaaajii,e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e可得由下特别地，在直角坐标系则设3.4 用坐标计算内积第36页，共63页。.,.),4,2(),3,7(),1,1(,dFECDABFEaABCDACBAABC的距离的中点，求分别是棱的边长为正四面体求的坐标分别为的顶点，设在平面直角坐标系中例1.14 例例1 1.1 13 3第37页，共63页。.,标系都是可

17、定向的任何空间仿射坐的定向这就是三个不共面向量是左手系则称是左手系若是右手系是右手系，则称若看它们所指的该平面的那一侧在在一张平面上放如果把量是空间三个不共面的向设是左手系右侧，则称指向观察者的是右手系；观察者的左侧，则称指向的方向时当观察者面朝不共线设 ,;,.,:4 向量的外积4.1 三个不共面向量的定向第38页，共63页。.-./,|,)(.,),(sin反交换性显然，成右手系构并且都垂直它和不平行时当平行时，故所夹平行四边形的面积即它的长度，作的外积是一个向量，记两个向量0 00 0 定义1.6定义1.64.2外积的定义第39页，共63页。.,;,|,)()()2()()()1(.|9

18、0,.0;9000)(有等式和实数对任意向量倍量的而得的向旋转绕就是则如果则有若得到的向量而旋转绕就是则垂直于并且为单位向量若由内积的定义可知定定理理1 1.4 4引引理理pp0 0 ,4.3外积的双线性性质第40页，共63页。.,;.),(),(,;212131313232321212313113232321212121133131323232321321321bbaabbaabbaabbaabbaabbaaObbaabbaabbaabbbaaaO 的坐标为此时则为直角坐标系如果则和的坐标分别为和为仿射坐标系设e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee

19、ee e4.4 用坐标计算外积第41页，共63页。.,.).,(),(),(,成比例这里两个方程的系数不解方程组的面积求为的坐标依次点设在右手直角坐标系中00501223211222111zcybxazcybxaSABCCBA 例1.16例1.16例1.15例1.15第42页，共63页。).()()();()()()(;)()(:.),(,),(,.,),(,32013共面混合积的常用性质构成左手系若构成右手系若则平行六面体的体积棱条顶点引出的为平行六面体从同一个设几何意义它有明确的混合积是个数记为的混合积所得结果称为向量作内积与向量V5 向量的多重乘积 5.1混合积第43页，共63页。).,

20、()(.,),(),(),(,;321321321321212121133131323232321321321321e ee ee e,e ee ee ee ee ee ee ee ee e,cccbbbaaabbaabbaabbaacccbbbaaaO 于是则坐标依次为中的在仿射坐标系设向量5.2 用坐标计算混合积第44页，共63页。.),(),(),(,;0321321321321321321321cccbbbaaacccbbbaaaO 共面的充分必要条件为量组则向中的坐标依次为在某个仿射坐标系设向量,e ee ee e,命命题题1 1.5 5.)(),(),(),(,;321321321

21、321321321321cccbbbaaacccbbbaaaO ,e ee ee e,则中的坐标依次为在右手直角坐标系如果向量命命题题1 1.6 6第45页，共63页。.)()()()()()(,)1(,.)()()()2(;)()()()1(,.)()(,则成立若显然有等式对任意向量它是个向量外积的运算称为向量的二重和形如命命题题1 1.4 45.3 二重外积第46页，共63页。.e ee ee e)()()(.)()(,)()(,)()()()()()()()().,()(),(),(),(),(,;).1(:3332221111111133221332213113312212233213

22、21321321321321321于是同理可得则并设取右手直角坐标系只证明cbhcbhcbbaccabbabaccacabcbcbacbcbadadahhhhdddcccbbbaaaO证证明明第47页，共63页。).)()()()()()()(:.)()(,证明等式证明拉格朗日恒对任意四个向量例例1 1.1 17 7第48页，共63页。.,共面共面注：这个例题说明从而而因为证明并且是右手系面也不共则不共面如果.0),(),)(,()()()()()()()()()()()()(:.2例例1 1.1 18 8第49页，共63页。.0333222111333322221111cbacbacbadz

23、cybxadzcybxadzcybxa 件是有唯一解的充分必要条证明三元一次方程组例例1 1.1 19 9第50页，共63页。.,)1(,)1(),()()()(0)1(),(,51:),(),(),(),(,;:321321321321321不共面于是矛盾的解不唯一从而的解也是方程这表明于是又有使得则存在不全为零的实数共面若亦即设方程组有唯一解一方程组的解存在并且唯再由向量分解定理可知不共面命题由程组则方程组可写为向量方依次为的坐标设取仿射坐标系证明,.,e e,e e,e etzsyrxtzsyrxtsrr,s,tzyxzyx.zyxdddcccbbbaaaO第51页，共63页。.2 ,0

24、,0 ,:.6PQBDACQDBPQCAPCDABQPQDPQBPBDQCPQAPAC故从而的中点和分别为线段因如图证明答习题1.1部分习题解.)1(,(1)0,1;,2;,1.:.7121121211ONnOAOAOAONANANANnAAMnAMnnnn且对任意的点满足即存在唯一的点成立设命题对结论成立的中点为线段取时结论成立取时用数学归纳法对证明第52页，共63页。.,.11),(,0)1(,)1(,)1(,.0 ,11112111111111111OMnMAMAOMnMAOMMAOMOAOAOnMANMANMAMNnMANANANAMNnMAMAMANAMNMANAMNMAMAMAMA

25、MAAAnnnnnnnnnnnnnnnnn有对任意的点显然且三点共线即可得式从而由又有利用另一方面则有的重心为设第53页，共63页。.,7.022 ,.8四点的重心为，立知由习题得则由的中点为设线段DCBAEEQEPEDECEBEAQDEQEDQCEQECPBEPEBPAEPEAEPQ的重心。交于对对棱的中点连线段相由此可知四面体的三的重心，从而，也是的中点的中点，则，分别为，并设和四点的重心；若取对棱为知则由习题的中点为的中点，设和分别为设和如图：设取对棱DCBAMMDCBAMGHBCADHGBCADDCBAMMEFCDABFECDAB,;,8,.921211第54页，共63页。的重心。为，

26、从而上，且在类似可证上在中线从而即，另一方面又有得则由边上的中点分别为的重心，为证明：设ABCPPFAPPGBPBGAFPCEPPECPPBPAPECPPBPAPCPBPACABCABGFECBAP2,2,;,221,0,.10第55页，共63页。的重心。，为即，从而矛盾！三点共线重合，得出与从而必有如图否则，但从而有则有设正多边形的对中心为nnnnnnnnAAOOAOAOAAAAAPOPOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAOAO121121122112114533422310 ),22:,(2,0)2(,.11第56页，共63页。.)(,0)(,)

27、()(,)()()(,0,.14.32),(023 ,0,0,0 .5,4,3,2,1,.12211121222111111111211211154315151OOnAfABOAfOfAfOOOAfOAfOAOAfOAfABOAOOOBBAAPNMPNPMNAMAPAiNAPNPAiMAPMPAPAAniiiniiniiiiniiniiiniiiniiniinniiiiiiiiii从而故是一一映射而但故，则和分别为的重心和证明：设点组，即得及则由的重心为解：设第57页，共63页。.,0)(,0,0)(00.0)1(,0,:.15共线从而否则不全为零显然及由使存在实数则由共线设证明CBACBCA

28、OCOBOAOCOBOAOCOBOAOAOCOAOBACABACCBA第58页，共63页。.,15,0)(,1,.0,0,15,0,:.16321332123211321321321321共面和从而共线知从而由习题得则由使满足若存在实数得故由必有由习题不共线从而必有不共面但因使数从而存在不全为零的实共面可知向量共面和由证明CBADCBADCDBDAOCOBOAODOCOBOAODOCOBOAODODOCODOBODOACBAOCBADCDBDADCDBDACBAD第59页，共63页。.,0 ,0)(,0 ,0,.0)(0,0,:.17321321321321321共面从而亦即则有并且使设存在不

29、全为零的实数也即亦即使数从而存在不全为零的实共面可知向量共面由证明DCBADCDBDAODOCOBOAODOCOBOAODOCOBOAODOCODOBODOADCDBDADCDBDADCBA第60页，共63页。.78),(,23),(,5253.158,14389,4389,3,21),(,23,2),(,4143,31),(:.19GDAGFEAEAFAGxxEGFADxAGAEAFADAEACECAAFABFBAACABADDCB故从而解得共线可知则由设从而可知由可知由可知由解第61页，共63页。.23),(,5352,5),(.56,12131,21312121,.2),(,1),(,2

30、121,23,12131,2131,4331),(,32312),(:.20EACBABCBEOEByyyCEABAyBCyBAyBDyBEBOyBEDCBODABABDBOxxDOABABDxBOBDxBCBABFFBABFBCBOOFC即从而故共线得由则再设因此从而故共线知由则设由由解第62页，共63页。.1),(,1),(11 )1(1,)1()1(,)1(,)1(:.212211212121122112211ssECBssDEAsssssssOCOBOAODOCOBOAOCsOBssOAsODOCsOBsOEOEsOAsOD因此从而有的分解式唯一关于不共面由于则设解第63页，共63页。