湘豫名校联考2023届高三8月入学摸底考试理科数学试题答案.doc

1、湘 豫 名 校 联 考!年 #月 高 三 秋 季 入 学 摸 底 考 试数 学 !理 科 参 考 答 案一 #选 择 题 $本 题 共 !#小 题 %每 小 题 $分 %共 %&分 $在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 %只有 一 项 符 合 题 目 要 求$! # ( $ % ) * !& ! !#+ , - . , . , - + + . ,&解 析 因 为 集 合 #所 以 !又 因 为! ! ! !+ / # #0! ! / # #0! ! / # & # # %/ # 0#! # $ % % % %$#所 以 !故 选$ % ! # ! %/ # 0# # # +1& $

2、 % %$&解 析 若 两 条 平 行 线 中 的 一 条 垂 直 于 一 个 平 面 #则 另 一 条 也 垂 直 于 该 平 面 !所 以 由 可 得& & # #!, & ! (! (!充 分 性 成 立 (反 之 亦 成 立 !所 以 是 成 立 的 充 要 条 件 !故 选& & ,!(! (!&解 析 由 随 机 变 量 %#及 正 态 分 布 的 对 称 性 #知$# $ % $ % #!- % # ( ! # /( # /&! ! # % & % & 所 以 /&!#!故 选( ! /&!$0( ! # -!$ % $ %& % & &解 析 由 函 数 #可 得$ % $ %

3、 $ %# 0#(!. # /2 02 3456#3* 0# 3 # /#*!) ) )因 为 #所 以 /!3/(/#* !所 以 */#!故 选! !76 76/ 076 / 76 /! 76 3 .1$ % # $ % $ % ) ) ) ) )! ! &解 析 由 题 可 知 #两 边 取 模 #得 & /#!所 以$ % %$槡&$!, !35 / #5 &/!&!#!&所 以 槡的 展 开 式 的 通 项 为# #0! #!&0 $, ,+ /+ 0# #,3! !&$ %#!令 #解 得 ,/#!所 以 展 开 式 中 的 常 数 项 是 / !&!故 选 !&0 $,# #/&

4、 + 8 0# ,1!&$ %#&解 析 由 题 意 可 知 #函 数 0# 的 定 义 域 为$ % $# %!%!. # /#76#3 & 3 ! 9)#因 为 &恒 成 立 #所 以 %在 %上 单 调 递 减# ! !$ % $ $#0!) )- # / 0 0!/ 0 # & 3 !#! % 9# #0! &#*则 由 %可 得 解 得 !故 选#$ % $#0! !0# # .!0# &# ) )& & &)#+# #0! !0#&解 析 因 为 数 列 是 递 增 的 等 差 数 列 #所 以 数 列 的 公 差! !)!, * * . &! #& &#由 题 意 得 解 得 .

5、/或 $舍 去* 3./$!* /# * /$./& ! !# # %#$ % $ %#* 3#. /* * 3 !&.! ! !所 以* /#3&0! / &0!&$ %所 以! ! ! ! !/ / / / !&! 0* &0! &3# &0! &3#& &3!$ %$ %所 以 !故 选 ! ! ! ! ! ! ! &0 / 3/ 3/ 3 3/ / /& ! # &)! 0 3 0 3 3 0),! # $ $ &0! &3# %&3(&解 析 设 %#由 函 数 图 象 #知 + $ % $ %$ # # # !- # /1456 #3 1 & & 1/# / 0 0 /! $ !

6、# $# !&)! # !# !# #数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页!所 以 /#!所 以#+/ / # /#456 #3 !$ !# $ % $ %)+又 函 数 图 象 过 点 #所 以$ $ #0# 3# 456 #8 / 0#! ! ! !# !#所 以 #解 得$ # 3 / #2 3 2 ! /#2 3 2 ! , ! ,# #% # 因 为 #所 以 !所 以 !所 以 !故 选# # ! !& !/ # / #456 # / #456# / &/# / -!)$ % # #! ! #3 #3% # # ! !&解 析 根 据 题 意 #可 先 把 (名

7、 &熟 手 分 为 人 数 为 ! 的 三 组 #再 分 配 到 个 检 测 点 #共 有#*+ + +( # !*!+ #!, #,# ! !种 分 法#然 后 把 #名 &生 手 分 配 到 个 检 测 点 中 的 # 个 #有 种 分 法#,#所 以 共 有, , / #!% 种+ + +( # ! #* *#,#不 同 的 分 配 方 案 !故 选 +!# #&解 析 令 $ %#则$ % $ %$ %* $ %* $ % $ % ) ) ) ) )# - # 2 0 # 2 - # 0 #!&!+ # / - # / / !3 3# # #2 2 2因 为 #所 以 #函 数 %在

8、上 单 调 递 增$ % $ % $ % $ ) ) 3 3- # 0 # & - # & # !# #对 于 #因 为 %#即 % #整 理 得 # 恒 成 立 (对 于 #因 为 #所 以$ $% ) )# !$% $ $ % * $ %# ! # 2 ! ! 76 # # # # # $ #3 3 ) )# !2 2! 76 # 76# # 槡% $ $ % ) ) )$% $ $% * $ %# #! 76# / # ! 2 76 # ! 76 #%#即 $ % #整 理 得 $ 恒 成 立 (对 于 #因 为 3 3 ) )# # # %! 76 #2 2#所 以$%! 76 #$

9、槡%#即3 3#$! 76 #% %#整 理 得 槡$ 槡 $ 槡% % 错 误76 # $ 槡) ) )槡 #/ ! 2 76 #) )$% * %#!# #76 #槡22#!所 以 恒 成 立 的不 等 式 有 #和 #共 #个 !故 选$+!&解 析 如 图 145 所 在 圆 ! 即 为 145 的 外 接 圆#!. 6 ! - -设 圆 ! 的 半 径 为 #则 #解 得, 槡#6 , , /% / %! 因 为 145 为 等 边 三 角 形 #所 以1/4/5/ %&7 14/45/15 !# -由 正 弦 定 理 可 得 #解 得14 槡 14/#, /#!456 %&7所 以

10、槡 槡! ! * * % $槡 #$槡 #0 / 14 15 4561/ 8 # 8 / !-145* * %# # # #如 图 #当 8 三 点 共 线 时 #三 棱 锥 80145 的 体 积 最 大 #最 大 值 为 槡#此 时 (平 面 #三 棱 锥 的 6 6 * 86 145! !# #高9 最 大#且 有槡! * 89 槡#解 得8 /* #9/%!设 球 6 的 半 径 为 #在 1 中 #解 得# # #): :; 66 %0: 3, /: :/-!#$ %!#所 以 球 6 的 体 积 !故 选( ( ) (;/ : / 8 / .! ! # %&解 析 如 图 #设 8

11、 为 % 的 中 点 #连 接!#!, 8!#易 知 #所 以 #所 以/. . ././. ././. 3 %/# 8 3 % %/# 8 %/& 8 %!# # # # # # #$ %* *(因 为 8 为 % 的 中 点 #所 以 / % !# #设 #因 为 #所 以 / % /= 0 / #* /=0 #*!# # # ! !因 为 #所 以 % 0 % / #* % /=3#*! # !所 以 % / % 0 /(*! !因 为 8 是 % 的 中 点# # 8 / 3 8 ! !数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页#所 以8 / %8 / #* 8 /=!#

12、! 在 8 中槡# #:; 0=在 8 中槡# #:; 0=/槡#解 得# #= 0 (*#= / #*#3 #!所 以槡# # 0 #*槡# # !因 为 直 线?的 斜 率 为 槡#所 以槡# # 0 #*;6 8 / /0! #槡槡#所 以/ #* 3#0*/#!# # /#* !所 以 离 心 率 为 槡!故 选 #,!二 #填 空 题 $本 题 共 (小 题 %每 小 题 $分 %共 #&分!槡&解 析 因 为 #所 以 #解 得 /%!所 以 #所 以 !&! 1 & & ! 8#0 /& / % # !0/ 0 0! !0 /$# %# $ # %槡# 槡$ % $ %0 3 0

13、!/ !&! &解 析 方 法 一 +过 点 分 别 向 抛 物 线 的 准 线 作 垂 线 #垂 足 分 别 为 #因 为 点 的 横 坐 标!(!% 1 4 1 4 # # # # ! ! !为 #所 以 /!所 以# 14 / 1 3 4 !$ %$ % $ %$ %&3* / 3# &3* &3! *&3 3 !&因 为 #所 以 #当 且 仅 当 &/时 成 立2*& # &3 % / !, 3&所 以 !故 2 的 最 小 值 为/ 3!&! ! !/%!$ %$ %&3* / 3# * !% !%&3 3!&$#,&解 析 不 等 式 3# 可 变 形 为0*76#!# * #

14、* *76#!%!&2 2 3*76# # 2 0# # 0*76#/2! 3 3因 为 &且 #所 以* # ! *76# &!# # #令 %#则 &!所 以 函 数 %在 %上 单 调 递 增B B$% $ $% $ $#B /2 0BB & - B /2 0! B & 3 ! ) ) )# # 9不 等 式 0*76# 等 价 于 %#所 以# *76#2 0# 2 # *76# # *76#!3 3 3) )$ % $因 为 #所 以# ! *# %!76#设 %#则# 76#0!$ % $ $ %# / # ! - # / ! 3 3#76#$ %76#当 %时 #函 数 %在 %

15、上 单 调 递 减# !2 - # & # !2, &$# # $ % $ $# (3 3当 %时 #函 数 %在 %上 单 调 递 增 , 9 # 9# 2 3 - # & # 2 3 !$# # $ % $ $#3 3所 以 #所 以 2!故 正 实 数 * 的 取 值 范 围 是$ % $% $#,# / 2 /2 & * &2 ! 3 ?56 3& %数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页三 #解 答 题 $共 )&分 $解 答 应 写 出 文 字 说 明 #证 明 过 程 或 演 算 步 骤 $第 #!题 为!)!必 考 题 %每 个 试 题 考 生 都 必 须 作

16、 答 $第 #题 为 选 考 题 %考 生 根 据 要 求 作 答 # $!一 必 考 题 $共 %&分$&解 析$% $ $% 槡 % 槡# #!)! ! # /3#456#=4#0%=4#/ 0 #=4#0! 3 456 #/)0 =4 #3槡456 # 槡! 分/# 456 #! #0因 为 #所 以 #所 以 # #0 & 456 # !, , % % & % & ! # #& #0% # 所 以 #即% 槡 % 槡 % 槡& # 456 # # & # #! #0%)$ %所 以 函 数 %的 值 域 为 ! %分#槡) # & #$ - ,$#%因 为% 槡#所 以$4 /# 45

17、6 # /40)! 槡456 # / ! 40 #因 为 #所 以 #所 以 #& 4 0 #40 #40 /& & & &!# 所 以 ! 分 4/在 145 中 #因 为 #所 以# # # #$ % -4/ / /* 3 0 #*=44/ *3 0 *!因 为 #所 以 #解 得/ 槡#/ ) *3/$ )/$ 0 * */%!#所 以槡! !#分! ! 0 / *4564/ 8%8456 /-145# # #&解 析! !$!%在 直 三 棱 柱! 中14501 4 5! !#因 为145 为 正 三 角 形-#分 别 取! 的 中 点15 1 5#!#连 接6 6 #!64 66 6

18、4 65 66 65 66 64!# # #! ! !则( ( (如 图 #以 6 为 原 点 #分 别 以 65 和 ! 所 在 直 线 为 # 轴 C 轴 和 D 轴 #建 立 空 间 直 角 坐 标 系 64 66 60# D!# .C因 为 6 为 15 的 中 点 #所 以$槡 $槡14/15/11 /# 1 & 0! & 4 & 5 & ! & 1 & 0! # 4! ! !# $# # %# #%# $ # # %# $ # # %# # &# 5 &!# !# %# $#%! 分因 为 点(#E 分 别 为1 4! !#45 的 中 点#所 以槡 槡 ! !( # E # !

19、! # # # #数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页(所 以槡 槡/. . . 1E/ # 15# (5& 0 &# $#%#! !/ &# / # !#! ! # # # #设 %为 平 面 ! 的 法 向 量$/ # D 1E5$ # # #C由/.$ 1E/&* #得槡* #3 /&C# #)#/.$ 15 /&* #!+# 3 #D/&!C不 妨 取 #可 得 D/!则 ! $分# 槡 $槡/ /0! $/ 0! !C# # #%设 直 线 ! 与 平 面 ! 所 成 的 角 为(5 1E5#槡/.则/.456 / =4(5 $ / / / / #0!槡 槡/.*

20、 (5 $!8 $* (5 $! !$!$所 以 直 线! 与 平 面(5! 所 成 角 的 正 弦 值 为 槡!$1E5! )分$ $# #%# #%# $#%# 1 & 0! & 4 & 5 &!#%因 为$槡!所 以$槡 $ 槡/./.14/ !& 45 / 0 !# !#%# #%!设 %为 平 面 ! 的 法 向 量%/ # D 145$ # # #! C! !由/.% 14/&* #得槡*# 3! C!/&#)# 槡/.% 45 /&* #!+0 # 3 3#D /&! C! !不 妨 取#可 得# /!C! 槡 ! 槡#则/0 D / # 槡 #槡! !&分%/ ! 0 $ %由

21、 %知 %为 平 面 ! 的 一 个 法 向 量$槡$ # # #! $/ 0! ! 1E5所 以=4% $ / #0% $*槡! !分 !&$/% $ $* 由 图 知 二 面 角 0E 的 平 面 角 为 锐 角 4015#!故 二 面 角 !&$4015!0E 的 余 弦 值 为 槡! !#分$ &解 析 %根 据 表 中 数 据 #计 算 可 得!*! !$ +)4CF!3#33(3$3%3) &!F/!#/ /( / /#C/(! #分) ) )所 以)# # # # # # # #$ % $ % $ % $ %# 0# / 0 3 0# 3 0! 3& 3! 3# 3/#! 4FF

22、/!)又 因 为)#所 以$ %$ %# 0# 0 / !#4F CFC$ %$ %# 0# 04FCF CF/!#G/ /(! (分)F/! #$ %# 0# 4FF/!所 以G G*/ 0/#/(0(8(/#)!C所 以 C 关 于 # 的 线 性 回 归 方 程 为GC/(#3#)!当 #/时 #得GC/(83#)/$*!所 以 预 测 该 商 超 下 周 的 利 润 为 $*万 元 ! %分$ # # # # # &#& (&$&%该 客 户 所 获 得 的 代 金 券 总 额 H 的 所 有 可 能 取 值 有 %&! )分! ! ! ! ! ! ! ! !( H/& / 8 / (

23、 H/#& /#8 8 / ( H/& /#8 8 /$ % # $ % # $ % #( ( !% # ( ( ( ( ! ! ! ! ! ! ! ! !( H/(& / 8 / ( H/$& /#8 8 / ( H/%& / 8 / !$ % # $ % # $ %# # ( # ( ( ( ( !%数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页$代 金 券 总 额 H 的 分 布 列 如 下 表+H & #& & (& $& %&! ! ! ! ! !(!% ( ( ( !%所 以 $元 ! !#分! ! ! ! ! !I H /&8 3#&8 3&8 3(&8 3$&8 3%

24、&8 /$ % %!% ( ( ( !%&解 析 %由 题 意 知 #直 线 0(/&与 圆 # 相 切$ # #&! ! #0 # 3 /C C所 以 圆 心$#&%到 直 线#0C0(/&的 距 离槡#即(./ /# /槡#/ 槡/#!因 为 ! / 槡* # # #J/ / * / 3/ /# # #所 以*/!#故 椭 圆5 的 标 准 方 程 为# #/! (分#C3* $ $# !& #/ 3!%因 为 直 线 ?过 点 %且 与 # 轴 不 重 合 #所 以 可 设 直 线 ?的 方 程 为# C#/ 3!C#*联 立 方 程 #得 化 简 并 整 理 得# # #$ % 3*3

25、 !% 0%(/&! )#CCC3 /!#+* 设 %#则 !% %( # % # 3 /0 /0$ # %# $ # #! # C! C# C!C#C! C#! # # 3* 3*所 以!# 3# / 3 3#/! # C! C#$ %# $ %$ % $ %# / 3! 3! / 3 3 3!/! # C! C# C!C# C! C# # 3*# ! %分0 )# 3*# 3*设 存 在 点 %#则 直 线 ( 与 (% 的 斜 率 分 别 为C! C#(=& 2 / 2 /$# #( (%# 0= # 0=! #%(0#所 以C!C# C!C# 3*2 2 / / /( (%*/ # #

26、$ %$ %# 0= # 0=$ % ! # 0=# 3# 3= 0 )# 3* ! # ! #*# #0= 3= 3* 3*0%(! # # #$ %= 0)# 3*0!=3*=令 #解 得 =/0或 =/! !&分 = 0)#/&#当 =/0时(# # * 2 2 /0( 5 ,( (%*当 =/时!%# # * 2 2 /0 ! 5 ,( (%*因 此 #满 足 条 件 的 点 ( 的 坐 标 为 %和 ! !#分$ # $#%0 & &解 析 %的 定 义 域 为 /76#3!令 #可 得$% $ $# %# $ % $ %!#! ! # & 3 - # - # /& #/) ) )9

27、!2当 时 %单 调 递 减 (当 时 %单 调 递 增 #所 以 %的 单 调 递 增 区! !& # - # & # # - # & # #& & & # # $ % # $ # $ % # $ $) ) ) ) )2 2间 为 ! 分!#3 % 92数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页%因 为 函 数 %在 %上 单 调 递 增 #所 以!$ $ # $ # %# * 3 * 3 !#3 )9 9 6% 92所 以 !故 实 数 * 的 取 值 范 围 为 ! %分! !*3% #392 2$# # & #76#3! #2 76#3 #2%因 为 #所 以 要 证 #

28、只 需 证 明 !0# 成 立 ! )分# !0#!# 3 3#令 #则! ! ! #0!$ % $ %# /76#3 - # / 0 / ! 3 3# # # #令 #得 #当 !时 %单 调 递 减 (当 !时 %单 调 递 增 #所 以$ % # $ % # $ # $ % # $ 3 3 3 3 3- # /& #/! & # - # & # # - # & #& & & # #3 ?56 3# / !/! *分$ % $%令 #则!0# !0#9 # /#2 9- # / !0# 2$ % $ % $ %#令 #得 #当 !时 %单 调 递 增 (当 ! 时 %单 调 递 减 #所

29、以9- # /& #/! & # 9- # &9 # # 9- # &9 #$ % # $ % #$ # $ % # $& & # # &9 # /9 ! /!$ % $%?A因 此 %#即 #当 且 仅 当 #/!时 等 号 成 立 ! !#分# !0#$ % $ $ %# 9 # # #2 3 )3 3!二 选 考 题 $共 !&分 $请 考 生 在 第 #题 中 任 选 一 题 作 答 如 果 多 做 则 按 所 做$ #的 第 一 题 计 分$槡*#/#3 =4!(解 析 因 为 曲 线 5 的 参 数 方 程 为 !为 参 数)! ! #! !)槡#C/#3 456!+#所 以 消

30、去 !可 得 曲 线 5 的 普 通 方 程 为 ! #分# #! ! #0# 3 0# /C#因 为 直 线 ?的 斜 率 为 且 过 点 所 以 直 线 ?的 方 程 为 即2/ ;6 / 0! 1 0! & /0 #3! #3 3!/&! !C C(将 代 入 上 式 可 得 直 线 ?的 极 坐 标 方 程 为#/ =4 / 456 =4 3 456 3!/& C( ( ( (即槡#( ! 456 /0 !3( #因 此曲 线5 的 普 通 方 程 为! ! #0# 3 0# /直 线# #!C?的 极 坐 标 方 程 为槡456 /0! 3! $分#(# ( #!#点5 #!到 直

31、线?的 距 离 为槡所 以 直 线 #3#3! $ #./ /槡 槡# #?与 曲 线5 相 离!如 图当 (1 与 曲 线 5 相 切 时 (14 最 大 此 时 设 直 线 (1 的 方 程 为 ! C /2- #3! 0即2-#0 32-/&C所 以槡解 得 #2-0#32- #槡/#2- 3!2-/!或2-/)!)!当 时 (14 最 小 不 满 足 条 件 因 此 2-/! 分)2-/0!)又 因 为 直 线 ?的 斜 率 为 所 以0! (1 14 !(连 接则15槡 15 / ! (5 / 15 / (5 3 1( 槡#所 以# # # 槡$# 1( / !# #又 因 为 所 以 所 以 (14 的 面 积 为 ! !&分 槡! $4 & 0! 14 / # 14 1( /! * - # #数 学 !理 科 参 考 答 案 !第 ! 页 !共 页)0%# 0! %*(解 析 由 题 意 知 #分)! ! #! ! # / #3! 0 #0$ /)