梁的弯曲课件.ppt

1、第第4章章梁的弯曲梁的弯曲4-1弯曲的概念弯曲的概念梁的弯曲是材料力学梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容部分最重要的内容弯曲变形是工程构件弯曲变形是工程构件最常见的基本变形最常见的基本变形PPPPPPPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题弯曲的概念弯曲的概念PqMRARB当直杆受当直杆受垂直其轴线的横向外力垂直其轴线的横向外力或者在杆或者在杆轴平面内的外轴平面内的外力偶力偶作用时，杆的轴线将由直线变成曲线，称为作用时，杆的轴线将由直线变成曲线，称为弯曲弯曲。产生弯曲变形的杆称为产生弯曲变形的杆称为梁梁梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形形

2、平面弯曲的概平面弯曲的概念念我们只研究矩形截面梁的平面弯曲我们只研究矩形截面梁的平面弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为在该对称面内，我们称之为平面弯曲平面弯曲。因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲梁的载荷与支座情况梁的载荷与支座情况#集中力集中力#均布载荷均布载荷#集中力矩集中力矩集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力矩逆时针为正、顺时针为负。集中力矩逆时针为正、顺时针

3、为负。b、梁的支座反力、梁的支座反力滑动铰支滑动铰支1(Ry)固定铰支固定铰支2(Rx，Ry)固固 定定 端端3(M，Rx，Ry)RyRxMRy图图 示示 法法反反 力力未知反力数未知反力数名名 称称RxRy梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力c、梁的类型、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型种类型一端固定铰支座一端固定铰支座一端活动铰支座一端活动铰支座一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定铰支座一端固定铰支座活动铰支座位于梁活动铰支座位于梁中某个位置中某个位置求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系0M,0Y,0X

4、举例说明举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力ABxyAyRAxRByR0X 右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力0RAx0Y 0PRRByAy0MAl02/lPlRBy2/PRBy2/PRAy2/lxyql固定端有固定端有3个约束反力个约束反力RxRyABMA0X 0Rx0Y 0lqRyqlRy0MA02lqlMA221qlMA4-2梁的弯曲内力梁的弯曲内力梁的内力、弯矩图梁的内力、弯矩图a、剪力和弯矩、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力内力有两类：有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩考察弯曲梁的某个横截面

5、考察弯曲梁的某个横截面仍使仍使用截面法。用截面法。弯矩作用面在纵向对称面内，弯矩作用面在纵向对称面内，方向沿方向沿Z 轴方向，用轴方向，用M 表示表示xyzQM在细长梁中，剪力对强度和刚度影响较小，可略去不计，只考虑弯矩的影响 aPRMMaPRMPRQQPRYAAAA 110110000:用截面法求弯曲时的内力b、剪力和弯矩正负号的规定、剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号剪力正负号对所截截面上任一点的对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负力矩顺时针为正，逆时针为负弯矩正负号弯矩正负号QQMMMM正正负正正负负使梁使梁xyP1P2RAyABRAxRBxP1RAyaaMQ0M 0 xRaxP

6、MAy1axPxRMAy1mm0Y01QPRAy1PRQAyRAx说明：说明：1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的平衡方程。平衡方程。3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。建立在截面的中心。举例：举例：xylqx求图示简支梁求图示简支梁 x 截面的弯矩截面的弯矩qRAyMAB在在x 处截开，取左半部分分析处截开，取左半部分分析画出外力、约束反力、弯矩画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方截面剪力、力矩平衡方程程0M 0 xR

7、2xqxMAyqx221qxxRMAyQ0Y0QqxRAyqxRQAy221qxxRMAy弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有2lx 由对称性，可以求得由对称性，可以求得2qlRAy2ql81M xylqxABqxRQAyd、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示面的分布规律用图形表示xylqxABqxRQAy221qxxRMAyxxQM2qlRAy2ql81M（1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 PxMMPxMPQPQY 得由得00000,（2）画剪力图和弯矩图）画剪

8、力图和弯矩图例2例例3 图图4-14a 所示为一简支梁，在所示为一简支梁，在C点受集中力点受集中力P 的的作用，作此梁的剪力图和弯矩图作用，作此梁的剪力图和弯矩图。(1)求支座反力求支座反力0,0 AMYlPaRlPbRBA ,(2)列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC段段:lPbRQA 1(0 x a)xlPbxRMA 1)(ax 0CB段：段：lPaPlPbPRQA 2)(lxa )()()(xllPbaxPxlPbaxPxRMA 2)(lxa AC段段:lPbRQA 1(0 x a)xlPbxRMA 1)(ax 0CB段：段：lPaQ2)lxa()xl(lPbM2)(lxa lM

9、RMlR,MlMRlRM,MAABBBA00000000例5000202:MxlMMxRMlMRQCBAA 段)(lxa （3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图lbMM0 maxxlMxRMlMRQACAA0101:段)0(ax 2,20000PlMRPlMRMMBAAB 可得和由例6)xl(PxlMPlPxxPxlM)lx(PxRM:CBA2222002段段xPxlMxRM:ACA201段段 1、不是简单形状叠加，是纵坐、不是简单形状叠加，是纵坐标值的叠加标值的叠加 2、要考虑正负不同符号纵坐标、要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同符号纵坐标的累加的重叠和相同符号纵坐标的累加 3、按纵坐标

10、方向划出有效区标、按纵坐标方向划出有效区标志线，正负抵消的部分不可划标志线志线，正负抵消的部分不可划标志线 4、标明有效区的正负符号、标明有效区的正负符号 5、标注极值大小、标注极值大小总结：弯矩图的形状和载荷之间的关系v1.在两个集中载荷之间的梁段内，弯矩图一般为斜直线，并且在集中力作用处弯矩线转折。v2.在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的值v3.在均布载荷作用的梁段内，弯矩图为抛物线。如均布载荷方向向下，则抛物线开口向下，反之则向上4-2弯曲时的正弯曲时的正 应力与应力与强度计算强度计算1.1.纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力#纯弯曲与剪切弯曲纯弯

11、曲与剪切弯曲#中性层和中性轴中性层和中性轴#弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律#弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为，称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力，而无剪力Q，称为，称为。纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴#中性层和中性轴中性层和中性轴xyz 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短

12、的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。中性轴中性轴梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab 变形的几何关系为：变形的几何关系为：上式说明离中性轴越远上式说明离中性轴越远(y越大越大)，则变形，则变形越大。越大。b、应力和变形的关系（物理关系）、应力和变形的关系（物理关系）

13、yEE 由虎克定律由虎克定律)()(aydddyababab C、弯曲正应力分布规律、弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等与中性轴距离相等的点，正应力相等；的点，正应力相等；MyEE d、静力学关系分析、静力学关系分析如图，取一微元进行分析如图，取一微元进行分析MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗弯刚度抗弯刚度zIMyzIMy横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离(y)的最大值 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示

14、，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度均布载荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 mNqlMmax3000216000222 因危险截面上的因危险截面上的弯矩为负，故截面弯矩为负，故截面上缘上缘受最大拉应力，受最大拉应力，其值为其值为在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328.0106.253000682maxma

15、x yIMzC（2）求最大应力）求最大应力MPa178Pa101780152.0106.253000681maxmax yIMzT f f、惯性矩的计算、惯性矩的计算可直接记忆也可以查表可直接记忆也可以查表12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 矩形截面矩形截面圆形与圆环截面圆形与圆环截面实心圆实心圆6424dIIIPyz空心圆空心圆44642dDIIIPyz441642DIIIPyzDdg、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：ZmaxWM

16、WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW 2.弯曲强度计算弯曲强度计算#梁的最大正应力梁的最大正应力#梁的强度条件梁的强度条件#举例举例a、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWMb、梁的强度条

17、件、梁的强度条件 ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷截面尺寸、确定许可载荷例例8图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，受均部载荷作用，试确定辊轴试确定辊轴BC段截面的直径。已知段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力许用应力=140MPa。q3003001400ABCDqRAyM300700300q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面

18、弯矩qRAyM3007003000M 0700300R2700700qMAy由对称性可求得：由对称性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW 1401000100045532d3mm320d 例例10 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁，假设梁截面为截面为b h的矩形，的矩形，h=2b，讨论梁立置讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件 ZWM同样载荷条件下，工作应力越小

19、越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置时：梁倒置时：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图5-14a 所示，已知所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的许用应力，木材的许用应力 =10MPa。设梁横截面的高宽比为。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。mkN122.110max PaM：（：（1）作弯矩图，求最大弯矩作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作用叠加法作出梁的弯矩图如图出梁的弯矩图如图

20、5-14b所示，由图知最大弯矩为所示，由图知最大弯矩为mkN122.110max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 3366maxmaxcm1200m1012001010100012 zzzWMWWM即即得得由强度条件由强度条件 截面的抗弯截面模量截面的抗弯截面模量 120032326263322 bbbbbhWz最后选用最后选用12.5 25cm2的截面。的截面。cm4.242 bhcm2.122120033 b由此得由此得4-4弯曲刚度计算弯曲刚度计算本部分主要内容本部分主要内容v 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程v 积分法求梁的变形积分法求梁的变形v 叠加法求梁的变形叠

21、加法求梁的变形v 梁的刚度校核梁的刚度校核v1 ydxdytgydxdytg 22)(1,)(dxyddxdxdxdsdxds 得得且且由由图图可可见见2 挠曲线的近似微分方挠曲线的近似微分方程程)()()(11aEIxMxEIM 非非纯纯弯弯曲曲纯纯弯弯曲曲注意：注意：y轴要向上，保轴要向上，保证方程两边符号相同证方程两边符号相同EIxMdxydy)(22将上式代入式将上式代入式(a),得得梁的挠曲线近似微分方程 DCxdxdxxMEIyDdxCdxxMEIyCdxxMEIyEIxMyEI)()()()(或或 简支梁：简支梁：悬臂梁：悬臂梁：0,0,0 BAylxyx0,00,0 AAyxy

22、x 积分常数积分常数C和和D的值的值可通过梁支承处已可通过梁支承处已知的变形条件来确知的变形条件来确定，这个条件称为定，这个条件称为。以以A为原点，取直角坐标系，为原点，取直角坐标系，x轴向右，轴向右，y轴向上。轴向上。（1）求支座反力求支座反力 列弯矩方列弯矩方程程由平衡方程得：由平衡方程得：PlMPRAA ,列弯矩方程为：列弯矩方程为：xRMxMAA )()(aPxPl （2）列挠曲线近似微分方程）列挠曲线近似微分方程)(bPxPlyEI 例12（3）积分积分)(22cCxPPlxyEI )(6232dDCxxPxPlEIy )(bPxPlyEI （4）代入边界条件，确定积分常数）代入边界

23、条件，确定积分常数在在x=0处处：00 AAAyy 将边界条件代入将边界条件代入(c)、(d)得：得：0,0 DC将常数将常数 C 和和 D 代入代入(c)、(d)得：得：)2(2212xlEIPxxPPlxEIy )3(6621232xlEIPxxPxPlEIy （6）求最大转角和最大挠度）求最大转角和最大挠度EIPlEIPlB2,22max2 即即EIPlyEIPlyB3,33max3 即即（5）确定转角方程和挠度方程确定转角方程和挠度方程CxPPlxyEI22DCxxPxPlEIy3262说明：说明：转角为负，转角为负，说明横截面绕中性说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠轴顺时针转动；挠度为

24、负，说明度为负，说明B点位点位移向下。移向下。由对称关系得梁的两个支座反由对称关系得梁的两个支座反力为力为2qlRRBA 以以A点为原点，取坐标如图，点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：列出梁的弯矩方程为：)(22)(2axqxqlxM （2）bxqxqlvEI222)d(DCxxqxqlEIv)c(CxqxqlvEI4332241264 bxqxqlvEI222 简支梁的边界条件是：简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零在两支座处的挠度等于零 在在x=0 处，处，yA=0；在在x=l 处，处，yB=0（3）2403qlC,D)d(DCxxqxqlEIv)c(CxqxqlvEI433

25、2241264边界条件代入（边界条件代入（d），解得），解得将积分常数将积分常数C，D代入代入式（式（c）和（）和（d）得）得 )(2242424121)(462424641323343323332fxlxlEIqxxqlxqxqlEIyexlxlEIqqlxqxqlEIy 由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代代入（入（f），得：），得：（5）求最大转角和最大挠度）求最大转角和最大挠度EIqlyEIqllllEIlqyC38453845822424max4333 故故又由图又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。可见，在两支座

26、处横截面的转角相等，均为最大。由式（由式（e）EIqlEIqllxEIqlxBA2424,24,03max33 故故处处在在处处在在4.4.叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形，EIqlEIqlyEIPlEIplyBqBqBPBP68233423EIqlEIPlyyyBqBPB8343 EIqlEIplBqBPB6232 由叠加法得：由叠加法得：直接查表直接查表2-3例145.5.梁的刚度校核梁的刚度校核 maxmaxyy弯曲构件的刚度条件弯曲构件的刚度条件:rad:,单单位位许许用用转转角角许许用用挠挠度度 y例15将主轴简化为如图例将主轴简化为如图例6-13b所示的所示的外伸梁，外伸梁，主轴横

27、截面的惯性矩为主轴横截面的惯性矩为44444cm188)48(64)(64 dDI材料的弹性模量：材料的弹性模量：26N/cm1021GPa210 E（1）计算变形）计算变形由表由表2-3查出，因查出，因P1在在C处引起的处引起的挠度和在挠度和在B引起的转角（图引起的转角（图c）为：）为：cm106.40)2040(18810213202000)(3462211 alEIaPyCPrad1054.1318810213402020035611 EIalPBP 由表由表2-3查得，因查得，因P2在在C处引起处引起的挠度和在的挠度和在B处引起的转角（处引起的转角（d）为：为：cm1006.52010

28、53.2rad1053.2188102116401000164556222222 ayEIlPBPCPBP rad1001.111053.21054.13:Bcm105.351006.5106.40:5554442121 BPBPBCPCPCyyyC 处处的的总总转转角角为为处处的的总总挠挠度度为为则则主轴的许用挠度和许用转角为：主轴的许用挠度和许用转角为：rad10001.0cm1040400001.00001.034 ly rad10rad1001.11cm1040cm105.353-5-44Bcyy故主轴满足刚度条件故主轴满足刚度条件（2）校核刚度）校核刚度 4-5组合变形时的强度条件组

29、合变形时的强度条件一、概述一、概述叠加原理应用的基本步骤：叠加原理应用的基本步骤：(1)将载荷进行分解，将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形组载荷的作用下，只产生一种基本变形;（2）分析每种载荷的内力，确定危险截面；（分析每种载荷的内力，确定危险截面；（3）分）分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（内的应力；（4）将各基本变形情况下的应力叠）将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；（加，确定最危险点；（5）选择强度理论，对危）选择强度理论，对

30、危险点进行强度校核险点进行强度校核。在外力的作用下，构件若同时产生两种或两在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是种以上基本变形的情况，就是组合变形组合变形二、弯曲与拉伸的组合v载荷与杆件轴线平行，但不载荷与杆件轴线平行，但不通过横截面的形心，杆件的通过横截面的形心，杆件的变形也是弯曲与拉伸（或压变形也是弯曲与拉伸（或压缩）的组合，称为缩）的组合，称为偏心拉伸偏心拉伸（压缩）（压缩）。v载荷的作用线至横截面形心载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为的垂直距离称为偏心距偏心距。sin,cosppppyx AS yIMxlPMzy )(3在在Px作用下：作用下：在在Py作用

31、下：作用下：zTWMASmaxmax zCWMASmaxmax TzTWMAS maxmax czCWMAS maxmax危险截面处的弯矩例16 悬臂吊车,横梁由25a号工字钢制成，l=4m，电葫芦重Q1=4kN，起重量Q2=20kN,=30,=100MPa，试校核强度。抗弯截面模量抗弯截面模量4强度条件为：强度条件为：yIMASz 根据叠加原理，可得横截面上的根据叠加原理，可得横截面上的总应力为：总应力为：（：（1）外力计算）外力计算 取横梁取横梁AB为研究对象，受力如图为研究对象，受力如图b所示。所示。梁梁 上载荷为上载荷为P=Q1+Q2=24kN，斜，斜杆的拉力杆的拉力S可分解为可分解为

32、XB和和YB。横梁在横向力横梁在横向力P和和YA、YB作用下产生弯曲；作用下产生弯曲；同时在同时在XA和和XB作用下产生轴向压缩。这作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。是一个弯曲与压缩组合的构件。当载荷移动到梁的中点时，可近似当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件条件kN8.20kN12kN8.20577.01230kN12202,0 AABBBBAXYtgYXPYlPlYM得得（2）内力和应力计算）内力和应力计算 绘出横梁的弯矩图绘出横梁的弯矩图如图如图c所示。在梁中点截面上的弯矩最大，所示。在梁中点截面上的弯矩最

33、大，其值为其值为m24000N44240004max PlM从型钢表上查从型钢表上查25a号工字钢，得：号工字钢，得：363242m10402cm402m105.48cm5.48 zWA560MPaPa1060104022400066maxmax zWM 故故 其分布如图其分布如图e所示，梁危险截面的所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力，下边缘处受上边缘处受最大压应力，下边缘处受最大拉应力作用。最大拉应力作用。横梁所受的轴向压力为横梁所受的轴向压力为BXS 则危险截面上的压应力为则危险截面上的压应力为Pa103.400485.0208006 AXASBC 并均匀分布于横截面上，如图并均匀分布

34、于横截面上，如图d所示。所示。故梁中点横截面上，下边缘处总正故梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为；应力分别为；MPa7.55603.4maxMPa3.64603.4maxmaxmax zTzCWMASWMAS （3）强度校核）强度校核 MPa3.64maxC由计算可知，由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的此悬臂吊车的横梁是安全的。6例17 钻床 P=15kN，e=40cm，T=35MPa,C=120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径。：（1）计算内力）计算内力 将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为：求出立柱

35、的轴力和弯矩分别为：mN60004.015000N15000 PeMPS（2）选择立柱直径）选择立柱直径 632max1035326000415000 ddWPeASTzT 求解求解d的三次方程的三次方程7 MPa35MPa4.32104.3232125.014.360004125.014.315000632max T满足强度条件，最后选用立柱直径满足强度条件，最后选用立柱直径d=12.5cm。解得立柱的近似直径解得立柱的近似直径m12.0 d取取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核，再代入偏心拉伸的强度条件校核，得得 631035326000 dWMz 设计中常采用的简便方法：设计

36、中常采用的简便方法：因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件 设计截面尺寸设计截面尺寸89：由于钢板在截面由于钢板在截面1-1处有一半圆处有一半圆槽槽，因而外力，因而外力P对此截面为偏心拉对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为伸，其偏心矩之值为cm5.021222 rrbbe截面截面1-1的轴力和弯矩分别为：的轴力和弯矩分别为：mN400005.08000080000kNkN80 PeMPS轴力轴力S和弯矩在半圆槽底部的和弯矩在半圆槽底部的a点处点处都引起拉应力（图都引起拉应力（图b)，a点即为危险点即为危险点。最大应力为点。

37、最大应力为 163.3MPaPa103.163)01.008.0(1 0.04006)01.008.0(01.0800006)()(622maxrbPerbPT 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm,厚度厚度=1cm,槽半径槽半径 r=1cm,P=80kN,钢板许用应力钢板许用应力=140MPa。试对此钢板进行强度校核。试对此钢板进行强度校核。计算结果表明，钢板在截面计算结果表明，钢板在截面1-1处的处的强度不够。强度不够。由分析知，造成钢板强度不够的原因，由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe，使截，

38、使截面面1-1的应力显著增加的应力显著增加。为了保证钢板具。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图槽的对称位置再开一槽如图c。这样就避。这样就避免了偏心拉伸。免了偏心拉伸。MPa140MPa3.133)01.0208.0(01.080000)2(rbP此时钢板在截面此时钢板在截面1-1处满足强度条件。处满足强度条件。10此时截面此时截面1-1上的应力上的应力(如图如图d)为为1.弯扭组合是工程中常见的变形组合形式弯扭组合是工程中常见的变形组合形式112231)2(2TBB 02 WTMWTMepTBepepTBep224224

39、22322375.034TxBxy ,02.弯扭组合常用计算公式的建立弯扭组合常用计算公式的建立12 将力将力P向向A端面形心平移，得到一横向力端面形心平移，得到一横向力P和矩和矩为为TA=PR的力偶，杆的力偶，杆AB受力情况如图受力情况如图b。圆杆的弯矩图和扭矩图如图圆杆的弯矩图和扭矩图如图c、d。TTBWTWM PLMMMyz22v圆轴复合弯曲的弯矩圆轴复合弯曲的弯矩xyzPxPyPzPMzMyL sinPLLPMyz cosPLLPMzy 注意注意：1 公式仅对圆轴复合弯曲公式仅对圆轴复合弯曲适用适用 2 公式可用于任何受力形公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分式的圆轴的复合弯曲部

40、分 3 平面弯曲可看成它的特平面弯曲可看成它的特例例PyPzM=PL13zy 例例19 手摇绞车手摇绞车 d=3cm,D=36cm，l=80cm，=80MPa.按第三强度理论计算最大起重按第三强度理论计算最大起重量量Q.：（：（1）外力分析）外力分析 将载荷将载荷Q向轮心平向轮心平移，得到作用于轮心的横向力移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附和一个附加的力偶，其矩为加的力偶，其矩为TC=QD/2。轴的计算。轴的计算简图如图简图如图b所示。所示。mN18.036.02121mN2.08.04141 QQQDTQQQlM（3）求最大安全载荷）求最大安全载荷 14 （2）作内力图）作内力图 绞车轴的

41、弯矩图和绞车轴的弯矩图和扭矩图如图扭矩图如图c、d所示。所示。由图可见危险截面在轴的中点由图可见危险截面在轴的中点C处，处，此截面的弯矩和扭矩分别为：此截面的弯矩和扭矩分别为：N79010803203.0)18.0()2.0(6322223 QQQWTMeq 即最大安全载荷为即最大安全载荷为790N。15（3）求最大安全载荷）求最大安全载荷 例例20 齿轮轴、齿轮轴、n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，D2=168mm，=20o，d=50mm，=50MPa。校核轴的强度。校核轴的强度。：（：（1）计算外力）计算外力 取取一空间坐标系一空间坐标系Oxyz,将啮将啮合力合力P1

42、、P2分解为切向力分解为切向力P1z、P2y和径向力和径向力 P1y、P2z，它们分别平行于，它们分别平行于y轴轴和和z轴。再将两个切向力轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦分别向齿轮中心平移，亦即将即将P1z、P2y平行移至轴上，平行移至轴上，同时加一附加力偶，其矩同时加一附加力偶，其矩分别为：分别为：2;22211DPTDPTyDzC 16简化结果，轴的计算简图如图简化结果，轴的计算简图如图b所示。所示。由图可见，由图可见，TC和和TD使轴产生扭转，使轴产生扭转，P1y、P2y和和P1z、P2z则分别使轴在平面则分别使轴在平面Oxy和和Oxz内发生弯曲。内发生弯曲。N4300168.0

43、3612222222 DTPDPTDyyD又由图又由图a所示切向力和径向力的三角关系所示切向力和径向力的三角关系:N1565364.0430020N664364.01823202211 tgPPtgPPyzzy（2）作内力图、并确定危险截面）作内力图、并确定危险截面 平面在平面在Oxz内，由平衡条件可求得轴承内，由平衡条件可求得轴承A、B处的支座反力为：处的支座反力为：N1638N,1750 BAZZ 同样，可求得在平面同样，可求得在平面Oxy内轴承内轴承A、B处的处的支座反力为：支座反力为：N3300N,1664 BAYY 在平面在平面Oxy内的弯矩内的弯矩Mz图，如图图，如图d中的铅垂图形

44、。画出轴的扭矩图如图中的铅垂图形。画出轴的扭矩图如图c所示。所示。17N1823396.0361222TmN36126510955095501111C DTPDPnNTTCzzkDC 画出平面画出平面Oxz内的弯矩内的弯矩My图，如图图，如图d中的中的水平图形。水平图形。22xyMMM 求得截面求得截面C和和D的合成弯矩分别为：的合成弯矩分别为：mN294264131mN1931331402222 DCMM由比较知，在截面由比较知，在截面D上的合成弯矩最大。上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：mN361 T（3）强度校核）强度校核 MPa55MPa4.37Pa104.3705.01.03612946322223 WTMDeq故轴满足强度条件故轴满足强度条件。18 MPa55MPa4.3405.01.036175.029475.0322224 WTMDeq若采用第三强度理论，则若采用第三强度理论，则若采用第四强度理论，则若采用第四强度理论，则求出合成弯矩求出合成弯矩M的数值。的数值。