第二部分相关分析功率谱白噪声1024课件.ppt
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- 第二 部分 相关 分析 功率 噪声 1024 课件
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1、2.2.4 平稳随机过程的相关性分析实平稳过程自相关函数的性质:()XRE X t X t ()XXXCEX tmX tm XXRR XXCC 1.00XR 0XXRR 2.2022-8-1723.周期过程 X tX tT ,则 XXRRT 非周期过程 4.X t 2limXXRm ()XR:整个相关成分:总功率()XC:交流相关成分2(0)XXC:交流功率2Xm:直流功率)()0(2XXXRR)0()(2XRtXE2022-8-1732022-8-17429()161 3XR例:xm2X求和22(0)9XXRm解:416)(2XXXmRm2022-8-175例:()5sin(5)XR是否可能
2、为相关函数?()cos(6)YRe(1)(1)(2)2022-8-176222()()()XXXXXXCRmr自相关系数也有类似性质:XX 01XX 1.2.2022-8-177 定义自相关时间定义自相关时间 :1.00.05X 0 2.00Xd (等效矩形)相关系数函数下降越快,相关系数函数下降越快,0 越小,随机过程的起伏越快越小,随机过程的起伏越快 2022-8-1782()()(),11()2sin(2)()aXYX tY tCeaCaa例:设平稳过程和其自协方差函数为()其中 为正数,求它们的相关系数和相关时间,并判断过程起伏的快慢。2022-8-1792200000000()()(
3、0)1()2()sin()(0)sin()2XYYXaXXXaXYYYYCreCrdedaCarCaarddaa解:过程比过程起伏快2022-8-1710联合平稳过程的互相关函数的性质联合平稳过程的互相关函数的性质 XYYXRR 1.XYYXCC 注意不是偶函数注意不是偶函数 200XYXYRRR 2.(小于几何平均)(小于几何平均)1002XYXYRRR 3.3.(小于算术平均(小于算术平均)2022-8-1711222()()()()E X t Y tE X tE Y t2()()(0)(0)2()0YXXYEY tX tRRR2:证明3:3:证明证明2022-8-1712 0cosX t
4、At 例例1:1:0,2U 噪声 Y t为零均值为零均值 2expYRBa X t与与 Y t不相关不相关 Z tX tY t 求求:12,ZRt t的2022-8-1713()()Y tbX tc例2:,b c为常数为常数,()X t证明证明 联合平稳性联合平稳性.()X t()Y t和和平稳平稳2022-8-1714(),()()()cos()()sin(),()0()()()()()()ABABX t Y tX tAttY tBttAt BtmmRRRZ tX tY t例:若 随 机 过 程都 是 非 平 稳 随 机 过 程。相 互 独 立,且 各 自 平 稳求 证的 广 义 平 稳 性
5、。2022-8-17152.3 2.3 平稳随机过程的功率谱平稳随机过程的功率谱从这里开始都讲平稳过程。且进从这里开始都讲平稳过程。且进行频域分析行频域分析.采用变换的方法使其信息在频域采用变换的方法使其信息在频域显露出来。显露出来。2022-8-1716本小节要解决的问题本小节要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号?傅里叶变换能否应用于随机信号?v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v白噪声的定义白噪声的定义 2022-8-17172.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一一
6、 预备知识预备知识1 付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的非周期实函数,且的非周期实函数,且x(t)满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件)(tx),(绝对可积,即绝对可积,即)(txdttx)(信号的总能量有限,即信号的总能量有限,即)(txdttx2)(有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限断点为有限值值2022-8-1718则则 的傅里叶变换为:的傅里叶变换为:)(txdtetxXtjX)()(其反变换为:其反变换为:deXtxtjX)(21)(称称 为为 的频谱密度,也简称为频谱。的频谱密度,也简称为频谱。)(tx)(XX包含:振幅谱包含:振幅
7、谱 相位相位谱谱2022-8-17192 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21221()()(2Xx tdtXdE总能量)即即能量谱密能量谱密度度功率功率2022-8-1720二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 随机过程频谱分析的特殊性1.随机过程为非能量有限信号,不满足狄氏条件,不能直接对随机信号的表达式求傅里叶变换;2.随机信号频域特性也要求统计平均。办法:借用傅里叶变换理论,按随机信号性 质进行修正,使之符合随机信号的特性2022-8-1721二二 随机过程的功率谱密度随机过
8、程的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 TtTttxtxT0)()(1.对随机信号的任一个样本取截断函数对随机信号的任一个样本取截断函数 (特点:确定性,可进行傅里叶变换)(特点:确定性,可进行傅里叶变换)2022-8-1722当当 为有限值时,为有限值时,的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 )(txT(,)()j tTTXTx t edtTTtjdtetx)(应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 221()(,)2TTTx t dtXTd2211()(,)24TTTx t dtXTdTT2211()(,)24TTTEx t dtEXTdTT除以除以2T取集合平均取集合平均)(txT有限时间的有限时间
9、的平均功率平均功率有限时间有限时间总功率总功率统计统计平均平均功率功率2022-8-1723令令 取极限,交换求数学期望和积分的次序取极限,交换求数学期望和积分的次序 T22(,)11lim()lim222TTTTTE XTE Xt dtdTT功率功率Q)(XS非负非负存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2(1)Q为确定性值,不是随机变为确定性值,不是随机变量量)(XS(2)为确定性实函数。为确定性实函数。注意:注意:2(,)()lim2TXTE XTST功率谱密功率谱密度度哟!哟!整个样本平均整个样本平均功率的功率的密度密度2022-8-1724两个结论:两个结论:)
10、(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示时间平均表示时间平均 若若平稳平稳)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(212总功率总功率一般情况一般情况非平稳非平稳2022-8-1725功率谱密度:功率谱密度:描述了随机过程描述了随机过程X(t)X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。)(XS)(XS对对 在在X(t)X(t)的整个频率范围内积分,的整个频率范围内积分,便可得到便可得到X(t)X(t)的功率。的功率。)(XS对于平稳随机过程,有:对于平稳随机过程,有:dStXEX)(21)
11、(2功率谱功率谱 的物理意义的物理意义()XS2022-8-1726例:设随机过程例:设随机过程 ,其中,其中 皆是实常数,皆是实常数,是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量,求随机过程机变量,求随机过程 的平均功率。的平均功率。)cos()(0tatX0和a),(20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解:解:taa0222sin2不是宽平稳的不是宽平稳的)(tX2022-8-1727)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT2022-8-1728
12、三三 功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号:确定信号:)()(jXtx1 1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)X(t)是平稳的,自相关函数绝是平稳的,自相关函数绝对可积,则自相关函数与功率谱密度构成一对对可积,则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换,即:付氏变换,即:平稳随机过程:自相关函数平稳随机过程:自相关函数 功率谱密度功率谱密度 傅立叶变换对傅立叶变换对2022-8-1729deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2.证明:证明:TTXESXTX2),(lim)(2 ),(),(21lim*TXTXETXXT TT2
13、1lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim2022-8-1730设设12tt 12ttu 则则22ut 21 ut所以:所以:2121212121),(),(21 uttJ t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu22022-8-1731则则dueRdTSjXTTTTX )(2121lim)(2022 )(210222dueRdjXTTT )(2121lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)(
14、)2(21lim22deRTjXTTT)()21(lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T 0)(XR(注意注意 ,且且 ,。因此,通常情。因此,通常情况下,第二项为况下,第二项为0)0)deRjX)(2022-8-1732推论:对于一般的随机过程推论:对于一般的随机过程X(t),有:,有:dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均功率为:平均功率为:211lim()()22TXTTPE Xt dtSdT 利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质,又可将维纳数的性质,又可将维纳辛钦定理表示成:辛钦定理表示成
15、:dRSXXcos)(2)(dSRXXcos)(1)(2022-8-17333单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)的自相关函数的自相关函数 是实偶函数,功率谱密度也一定是实偶函是实偶函数,功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。单边功率谱。)(XR000)(2)(XXSG2022-8-1734例:平稳随机过程的自相关函数为例:平稳随机过程的自相关函数为 ,A0,求过程的功率谱密度。,求过程的功率谱密度。AeRX)(0 解:应将积分按解:应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 deAedeAeSjj
16、X00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A2022-8-1735例:设例:设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中,其中,为实常数为实常数 为随机相位,在为随机相位,在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程,自相关函数为随机过程,自相关函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 )(tX)cos()(0tAtX0,A)2,0()cos(2)(02ARX)(XS)(tX2022-8-1736解:注意此时解:注意此时 不是有限值,即不不是有限值,即不可积,因此可积,因此 的付氏变换不存在,需要的付氏变换不存在,需要引入引入 函数。函
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