2022年中考数学真题汇编：勾股定理（含答案）.docx

1、2022年中考数学真题汇编：勾股定理1.（2022大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )A. B. C. D. 2.（2022河北）题目：“如图，B45，BC2，在射线BM上取一点A，设ACd，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个ABC，求d的取值范围”对于其答案，甲答：，乙答：d1.6，丙答：，则正确的是（ ）A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整3.（2022大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C.

2、 D. 4.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 5.（2022龙东地区）如图，中，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P若的面积是24，则PE的长是（ ）A. 2.5B. 2C. 3.5D. 36.（2022遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，则点到的距离为（ ）A. B. C. 1D. 27.（2022牡丹江、鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为512的山坡上走130

3、0米，此时小明看山顶的角度为60，求山高( )A. (600250)米B. (600250)米C. (350350)米D. 500米8.（2022牡丹江、鸡西）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为_9.（2022牡丹江、鸡西）在RtABC中，C=90，AD平分CAB，AC=6，BC=8，CD=_10.（2022齐齐哈尔）已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是_11.（2022齐齐哈尔）在ABC中，则_12.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，若，则的面积是_，_度13.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上

4、一点，则AB的长为_cm14.（2022黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则_cm15.（2022龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是_16.（2022河南）如图，在RtABC中，ACB90，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ当ADQ90时，AQ的长为_17.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABC

5、E内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_18.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，点，分别为，上的动点，且，当的值最小时，的长为_19.（2022哈尔滨）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，则线段的长为_20.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N给出如下几个结论：若，则；若，则；若，则其中正确结论的序号为_21.（2022河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于

6、点E，则（1）AB与CD是否垂直？_（填“是”或“否”）；（2）AE_22.（2022哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上（1）在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4连接，请直接写出线段的长23.（2022龙东地区）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋

7、转90后得到，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）24.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且（1）求证：；（2）若，求的长25.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BCDE交AD的延长线于点C，垂足为点F（1）求证：AB=CB；（2）若AB=18，sinA=，求EF长26.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上（1）求证：；（2）若，求的长27.（2022大庆）如图，

8、已知是外接圆的直径，点D为外的一点，点E为中点，弦过点E连接（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）当时，求弦的长28.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点求证：；若，求的半径29.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14，点M的俯角为7已知爸爸的身高为1.7m（1）求C的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位

9、）（参考数据：取4，取4.1）30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值31.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点G

10、是上一点，连接，若，求的长32.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若，试求出正方形的面积33.（2022河北）如图，四边形ABCD中，ABC90，C30，AD3，DHBC于点H将PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合

11、，点B在PM上，其中Q90，QPM30，（1）求证：PQMCHD；（2）PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50时停止边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；如图2，点K在BH上，且若PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5，求点K在PQM区域（含边界）内的时长；如图3在PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BEd，直接写出CF的长（用含d的式子表示）34.（2022河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（1）操作判断操作一：对

12、折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角：_（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ如图2，当点M在EF上时，MBQ_，CBQ_；改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ1cm时，直接写出AP的长20

13、22年中考数学真题汇编：勾股定理参考答案1.（2022大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )A. B. C. D. 【答案】解：设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，（，） ，当时，即，此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），此时点Q的运动路径长为；当时，即，此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），此时点Q的运动路径长为；综上分

14、析可知，点Q运动路径的长为，故B正确故选：B2.（2022河北）题目：“如图，B45，BC2，在射线BM上取一点A，设ACd，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个ABC，求d的取值范围”对于其答案，甲答：，乙答：d1.6，丙答：，则正确的是（ ）A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整【答案】过点C作于，在上取B45，BC2，是等腰直角三角形若对于d的一个数值，只能作出唯一一个ABC通过观察得知：点A在点时，只能作出唯一一个ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；点A在射线上时，只能作出唯一一个ABC（关于对称的AC不存在）

15、，此时，即甲的答案，点A在线段（不包括点和点）上时，有两个ABC（二者的AC边关于对称）；故选：B3.（2022大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )A. B. C. D. 【答案】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，圆锥侧面展开图的面积为，故选B4.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】解：连结OA、分别与相切于点A、，PA=PB，OP平分APB，OPAP，APD=BPD，在APD和BPD中，APDBPD（SAS）ADP=BDP，OA=OD=6，OAD=ADP=BDP

16、，AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB，在RtAOP中，OP=，sinADB=故选A 5.（2022龙东地区）如图，中，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P若的面积是24，则PE的长是（ ）A. 2.5B. 2C. 3.5D. 3【答案】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，AB=AC，AD平分与BC相交于点D，ADBC，BD=CD，SABD=12，E是AB的中点，SAED=6，G是AD的中点，SEGD=3，E是AB的中点，G是AD的中点，EGBC，EG=BD=CD，EGP=FDP=90，F是CD的中点，DF=CD，EG=DF，E

17、PG=FPD，EGPFDP（AAS），GP=PD=1.5，GD=3，SEGD=3，即，EG=2，在RtEGP中，由勾股定理，得PE=2.5，故选：A6.（2022遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，则点到的距离为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】解：在中，设到的距离为，故选B7.（2022牡丹江、鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30，小明在坡比为512的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60，求山高( )A. (600250)米B. (600250)米C. (350350)米D.

18、500米【答案】解：如答图，BE：AE=5：12，可设BE=5k，AE=12k，AB=1300米，在RtABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即，解得k=100AE=1200米，BE=500米设EC=x米，DBF=60，DF=x米又DAC=30，AC=CD1200+x=（500+x），解得x=600250DF=x=600750CD=DF+CF=600250（米）山高CD为（600250）米故选B8.（2022牡丹江、鸡西）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为_【答案】圆锥的底面半径是5，高是12，根据勾股定理得：圆锥的母线长为13，这个圆锥的侧面展开图

19、的周长213252610故答案为26109.（2022牡丹江、鸡西）在RtABC中，C=90，AD平分CAB，AC=6，BC=8，CD=_【答案】如图，过点D作DEAB于E，C=90，AC=6，BC=8，AB=，AD平分CAB，CD=DE，SABC=ACCD+ABDE=ACBC，即6CD+10CD=68，解得CD=310.（2022齐齐哈尔）已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是_【答案】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径，则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长，再根据弧长公式，得到，算出故答案是：11.（2022齐齐哈尔）在ABC中，则_【答案】解：情况一：当A

20、BC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AHBC于H，B=45，ABH为等腰直角三角形，,在RtACH中，由勾股定理可知：，情况二：当ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：，故答案为：或12.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，若，则的面积是_，_度【答案】，设，在中，由勾股定理得，解得或，对角线，相交于点，过点E作EFAB，垂足为F，故答案为：，13.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，则AB的长为_cm【答案】解：连接OA、OB，过点O作ODAB于点D，故答案为：14.（2022黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，

21、点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则_cm【答案】解：连接如图，四边形ABCD是正方形，点M为BC的中点，由折叠得， 设则有又在中，在中，解得，（舍去）又即故答案为：15.（2022龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是_【答案】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，菱形ABCD，ACBD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，BAD=60，ABD是等边三角形，BD=AB=3，BAO=30，OB

22、=，OA=，点O关于AB的对称点F，OFAB，OF=2OG=OA=，AOG=60，CEAH于E，OA=OC，OE=OC=OA=，AH平分BAC，CAE=15，AEC=CAE=15，DOE=AEC+CAE=30，DOE+AOG=30+60=90，FOE=90，由勾股定理，得EF=,PO+PE最小值=故答案为：16.（2022河南）如图，在RtABC中，ACB90，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ当ADQ90时，AQ的长为_【答案】如图，连接，在RtABC中，ACB90，根据题意可得，当ADQ90时，点在上，且，在中，故答案为：

23、17.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_【答案】解：作点P关于CE的对称点P， 由折叠的性质知CE是DCM的平分线，点P在CD上，过点M作MFCD于F，交CE于点G，MN+NP=MN+NPMF，MN+NP的最小值为MF的长， 连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，AD=CD=2，DE=1，CE=，CEDO=CDDE， DO=，EO=，MFCD，EDC=90，DEMF，EDO=GMO， CE为线段DM的垂直平

24、分线，DO=OM，DOE=MOG=90，DOEMOG，DE=GM，四边形DEMG为平行四边形， MOG=90，四边形DEMG为菱形，EG=2OE=，GM= DE=1，CG=，DEMF，即DEGF，CFGCDE，即， FG=，MF=1+=，MN+NP的最小值为故答案为：18.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，点，分别为，上的动点，且，当的值最小时，的长为_【答案】如图，过点作，且，连接，如图1所示，又，当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形中，设，即取得最小值为，故答案为：19.（2022哈尔滨）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，则

25、线段的长为_【答案】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，ACBD，在RtAOE中，OE=3，OA=4，根据勾股定理得，AE=BE， 在RtAOB中，即菱形的边长为，点F为的中点，点O为DB中点， 故答案为20.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N给出如下几个结论：若，则；若，则；若，则其中正确结论的序号为_【答案】解：正方形的周长是周长的2倍，若，则，故不正确；如图，在的延长线上取点，使得，四边形是正方形，即，故正确；如图，作于点，连接，则，同理可得，关于对称轴，关于对称，是直角三角形，若，故不正确，若，即，又

26、，即，故不正确故答案为：21.（2022河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？_（填“是”或“否”）；（2）AE_【答案】 解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，ACG=CFD=90， ACGCFD， CAG=FCD，ACE+FCD=90，ACE+CAG=90，CEA=90，AB与CD是垂直的，故答案为：是；（2）AB=2，ACBD，AECBED，即，AE=BE=故答案为：22.（2022哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上（1）

27、在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4连接，请直接写出线段的长【答案】（1）如图（2）如图，23.（2022龙东地区）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转90后得到，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）【答案】（1）解：如图所示A1B1C1即为所求，

28、；（2）如图所示A2B2C2即为所求，；（3）点旋转到点所经过的路径长为24.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，A=D=C=90，A=D=90，四边形ADFM是矩形，AD=MF，AMF=90=MFD，BMF=90=NFM，即BMO+OMF=90，AB=AD=MF，MN是BE的垂直平分线，MNBE，BOM=90=BMO+MBO，MBO=OMF，ABEFMN；（2）连接ME，如图，AB=8，AE=6，在RtABE中，根据（1）中全等的结论可知MN=

29、BE=10，MN是BE的垂直平分线，BO=OE=5，BM=ME，AM=AB-BM=8-ME，在RtAME中，解得：，在RtBMO中，ON=MN-MO=即NO的长为：25.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BCDE交AD的延长线于点C，垂足为点F（1）求证：AB=CB；（2）若AB=18，sinA=，求EF长【答案】（1）证明：连接OD，如图1，DE是O的切线，ODDEBCDE，ODBCODA=COA=OD，ODA=AA=CAB=BC；（2）解：连接BD，则ADB=90，如图2，在RtABD中，sinA=，AB=18，BD=6OB=O

30、D，ODB=OBDOBD+A=FDB+ODB=90，A=FDBsinA=sinFDB在RtBDF中，sinBDF=，BF=2由（1）知：ODBF，EBFEOD=即：=解得：BE=EF=26.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）证明：正方形和菱形，在与中（）（2）如图，连接交于点，在中，中，在中，27.（2022大庆）如图，已知是外接圆的直径，点D为外的一点，点E为中点，弦过点E连接（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）当时，求弦的长【答案】（1）解：BC是ABC外接圆O的直径，BAC=

31、90， B+ACB=90，ACD=B，ACD+ACB=90，BCD=90， OC 是 OO 的半径， CD 是 OO 的切线；（2）如下图，连接AF、CG，AFE=ECG，AEF=CEG，FEACEG，点E为AC中点，AE=CE，EF=2EG， CE2=2EG2，BAC=90，点E为AC中点，EOAB，OEC=90，OC2-OE2=EC2，OC2-OE2=2EG2，（OC+OE）（OCOE）=EGEF；（3）作ONFG，延长FG交线段于点W，BC=16，OC=8，FGBC，四边形ONWC为矩形，EF=2EG，FG=3EG，NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.

32、5EG，由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，CE2=2EG2， OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，EW2=（8-0.5EG）2，（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，解得EG=，FG=3EG=28.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点求证：；若，求的半径【答案】（1）如下图所示的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，做AB、AC垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；（2）如下

33、图所示，连接OC、OBBD是的切线是对应的圆周角，是对应的圆心角点是的中点如下图所示，连接CE与是对应的圆周角是的直径的半径为29.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14，点M的俯角为7已知爸爸的身高为1.7m（1）求C的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）（参考数据：取4，取4.1）【答案】（1）解：水面截线，在中，解得（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MGOB于G，如图所示：水面截线，为最大水

34、深，且，即，即，在中，即，解得，最大水深约为米30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值【答案】（1），是等边三角形，四边形平行四边形，为边上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设，

35、则，折叠，在中，延长交于点，如图，在中，31.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，求的长【答案】（1）如图1点D，点E分别是半径的中点，；（2）如图2，由（1）得，（3）如图3， 连接，设，在上取点M，使得，连接，为等边三角形，过点H作于点N，在中，32.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形（1）【探究发现】

36、小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若，试求出正方形的面积【答案】（1）证明：ABC与EBD均为等边三角形，BE=BD，AB=CB，EBD=ABC=60，EBA+ABD=ABD+DBC，EBA=DBC，在EBA和DBC中，EBADBC（SAS），AEB=CDB=60，AE=CD，ADC=ADB+BDC=120，ADC为钝角三角形，以、为边的三角形是钝角三角形（2）证明：以、为边的三角形是直角三角形

37、连结CG，四边形和四边形都是正方形，EBG=ABC，EB=GB，AB=CB，EG为正方形的对角线，BEA=BGE=45，EBA+ABG=ABG+GBC=90，EBA=GBC，在EBA和GBC中，EBAGBC（SAS），AE=CG，BEA=BGC=45，AGC=AGB+BGC=45+45=90，AGC为直角三角形，以、为边的三角形是直角三角形；连结BD，AGC为直角三角形，AC=，四边形ABCD正方形，AC=BD=，S四边形ABCD=33.（2022河北）如图，四边形ABCD中，ABC90，C30，AD3，DHBC于点H将PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中Q90，QPM30，（1）求证：PQMCHD；（2）PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50时停止边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；如图2，点K在BH上，且若PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5，求点K在PQM区域（含边界）内的时长；如图3在PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BEd，直接写出CF的长（用含d的式子表示）【答案】（1），则在四边形中故四边形为矩形，在中，；（2）过点Q作于S由（1）得：在中，平移扫过面积：旋转扫过