第一型线积分和面积分课件.ppt
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- 关 键 词:
- 第一 积分 和面 课件
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1、1 第一型线积分和面积分第一型线积分和面积分 Line Integrals with Respect to Arc Length Surface Integralswith Respect to Surface Area2w 第一型曲线积分是对弧长的线积分,第一型曲线积分是对弧长的线积分,C是是 平面或空间的可求长曲线段平面或空间的可求长曲线段,ds是弧微元;是弧微元;一、第一型线积分一、第一型线积分1.概念和记法概念和记法knkkCsMfdsMf 10)(lim)(AA 0BAnkMksC w 积分积分“区域区域”:平面或空间的曲线;:平面或空间的曲线;4 第一型线积分和面积分第一型线积分和
2、面积分3w 第一型线积分可求曲线长:第一型线积分可求曲线长:;Cdssw物理意义之一:质量非均匀分布的曲线物理意义之一:质量非均匀分布的曲线 C 的质量;的质量;w第一型线积分是通过化为定积分而进行计第一型线积分是通过化为定积分而进行计算的。算的。2.第一型曲线积分的计算法第一型曲线积分的计算法w 被积函数被积函数),(),(zyxfyxf定义定义在在 C 上上;4 若曲线若曲线 C 给参数方程给参数方程).(),(),(),(:ttztyytxxC可以证明,可以证明,222dzdydxds 222dtzdtydtxttt dtzyxdsttt222 这种情况下一型曲线积分的计算式:这种情况下
3、一型曲线积分的计算式:Cdszyxf),(即即dtzyxtztytxfttt222)(),(),(5例例1计算计算 CdsxyzI设设 C 是曲线:是曲线:221,232,tzttytx 的一段弧。的一段弧。解解 CdsxyzIdttttttt222)2/3(210221322121232 dtttt2102/92132 dttt)1(32102/9 143216 10 t上上对对应应6例例2计算计算 CdsyxI)(设设 C 为连接为连接)0,0(O),0,1(A)1,1(B三点的折线段。三点的折线段。)1,1(B)0,1(Aoxydxdsxyxx2 dydsyyx 1dxdsyxx ,0,
4、解解三直线段的参数式三直线段的参数式如图所示,故如图所示,故 CdsyxI)(OAABOBdsyx)(10)0(dxx 10)1(dyy 10)2)(dxxx22321 22 若曲线若曲线C给交面式方程给交面式方程,0),(0),(zyxGzyxF若存在若存在,),(),(bxaxzzxyy 隐隐函函数数则则 C 的的参数方程:参数方程:)(,)(xzzbxaxyyxx 于是于是 Cdszyxf),(dxzyxzxyxfxxba221)(),(,(平面上的问题通常只是少一个变量平面上的问题通常只是少一个变量!)8 当当 C 为平面曲线为平面曲线,给极坐标方程给极坐标方程 ,)(rr22)()(
5、drrdds drr22)(dsdrrdr Cdsyxf),(drrrrfba22)sin)(,cos)(例例3解解1 (用直角坐标用直角坐标)计算计算,CdsyI设设 C 为右半个单位圆为右半个单位圆:.0,122 xyx.10,1:2 xxyC9dxydsx2)(1 dxxx22)1(1 21xdx 利用对称性:利用对称性:CdsyI 10221112dxxx2 解解2 (用参数方程用参数方程).22,sin,cos:ttytxC CdsyI 2/022)(cos)sin(sin2 dtttt10解解3 (用极坐标用极坐标)2/0sin2 tdt2 C:22,1 r CdsyI Cds s
6、in 2/02201sin2 d2 例例4(求柱面的侧面积求柱面的侧面积)设椭圆柱面设椭圆柱面19522 yx挂挂限限所所截截,求求位位于于第第一一、二二与与被被0 zyz内所截下部分的侧面积内所截下部分的侧面积 A。解解用微元法用微元法.dAzds tytxCydssin3cos5:dtttt 022)cos3()sin5(sin3)(cos)(cos9)(sin53022tdtt )(coscos45302tdt ut cos25ln4159 Aduu 222523-20201230123-2020123yz dsyds 22225ln255223 uuuu12iiiniiSSoSfdSz
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