结构力学稳定计算课件.pptx
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- 结构 力学 稳定 计算 课件
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1、结构力学稳定计算结构力学稳定计算结构设计应满足三方面的要求 1、强度强度 2、刚度刚度 3、稳定性稳定性(受压结构,失稳时结构计算已经不是在原结构上,而是在变形后的结构形状上,此谓几何非线性)薄细构件高强度构件容易失稳,需要稳定性验算。基本基本概念概念 1、失稳(instability):当荷载超过某一数值时,体系由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态,而丧失原始平衡状态的稳定性,也称屈曲(buckling)。原先受压的构件突然发生弯曲变形,或与受力方向垂直的变形现象 2、临界状态:由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态(中性平衡状态)。3、临界荷载:临界状态时相应的荷载。16-1 16-1 稳
2、定问题概述稳定问题概述FpFp线性非线性FF非线性(叠加原理不成立)线性(叠加原理成立)12 12 F1F2F1+F2F1F2F1+F2FpFpFp原状态干扰状态取消干扰后的状态由于取消干扰后结构可以恢复原状,所以原状态为稳定状态稳定状态FpFp原状态干扰状态由于取消干扰后结构无法恢复原状,所以原状态为不稳定状态不稳定状态Fp取消干扰后的状态ppcrFFppcrFFppcrFF临界状态临界状态两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法大挠度分析法:考虑大的变形及变形对几何形状的影响小挠度分析法小挠度分析法:只考虑微小的变形,不考虑变形对几何形状的影响,用近似公式计算位移1.完善体系完善体系分支点
3、失稳2.非完善体非完善体系极值点失稳3.跃越失稳16.2 两类稳定问题计算结构失稳的两种基本形式 1、第一类失稳(完善体系分支点失稳完善体系分支点失稳):结构变形产生了性质上的突变,带有突然性。l/2PPc rl(b)弯曲平衡状态P2POP1D(c)荷载位移曲线(P 曲线)Pc rDCABP(a)直线平衡状态 l分支点新平衡临界荷载临界状态小挠度理论大挠度理论(a)偏心受压杆 P PePePP PPOPcr(b)荷载位移曲线(P 曲线)Pc rCAB 2、第二类失稳(非完善体系极值点失稳非完善体系极值点失稳):虽不出现新的变形形式,但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值,结构不能正常工
4、作。小挠度理论临界荷载大挠度理论3.跃越失稳1.平衡路径之前没有分支点,则体系的状态为稳定平衡状态。2.平衡路径之前有分支点,荷载随位移增大而增大,则体系的状态为稳定平衡状态。否则体系处于不稳定平衡状态。弹性静稳定平衡的条件弹性静稳定平衡的条件完善体系完善体系体系处于荷载随位移增大而增大的状态,荷载与位移一一对应,则平衡状态为稳定衡平状态。否则体系处于不稳定平衡状态。非完善体系非完善体系MA=k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA=k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI无限自由无限自由度体系度体系单自由单自由度体系度体系稳定问题的自由度:与动力问题相似,确定体系
5、变形状态所需要的独立几何参数(一般指的是位移,并垂直于力的方向)的数目 22122lll 2sin(1cos)2 sin2lll cosd 22sincosdlll小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异大挠度理论大挠度理论 小挠度理论小挠度理论大挠度理论大挠度理论小挠度理论小挠度理论lFpABOFpcrFpOFpcr完善体系大挠度完善体系大挠度理论分析非完善体系大挠度非完善体系大挠度理论分析1.1.分支点失稳例:图16-63.3.极值点失稳完善体系小挠度完善体系小挠度理论分析非完善体系小挠度非完善体系小挠度理论分析2.2.分支点失稳4.4.极值点失稳例:图16
6、-7例:图16-9(a)例:图16-10弹性稳定问题的弹性稳定问题的6 6种情况种情况5.5.稳定平衡6.6.稳定平衡FpOFpcrFpOFpcrFpOFpcrFpOFpcr单自由度完善体系完善体系的分支点失稳yFpBxkAEI无穷大弹簧的反力 sinRBFkkl 临界荷载:pcrFkl代入:(cos)sin0pFkll1 1.按大挠度理论按大挠度理论分支后两条平衡路径:1.1.=0,Fp为任意值(不稳定)2.2.0,Fp=kl cos(不稳定)FpOkl达到临界荷载时,位移不断增大而承载力反而减小,所以位移增大的路径是不稳定的。结论:红兰两条路径均不稳定0,(sin)(cos)0ApRBMF
7、 lFl2 2.按小挠度理论按小挠度理论 考虑在小变形情况下,取 sin=、cos=1,0pFkl l弹簧的反力 RBFkkl 临界荷载(分支点)pcrFkl0,(sin)(cos)0ApRBMF lFlyFpBxkAEI无穷大无穷大单自由度完善体系完善体系的分支点失稳上式可写为 分支后两条平衡路径:1.1.=0,Fp为任意值(不稳定)2.2.0,Fp=kl(随遇平衡)FpOkl达到临界荷载时,位移不断增大而承载力不增大,所以位移增大的路径是不稳定的。结论:红兰两条路径均不稳定单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳0,sincos0APRBMF l()F l()弹簧的反力 sin()sinR
8、BFkkl 极值(临界)荷载:2332(1 sin)pcrFkl所以:sincos1sin()pFkl求极值 22132cos()sin()sin10sin()sinsin()sin()sinsin()PdFkld3 3.按大挠度理论按大挠度理论yFpBxFRB=kAEI无穷大sincos1sin()pFkl00.20.40.60.811.2-0.20.30.81.31.8pFkl2332(1 sin)pcrFkl临界荷载(极值点)和初位移有关00.20.40.60.811.200.050.10.150.20.250.30.35pcrFkl单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳3 3.按大挠
9、度理论按大挠度理论极值点之后,位移增大而承载力反而减小,所以位移增大的过程是不稳定的4 4.按小挠度理论按小挠度理论 临界(极值)荷载:pcrFklsincos1sin()1,1(1)ppFklFkkll单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳yFpBxkAEI无穷大00.20.40.60.811.200.10.20.30.40.5=0.02=0.01pFklpFkl临界(极值)荷载:pcrFkl临界荷载(极值点)和初位移e无关4 4.按小挠度理论按小挠度理论 单自由度非完善体系非完善体系的极值点失稳接近临界荷载时,位移不断增大而承载力几乎不增大,所以位移增大的过程是不稳定的sin,sinsi
10、nABABppplMkMFkF lkFl MAB=kABFpxly平衡方程单自由度完善完善体系体系的稳定问题5 5.按大挠度理论按大挠度理论代入得分支点 Fpcr=k/l/sinpFk l/pFk l分支点Fpcr=k/l分支后两条平衡路径:1.1.=0,Fp为任意值(不稳定)2.2.0,sinpkFl分支后,承载力随位移增大而增大。在材料应变容许范围内,不存在极值,所以位移增大的过程是稳定的。最大荷载可超过分支临界荷载。MAB=kABFpxly5 5.按大按大挠挠度理度理论论sin()sin()sin()ABABppplMkMFkF lkFl 平衡方程单自由度非完善体系非完善体系的稳定问题6
11、 6.按大按大挠挠度理度理论论代入得MAB=kABFpxly 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2/pFk l=0.05=0.01承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内,不存在极值,所以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系,如采用大挠度理论,不存在临界荷载的理论值。总结完善体系失稳分支点失稳非完善体系失稳极值点失稳分支点失稳形式的特征为:存在不同平衡路径的交叉,交叉点处出现平衡的两重性。极值点失稳形式的特征为:只存在一个平衡路径,但在平衡路径上存在极值。大挠度理论可得精确解,小挠度理论能得到分支点的解,但路径不正确。对对于完善体系的分支点失于
12、完善体系的分支点失稳稳,无,无论论采用小采用小挠挠度理度理论论,还还是大是大挠挠度理度理论论,所得,所得临临界荷界荷载值载值是相同的。是相同的。1 1、静力法静力法 计计算思路算思路 假定体系处于微变形的临界状态,列出相应的平衡方程,进而求解临界荷载。计计算步算步骤骤 (1)确定基本未知位移,取隔离体、建立静力平衡方程。(2)建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方程)。(3)求解稳定方程的临界荷载。(4)求解稳定方程的特征向量,绘失稳形式图(buckling mode)。16.316.3 有限自由度体系的有限自由度体系的稳稳定定静力法静力法讨论分支点失分支点失稳稳问题,按小小挠挠度理
13、度理论论求临界荷载0pF lk0AM0pABFlM平衡方程:pcrkFlpkFl单单自由度体系静力法自由度体系静力法求求临临界荷界荷载载(P216P216)有非0解的条件ABMk代入得:临临界荷界荷载载:问题:荷载大于临界荷载时角位移也只有0解MAB=kABFpxly解解:设转角,位移 l单单自由度体系静力法自由度体系静力法求求临临界荷界荷载载例例平衡方程:0pACF lM临界荷载230pcrEIFl代入得FpEIBAyC30pEIF llFpMAC=SABAMAB=SABFpllABCEISABACFply3ACABEIMSlFpFpBky1Cky2FpFp结结点点B B投影平衡方投影平衡方
14、程程结结点点C C投影平衡方投影平衡方程程112100ypFyyykyFll212200ypFyyykyFll例例题题16-116-1 双自由度体系静力法求双自由度体系静力法求临临界荷界荷载载隔离体隔离体解法解法2 2:(解法(解法1 1详见详见P218P218)设B,C点的竖向位移为y1,y2 ABDFpkky1y2C12122020ppppFFkyyllFFykyll投影平衡方程:例例题题16-116-1矩阵表达式:平衡方程有非0解条件:满足稳定方程(特征方程)202ppppFFkllDFFkll解得:121,3pcrpcrFklFkl111222211220002000ppppplllF
15、FyykyllorFFFylkykkyll 压弯刚度矩阵几何刚度矩阵将将 代入平衡方程得无代入平衡方程得无穷穷多个解:多个解:13pFkl12110100110100yy位移有无穷多个解,该状态下的体系为临界平衡状态例例题题16-116-112113320201133klklklklykllykll 例例题题16-116-1 双自由度体系静力法求双自由度体系静力法求临临界荷界荷载载解法解法3 3:设B,C点的竖向位移为y1,y2 .A,B,C,D 支座竖向反力为ABDFpCFpky1ky2ky1+ky22313ky1+ky21323取隔离体,得A,B 支座反力FpFpy1/lABCDFpFpy
16、2/lABDFpkky1y2C12122103312033ppFkykylFkykyl由以上得平衡方程:213301233ppFkklFkkl平衡方程有非0解条件:满足稳定方程(特征方程)解得:121,3pcrpcrFklFkl位移有无穷多个解,该状态下的体系为临界平衡状态问题:荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解静力法存在多种解法,灵活多变,有利于处理简单计算。但静力法缺乏规律性,很难建立具有明确物理意义的方程,因此不适用于处理复杂问题的程序化计算。),3,2,1(0niaEiPEp=V+Vp:总势能 total potential energy V:应变能 strain energy
17、 Vp:荷载势能=-外力作功 external work总势能是位移(或与位移有关的基本未知量)的2次函数,总总势势能能驻值驻值的条件的条件为:总势能对所有的位移求导的结果为0。若有n各位移基本未知量ai,则总势总势能能驻值驻值原理原理(stationary principle of total potential energy)体系静稳定平衡条件:1.总势能为驻值(静力平衡)2.驻值为极小值(稳定)16.316.3 有限自由度体系的有限自由度体系的稳稳定定能量法能量法Fk212ppEVVkF 212VkpVF 0/0pFEFkdkd 体系应变能:荷载势能:体系总势能:1.总势能为驻值(静力平
18、衡)稳稳定体系的静平衡定体系的静平衡问题问题(单单自由度自由度)满足总势能驻值原理的两个条件,所以位移为静力平衡位移pE/F k 2.驻值为极小值(稳定)/F k 满足第一条件,则体系处于静力平衡状态(1)稳稳定平衡状定平衡状态态:满足第一条件,又满足第二条件 位移变化则总势能增加,所以体系稳定.(2)不不稳稳定平衡状定平衡状态态:满足第一条件,不满足第二条件。位移增加总势能反而减少,所以体系不稳定(3)中性平衡状中性平衡状态态(临临界状界状态态):满足第一条件,又满足第二条件。但位移变化而总势能不变(恒恒为为0 0),所以体系处于临界状态总势总势能能驻值驻值原理(原理(P217P217)体系
19、静稳定平衡条件:1.基本未知位移为0时,总势能为驻值(0)2.驻值为极小值静力平衡有三种状态212l荷载势能:弹簧应变能:212PPpEVVkF lB点竖向位移能量法能量法计计算算临临界荷界荷载载(单单自由度体系自由度体系)总势能:212V kPpVF MAB=kABFpxly0/PcrPFEk l临界荷载当0,总势能Ep为驻值,满满足第一条件足第一条件,平衡平衡当0,驻值为极小值,满满足第二条件足第二条件,稳稳定平衡定平衡当0,驻值为极大值,不不满满足足第二条件第二条件,不不稳稳定平衡定平衡当0,Ep=0,临临界界稳稳定平衡定平衡/PFk l/PFk l/PFk l例例题题16-116-1双
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