线性代数第五章习题课课件.ppt

1、 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij复复二二次次型型.,称称为为是是实实数数时时当当faij实实二二次次型型第五章第五章 二次型二次型习题课习题课.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT,21212221211211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222121121121,nnnnnn

2、nnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA nnnnnnnnnnycycyc

3、xycycycxycycycx22112222121212121111,定义定义2称为由变量称为由变量x xx12n,yyy12n,到变量到变量的一个线性变量替换，简称的一个线性变量替换，简称线性替换线性替换。111212122212nnnnnnccccccccc称为线性替换的矩阵，称为线性替换的矩阵，|C|0时称为非退化的（非奇异的，或可逆的）线性替换时称为非退化的（非奇异的，或可逆的）线性替换矩阵矩阵),(cCij 记记Cyx|C|0时，线性替换为非退化（非奇异，或可逆）时，有时，线性替换为非退化（非奇异，或可逆）时，有1yC xCyx Tfx Ax把代入()()()TTTTTx AxCy

4、A CyyC AC yy By()TTTTTTBC ACBC ACC A CB式中，则Ty ByByn是是以以 为为矩矩阵阵的的 的的 元元二二次次型型。3 ,TABnCBC ACAB定义设 和 是 阶矩阵，若有可逆矩阵使则称 与 合同。合同：反身性、对称性、传递性这种只含有平方项的二次型，这种只含有平方项的二次型，称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或（或法式法式）。）。易知，易知，r=R(A)2221122,(0)rrifd yd yd yd如果经过非退化线性替换如果经过非退化线性替换 有如下形状：有如下形状：Ty By配方法配方法初等变换法初等变换法正交替换法正交替换法说明说明2222

5、211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型,2 Cyxf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCyx.T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性

6、变换，就得到标准形;ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk,2,1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形正交替换法正交替换法22211222221 122115.1(),0,0,.Trrirrirrfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzkk定理惯性定理设有实二次型它的秩为有两个实的可

7、逆变换及使及则中正数的个数与中正数的个数相等二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。若二次型 f 的正惯性指数为p,秩为r,则 f的规范形便可确定为2r21p2p21yyyyf(规范形规范形:标准形的系数标准形的系数n21k,k,k 只在只在-1，0，1三个数中取值三个数中取值)00 (),0,0 00,;0()0,.,0,0,Tfxx AxxfxffAxfxfAxfxxfxfA定 义设 有 实 二 次 型如 果 对 任 何都 有显 然则 称 为 正 定 二次 型 并 称 对 称 矩 阵是 正 定 的 如 果 对 任 何都 有则 称为 负 定 二 次 型

8、 并 称 对 称 矩 阵是 负 定 的如 果 对 任 何都 有或0且 有0，使，则 称 为 半 正 定(半 负 定)二 次 型并 称 对 称 矩 阵是 半 正 定（半 负 定）矩 阵二次型及其矩阵的正定（负定）、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性；不具有有定性的二次型及其矩阵称为不定的。定理定理5.2 非退化线性替换不改变二次型的正定性非退化线性替换不改变二次型的正定性.n:.Tfx Axn定理5.3元实二次型为正定的充分必要条件是 它的标准形的 个系数全为正定理5.4 实对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。A与任一正对角矩阵合同与任一正对角矩阵合同 A与与E合同合同存

9、在可逆矩阵存在可逆矩阵C C，使，使TAC C.定理5.5 n元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n。定理定理5.6 5.6 实对称矩阵实对称矩阵A为为正定正定的充分必要条件是：的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式为正（其中为正（其中|Ak|称为称为A的的k阶顺序主子式）阶顺序主子式）.1111(1,2,)kkkkkaaAknaa实对称矩阵实对称矩阵A负定负定A的一切偶数阶顺序主子式皆大于零，一切的一切偶数阶顺序主子式皆大于零，一切奇数阶主子式皆小于零奇数阶主子式皆小于零.实二次型 f(x1,x2,xn)XTAX 正定A 的各级顺序主子式全大于零的各级顺序主子式全大于零f 的正惯性指数的正惯性指数 等于等于 n标准形中标准形中n个平方项的系数全大于个平方项的系数全大于0特征值全大于特征值全大于0 A与任一正对角矩阵合同与任一正对角矩阵合同 A与与E合同合同存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C，使，使TAC C.正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质:T1m1.,A,(0)A;AAAkA k设 为正定实对称阵则，均为正定矩阵2.,.A BnAB若均 为 阶 正 定 矩 阵 则也 是 正 定矩 阵矩阵的合同矩阵的合同,矩阵的相似矩阵的相似,矩阵的等价之间的联系矩阵的等价之间的联系