约束最优化方法课件.ppt
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- 关 键 词:
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1、约束最优化方法约束最优化方法 问题问题 min f(x)s.t.g(x)0 分量形式略分量形式略 h(x)=0 约束集约束集 S=x|g(x)0,h(x)=0 1 Kuhn-Tucker 条件条件一、等式约束性问题的最优性条件:一、等式约束性问题的最优性条件:考虑考虑 min f(x)s.t.h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值:回顾高等数学中所学的条件极值:问题问题 求求z=f(x,y)极值极值 min f(x,y)在在(x,y)=0的条件下。的条件下。S.t.(x,y)=0 引入引入Lagrange乘子:乘子:Lagrange函数函数 L(x,y;)=f(x,y)+(x,y)(fgh
2、)(fh)即一、等式约束性问题的最优性条件:一、等式约束性问题的最优性条件:(续续)若若(x*,y*)是条件极值,则存在是条件极值,则存在*,使,使 fx(x*,y*)+*x(x*,y*)=0 fy(x*,y*)+*y(x*,y*)=0 (x*,y*)=0 推广到多元情况,可得到对于推广到多元情况,可得到对于(fh)的情况:的情况:min f(x)s.t.hj(x)=0 j=1,2,l 若若x*是是(fh)的的l.opt.,则存在则存在*Rl使使 矩阵形式:矩阵形式:分量形式:ljjjxhxf1*0)()(0)()(*xxhxf一、等式约束性问题的最优性条件:一、等式约束性问题的最优性条件:(
3、续续)几何意义是明显的:考虑一个约束的情况:几何意义是明显的:考虑一个约束的情况:最优性条件即:最优性条件即:-f()h()h(x)-f(x*)h(x*)这里 x*-l.opt.f(x*)与h(x*)共线,而非l.opt.f()与h()不共线。hjjjxhxf1*)(*)(二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:考虑问题考虑问题 min f(x)s.t.gi(x)0 i=1,2,m 设设 x*S=x|gi(x)0 i=1,2,m 令令 I=i|gi(x*)=0 i=1,2,m 称称I为为 x*点处的起作用集(紧约束集)。点处的起作用集(紧约束集)。如果如果x*
4、是是l.opt.,对每一个约束函数来说,只有当它是起作用约对每一个约束函数来说,只有当它是起作用约束时,才产生影响,如:束时,才产生影响,如:(fg)g2(x)=0 x*g1(x)=0g1(x*)=0,g1为起作用约束二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)特别特别 有如下特征:如图有如下特征:如图 在在x*:f(x*)+u*g(x*)=0 u*0 要使函数值下降,必须使要使函数值下降,必须使g(x)值变大,则值变大,则 在在 点使点使f(x)下降的方向(下降的方向(-f()方向)指向约束集合内方向)指向约束集合内部,因此部,因此不是不是l.opt
5、.l.opt.。g()-f()X*-f(x*)g(x*)二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)定理(最优性必要条件):定理(最优性必要条件):(K-T条件)条件)问题问题(fg),设设S=x|gi(x)0,x*S,I为为x*点处的起作用集,设点处的起作用集,设f,gi(x),i I在在x*点可微,点可微,gi(x),i I在在x*点连续。点连续。向量组向量组gi(x*),i I线性无关。线性无关。如果如果x*-l.opt.那么,那么,u*i0,i I使使点。称条件的点满足互补松弛条件。那么,可微,如果在TKxTKmixgumiuxguxfixgx
6、xguxfiiimiiiiIiii*1*)(,2,10)(,2,100)()()(,0)()(二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)0),(0),(042),(05),(.)2()3(),(min22141213212122221211222121xxxgxxxgxxxxgxxxxgtsxxxxf例123412g1=0g2=0g4=0 x1g3=0 x2x*g2(x*)g1(x*)-f(x*)(3,2)T二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)用用K-T条件求解:条件求解:0)()()()2,2()2
7、(2),3(2()()2,1()()2,4()2,2()(2,1120),(0),(232131*32*231*1*2*1*2211212211*xgxgxfuuxxxfxgxxxgIxxgxxgxTTTTTT使计算可得起作用集),交点(点在 10,01)(21)2(,22)(,)2(2)3(2)(43221121gxggxxxgxxxf二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)0)(,2,1,00)()(xgumiuxguxfiiimiii个未知量个方程66)6(0)5(0)4(0)42()3(0)5(0,)2(022)2(2)1(02)3(224
8、132122221143214221232111xuxuxxuxxuuuuuuuxuxuuxux二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)可能的可能的K-T点出现在下列情况:点出现在下列情况:两约束曲线的交点:两约束曲线的交点:g1与与g2,g1与与g3,g1与与g4,g2与与g3,g2与与g4,g3与与g4。目标函数与一条曲线相交的情况:目标函数与一条曲线相交的情况:g1,g2,g3,g4 对每一个情况求得满足对每一个情况求得满足(1)(6)的点的点(x1,x2)T及乘子及乘子u1,u2,u3,u4,验验证当满足可得,且证当满足可得,且ui 0时,
9、即为一个时,即为一个K-T点。点。下面举几个情况:下面举几个情况:g1与与g2交点:交点:x=(2,1)TS,I=1,2 则则u3=u4=0 解解点。是故得TKxuuuxuxuxuxT)1,2(032,31022)2(202)3(22122122111二、不等式约束问题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)点。故不是不满足点;故不是得交点:与TKgSTKSxxxxggTTT,0,)5,0(,)5,0()5,0(00521222131.04,060)20(20)30(204,3)0,0(:,43432143点故非得解故交点TKuuuuuuISxggT二、不等式约束问
10、题的二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件:条件:(续)(续)034.04742),(),(0502)2(202)3(20,10)()(135132013452121320134522211221114321xxgTKSxxuxxuxxuuuIxgxf点故均不是得解则相切的情况:与目标函数三、一般约束问题的三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件条件线性无关。,向量组约束规格)。(的某邻域内连续可微。在)(,连续,在可微在设为起作用集。,问题定理:)(,),(,),)(,2,1)(,)(,0)(,0)(|)(,2,10)(,2,10)(.)(min)(1xhxhIixgCQxlj
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