广东省深圳外国语2023届高三上学期第一次月考数学试题及答案.pdf

1、 深圳外国语学校（集团）高 2023 届高三第一次月考 数学测试试题卷 本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的分，在每小题给出的四个选项

2、中，只有一项符合要求的四个选项中，只有一项符合要求的.1.全集1,2,3,4,5,6,7,8U=，1,2,3A=，1,2,7,8B=，则()UAB=（）A.12，B.7,8 C.1,2,3,7,8 D.4,5,6 2.复数32izi+=的虚部为（）A.1 B.1 C.i D.i 3.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系()240etN tN=（e 为自然对数的底数），其中0N为0=t时该同位素的含量，己知当48t=时，该放射性同

3、位素含量的瞬时变化率为1，则()48N=（）A.12 贝克 B.12e 贝克 C.24 贝克 D.24e贝克 4.已知一个圆台的上、下底面半径之比为 1：2，母线长为 4，其母线与底面所成的角为45，则这个圆台的体积为（）A.56 23 B.112 23 C.80 23 D.40 23 5.下列说法正确的是（）A.函数()fx为实数集R上的奇函效，当0 x 时，()3xf xa=（a 为常数），则()12f=B.已知幂函数()()22231mmfxmmx=在()0,x+单调递减，则实数2m=C.命题“1x，210 x”的否定是“1x，210 x”D.ABC中.角 A，B，C所对的边分别为 a，

4、b，c，则22sinsinAB是22ab的充分不必要条件 6.21 sin 703tan20=（）A.4 B.32 C.2 33 D.14 7.已知双曲线2222:1xyCab=（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点 P 为双曲线 C 中第一象限上的一点，12FPF的平分线与 x 轴交于 Q，若214OQOF=，则双曲线的离心率范围为（）A.()1,2 B.()1,4 C.()2,2 D.()2,4 8.已知0.05ae=，ln1.112b=+，1.1c=，则（）A.abc B.cba C.bac D.acb 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小

5、题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分.9.已知平面向量()1,2a=，()2,1b=，则下列命题中正确的有（）A.ab B.2ab+=C.ab D.4cos,5a b=10.下列说法正确的是（）A.设有一个回归方程23yx=+，变量x增加 1个单位时，y平均增加 2 个单位 B.若1nxx的二项展开式共有 9项，则该展开式中各项二项式系数之和为 256 C.10 件产品中有 8件正品，2件次品，若从这

6、10 件产品中任取 2件，则恰好取到 1 件次品的概率为845 D.已知一组数据12345,x x x x x方差为 4，则数据1234541,41,41,41,41xxxxx的标准差为 8 11.已知函数2cos2()23xf xxx=+，则下列说法正确的是（）A.()f x周期函数 B.()f x满足(2)()fxf x=C.1(2)f x D.()f xk在R上有解，则 k 的最大值是12 12.如图，梯形 ABCD中，AB CD，22 32ABDCBCABBC=，M，P，N，Q分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，将ACD以 AC 为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（

7、）A.MN和 BC不可能平行 B.AB和 CD 有可能垂直 C.若 AB 和 CD 所成角是60，则32PQ=D.若面 ACD面 ABC，则三棱锥DABC的外接球的表面积是 28 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填写在答题卡相把答案填写在答题卡相应位置上应位置上.13.设等差数列an前 n 项和为 Sn，若 S972，则 a2a4a9_.14.若直线 l经过抛物线24xy=的焦点，与该抛物线交于 A，B两点，且线段 AB的中点的纵坐标为 3，则线段 AB的长为_.15.安排 3 名志愿者完成 5项不同的工作，每人至少完

8、成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有_.16.已知函数()f x的导函数()fx满足：2()()exfxf x=，且(0)1f=，当()0,x+时，()1lnx f xax+恒成立，则实数 a的取值范围是_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤程或演算步骤.17.已知ABC中，内角,A B C所对边分别,a b c，若()2coscos0acBbC=.（1）求角 B的大小；（2）若2b=，求ac+的最大值.18.已知等比数列 na的前 n项和为nS，且51430

9、aaS=.（1）求数列 na的通项公式na；（2）若_，求数列 nb的前 n项和nT.21lognnnbaa+=+，()()2211log1log1nnnbaa+=+，nnbn a=这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市 n（nN）个人数超过 1000人的大集团和 4 个人数低于 200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为16.（1）在取出的 2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；（2）

10、若一次抽取 3 个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X的分布列和期望.20.如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，60ABC=，2PAAB=，点 E，F分别为 BC，PD 的中点，设直线 PC与平面 AEF 交于点 Q.（1）已知平面PAB平面PCDl=，求证：/ABl.（2）求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.21.椭圆22122:1xyCab+=（0ab）的离心率为63e=，过1C的左焦点1F的直线20l xy+=:被圆()()2222:33Cxyr+=（0r）截得的张长为2 2.（1）求椭圆1C的方程；（2）设1C的右焦点为2F，在2C上是否存在点 P

11、，满足2122aPFPFb=？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标），若不存在，说明理由.22.已知函数()22e2=xf xaxx（其中 e为自然对数的底）（1）若()f x在()0,+上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若1a=，0 x是()f x的极值点且00 x.若()()12f xf x=，且210 xx.证明：()120ln22ln2xxx+.深圳外国语学校（集团）高深圳外国语学校（集团）高 2023 届高三第一次月考届高三第一次月考 数学测试试题卷数学测试试题卷 本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 注意事项：注意事项：1.答卷前，考

12、生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的四个选项中，只有一项符合要求的.1.全集1,2,3,4,5,6,7,8U=，1,2,3A=，1,2,7,8B=，则()UAB=（）A.12，B.7,8 C

13、.1,2,3,7,8 D.4,5,6【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可.【详解】因为，1,2,3,4,5,6,7,8U=，1,2,3A=，1,2,7,8B=，所以4,5,6,7,8UA=，所以()7,8UAB=.故选：B 2.复数32izi+=的虚部为（）A.1 B.1 C.i D.i【答案】A【解析】【分析】化简复数为abi+的形式，由此求得复数的虚部【详解】依题意()()()()32551225iiiziii+=+，故虚部为1，所以选 A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变

14、的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系()240etN tN=（e 为自然对数的底数），其中0N为0=t时该同位素的含量，己知当48t=时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为1，则()48N=（）A.12 贝克 B.12e 贝克 C.24 贝克 D.24e贝克【答案】C【解析】【分析】求出N关于t的导函数()N t，由(48)1N=求得0N，再计算(48)N即得【详解】由题意 2401()e24tN tN=，201(48)e124NN=，2024eN=，48224(48)2

15、4ee24N=故选：C 4.已知一个圆台的上、下底面半径之比为 1：2，母线长为 4，其母线与底面所成的角为45，则这个圆台的体积为（）A.56 23 B.112 23 C.80 23 D.40 23【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，求出上、下底面半径和高，从而求出圆台体积【详解】如图，由题意得：BD=4，AB=2CD，ABD=45，过点 D作 DEAB于点 E，则 DE=BE242 22=，因为圆台的上、下底面半径之比为 1：2，所以 CD=AE=BE=2 2，则圆台上底面面积为()22 28=，下底面面积为()24 232=，故圆台的体积为()1112 28+328 322 233+=

16、故选：B 5.下列说法正确的是（）A.函数()fx为实数集R上的奇函效，当0 x 时，()3xf xa=（a 为常数），则()12f=B.已知幂函数()()22231mmfxmmx=在()0,x+单调递减，则实数2m=C.命题“1x，210 x”的否定是“1x，210 x”D.ABC中.角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则22sinsinAB是22ab的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意可得()00f=，求得a，从而可判断 A；根据幂函数的定义及性质可得2211230mmmm=，从而可求出m，即可判断 B；根据全称命题的否定相关知识，即可判断 C；直接利用正弦定理边角互化

17、结合充分条件和必要条件的定义即可判断 D.【详解】对于 A，因为函数()fx为实数集R上的奇函数，当0 x 时，()3xf xa=（a为常数），所以()010fa=，所以1a=，则()()(1)13 12ff=，故 A错误；对于 B，因幂函数()2223()1mmf xmmx=在()0,x+上单调递减，所以2211230mmmm=，解得2m=，故 B 正确；对于 C，命题“1x，210 x”的否定是“1x，210 x”，故 C错误；对于 D，在ABC中，由正弦定理可知2222sinsinabAB，所以22sinsinAB是22ab的充要条件，故 D错误.故选：B.6.21 sin 703tan

18、20=（）A.4 B.32 C.2 33 D.14【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.【详解】()21sin401 sin 70cos70cos20sin20cos20122sin 201202sin4043tan203cos20sin20=+.故选：D.7.已知双曲线2222:1xyCab=（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点 P 为双曲线 C 中第一象限上的一点，12FPF的平分线与 x 轴交于 Q，若214OQOF=，则双曲线的离心率范围为（）A.()1,2 B.()1,4 C.()2,2 D.()2,4【答案】B【解

19、析】【分析】根据角平分线的性质得出15PFa=，23PFa=，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为()0c c，离心率为e，由214OQOF=，则154QFc=，234QFc=，因为PQ是12FPF的平分线，所以12:5:3PFPF=,又因为122PFPFa=，所以125,3PFa PFa=，所以53222aacac+，解得14ca，即14e，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4).故选：B 8.已知0.05ae=，ln1.112b=+，1.1c=，则（）A.abc B.cba C.bac D.acb【答案】D【解析】【分析】利用导数可求得1xex+，ln1

20、xx；分别代入0.1x=和1.1x=，整理可得,a b c的大小关系.【详解】令()()10 xf xexx=，则()10 xfex=，()f x在()0,+上单调递增，()()00f xf=，即1xex+，0.11.1e，0.051.1e，即ac；令()ln1g xxx=+，则()111xgxxx=，当()0,1x时，()0gx；当()1,x+时，()0gx；()g x在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，()()10g xg=，ln1xx（当且仅当1x=时取等号），ln1xx，即ln12xx+（当且仅当1x=时取等号），ln1.111.12+，即bc；综上所述：acb.故选：D.

21、【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分.9.已知平面向量()1,2a=，()2,1b=，则下列命题中正确的有（）A.ab B.2ab+=C.ab D.

22、4cos,5a b=【答案】BD【解析】【分析】由向量的定义判断 A，由模的坐标表示求出模判断 B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断 D【详解】对于 A，由于向量不能比较大小，故 A 错误；对于 B，()1,1ab=+，()22112ab+=+=，故 B 正确；对于 C，()()122140a b=+=，ab不成立，故 C 错误；对于 D，()()12214cos,555a ba ba b+=，故 D正确 故选：BD 10.下列说法正确的是（）A.设有一个回归方程23yx=+，变量x增加 1个单位时，y平均增加 2 个单位 B.若1nxx的二项展开式共有 9项，则该展开

23、式中各项二项式系数之和为 256 C.10 件产品中有 8 件正品，2件次品，若从这 10 件产品中任取 2件，则恰好取到 1 件次品的概率为845 D.已知一组数据12345,x x x x x的方差为 4，则数据1234541,41,41,41,41xxxxx的标准差为 8【答案】ABD【解析】【分析】选项 A 明显正确，选项 B 由二项展开式共有 9项确定n的值，即可求出各项二项式系数之和，选项 C根据题意利用公式算概率即可，选项 D 先求出新数据的方差，再求标准差即可.【详解】变量x增加 1 个单位时，2(1)325yxx=+=+，故y平均增加 2个单位，正确，故 A 正确；由于1nx

24、x的二项展开式共有 9项，故8n=，故各项二项式系数之和为82256=，故 B 正确；对于选项 C，恰好取到 1件次品的概率为11822101645CCC=，故 C 错误；一组数据12345,x x x x x的方差为 4，则数据1234541,41,41,41,41xxxxx的方差为24 4=64，故标准差为 8，故选项 D 正确.故选：ABD.11.已知函数2cos2()23xf xxx=+，则下列说法正确的是（）A.()f x是周期函数 B.()f x满足(2)()fxf x=C.1(2)f x D.()f xk在R上有解，则 k 的最大值是12【答案】BCD【解析】【分析】A选项，分子

25、和分母分别考虑，看是否是周期函数，B选项，化简(2)fx得到(2)()fxf x=；CD选项，求出()f x的值域进行判断.【详解】()cos2g xx=是周期函数，但()223h xxx=+不是周期函数，所以2cos2()23xf xxx=+不是周期函数，A 选项错误；()()()()22cos 42cos22322 2(2)3fxxxf xxxxx=+=+，故 B选项正确；因为()2223122+=+xxx，等号成立时，1x=，所以2110232xx+，而cos21,1x，当cos21x=时，12=+xk，kZ，此时2110232xx+，故1(2)f x ，C选项正确；当1x=时，cos2

26、1x=，故2cos2()23xf xxx=+的最大值为12，故()f xk在R上有解，则 k的最大值是12，D选项正确 故选：BCD 12.如图，梯形 ABCD中，AB CD，22 32ABDCBCABBC=，M，P，N，Q分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，将ACD以 AC 为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（）A.MN和 BC不可能平行 B.AB和 CD 有可能垂直 C.若 AB 和 CD 所成角是60，则32PQ=D.若面 ACD面 ABC，则三棱锥DABC的外接球的表面积是 28【答案】AD【解析】【分析】对于 A，MN和 BC平行，则 N应该在 DM上，即可判断；

27、对于 B，利用线面垂直结合反证法可判断；对于 C，当ACD 旋转到1ACD，即1D在平面 ABCD内，由分析知，AB和 CD 所成角是60即160DCD=，此时Q在1Q，再分别求出,HP HQ，即可求出答案.对于 D，找到三棱锥DABC的外接球的球心，求出半径，即可得出答案.【详解】对于 A，若 MN和 BC平行，则 N应该在 DM上，但在旋转过程中，N 不可能在DM上，所以 MN 和 BC 不可能平行，则 A正确；对于 B，当1D不在平面ABCD中时，若1ABCD，因为ABBC，1=BCCDC，故AB 平面1BCD，而AB平面ABCD，故平面ABCD 平面1BCD，过1D作1DEBC，垂足为

28、E，因为平面ABCD平面1BCDBC=，1D E 平面1BCD，故1D E 平面ABCD，而AE 平面ABCD，故1EDAE，故1ADADAEAB=，矛盾，当当1D在平面ABCD中时，ABCD也不成立，故 B 错误.对于 C，因为在未旋转时 AB 和 CD 是平行的，若某一时刻 AB和 CD所成角是60，即 CD与旋转后的1CD所成角为60，如下图.当ACD旋转到1ACD，即1D在平面 ABCD 内，此时因为30DCA=，则130DCA=，所以160DCD=，AB和 CD所成角是60，即1CD和 CD所成角是60.此时Q旋转到1Q，取 AC的中点，连接1,HP HQ，则111113=3,222

29、2HPABHQCDCD=1130,30AHQACDCHP=，所以120QHP=，则在三角形1Q HP中，()2213321=3+23cos120222Q P =，所以 C 错误；对于 D，因为ABBC，所以ABC的外接圆的圆心在AC的中点1O上，在ADC中，因为4,3,7ACDCDA=，所以ADC为钝角三角形，则外接圆的圆心在ADC外，则AC的中垂线和DC的中垂线的交点即为2O，过1O做平面ABC的垂线，过2O做平面ADC的垂线，两垂线的交于点O，O与2O重合，即2O即为外接球的球心，则22273 1663 21cos2212 732 21ADDCACADCAC DC+=，则2 7sin7AD

30、C=，422 7sin2 77ACRADC=，所以7R=，则三棱锥DABC的外接球的表面积是2428=SR，所以 D 正确.故选：AD.【点睛】三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填写在答题卡相把答案填写在答题卡相应位置上应位置上.13.设等差数列an的前 n项和为 Sn，若 S972，则 a2a4a9_.【答案】24【解析】【分析】由等差数列的性质结合 S9求得 a5，然后利用等差数列的性质可得答案.【详解】an是等差数列，由 S972，得 S99a5，a58，a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.故答

31、案为：24.14.若直线 l经过抛物线24xy=的焦点，与该抛物线交于 A，B两点，且线段 AB的中点的纵坐标为 3，则线段 AB的长为_.【答案】8【解析】【分析】求出焦点坐标，设出直线l方程为1ykx=+，并设1122(,),(,)A x yB x y，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得1212,xx x x+，由AB中点纵坐标求得k值，由弦长公式得结论 【详解】抛物线24xy=的焦点为(0,1)F，直线l与抛物线交于两点，则其斜率存在，设l的方程为1ykx=+，1122(,),(,)A x yB x y，则由241xyykx=+得2440 xkx=，124xxk+=，1 24x x=，

32、又1212()2yyk xx+=+，所以1212()122yyk xx+=+，即2321k=+，1k=，所以2212121 211 1()42164(4)8ABkxxxxx x=+=+=故答案为：8 15.安排 3 名志愿者完成 5项不同的工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有_.【答案】150种【解析】【分析】先将 5 项工作按参与完成的人数分成 3组，再分配三人完成三组任务即可.【详解】将 5项工作按参与完成的人数分成 3 组为：1,2,2或1,1,3，若分组为1,2,2，则有2213531322C C CA=90A(种)安排方式；若分组为1,1,3，则有1

33、133543322C C CA=60A(种)安排方式；故总的安排方式有：9060150+=(种).故答案为：150 种.16.已知函数()f x的导函数()fx满足：2()()exf xf x=，且(0)1f=，当()0,x+时，()1lnx f xax+恒成立，则实数 a的取值范围是_【答案】(,2【解析】【分析】先构造函数，利用2()()exf xf x=，最终求得()2exfx=，即()0,x+时，2(e)1 lnxxax+恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a的取值范围.【详解】设()()xfxg x=e，则()()()2eeeexxxxfxfxgx=，故()exg xc=+，则(

34、)()eexxfxc=+，又因为(0)1f=，即11c+=，所以0c=，()2exfx=，2(e)1 lnxxax+，因为()0,x+，所以22lne1 lne1 lnxxxxxxaxx+=在()0,x+上恒成立，其中2lne2ln1xxxx+，理由如下：构造()e1xxx=，则()e1xx=，令()0 x=得：0 x=，当0 x 得：()0 x，当0 x 得：()0 x，故()x在0 x=处取的极小值，也是最小值，()()00 x=，从而得证.故2lne1ln2ln1 1ln2xxxxxxxx+=，故2a，实数 a 的取值范围为(,2 故答案为：(,2【点睛】切线放缩是一种很重要的方法，再使

35、用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：ln1xx，e1xx+，eexx，1ln1xx 等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤程或演算步骤.17.已知ABC中，内角,A B C所对边分别为,a b c，若()2coscos0acBbC=.（1）求角 B的大小；（2）若2b=，求ac+的最大值.【答案】（1）3B=（2）4【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边角互化，再利用三角恒等变换化简求值即可.（2

36、）利用余弦定理得出224acac+=，配方得2()34acac+=，再利用基本不等式求最值即可.【小问 1 详解】因为()2coscos0acBbC=，,A B C是三角形内角，根据正弦定理(2sinsin)cossincos0ACBBC=，2sincossincossincossin()sinABBCCBBCA=+=+=，又因为,(0,)A B，所以sin0A，所以1cos2B=，3B=.小问 2 详解】因为2222cosbacacB=+，2,3bB=所以224acac+=，配方可得2()34acac+=又因为,0a c，所以2()4acac+，当且仅当ac=时等号成立.所以22()()34

37、4acacac+=，解得4ac+.故ac+的最大值为 4.18.已知等比数列 na的前 n项和为nS，且51430aaS=.（1）求数列 na的通项公式na；（2）若_，求数列 nb的前 n项和nT.在21lognnnbaa+=+，()()2211log1log1nnnbaa+=+，nnbn a=这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）2,Nnnan=（2）若选，21322,N2nnnnTn+=+；若选，(),N22nnTnn=+；若选，()11 22,NnnTnn+=+【解析】【分析】（1）根据题意设出等比数列 na的公比

38、为()0q q，结合条件求解即可；（2）若选，则根据分组求和法求和即可；若选，根据裂项相消法求和即可；若选，根据错位相减法进行求和即可.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为()0q q，因为51aa，所以1q，则()45111414301301aaa qaaqSq=，解得122aq=，所以数列 na的通项公式112,Nnnnaa qn=.【小问 2 详解】若选，则()1212loglog 2212,Nnnnnnnbaann+=+=+=+，所以()2121222322,N2122nnnnnnnTn+=+=+.若选，则()()()()1221111,N1212log 21log 21nnnb

39、nnnnn+=+，所以()11111111,N2334122222nnTnnnnn=+=+.若选，则2,Nnnbnn=所以231 22 23 22nnTn=+，则()23120 1 22 21 22nnnTnn+=+，两式相减，得()2311122 222222212212nnnnnnTnnn+=+=则()11 22,NnnTnn+=+.19.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市 n（nN）个人数超过 1000人的大集团和 4 个人数低于 200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为16.（1）在取

40、出的 2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；（2）若一次抽取 3 个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X的分布列和期望.【答案】（1）58 （2）X的分布列见解析，()43E X=【解析】【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出n的值，根据条件概率的概率公式计算全为大集团的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【小问 1 详解】由题意知共有4n+个集团，取出 2个集团的方法总数是24Cn+，其中全是小集团的情况有 24C，故全是小集团的概率是()()2424C121C436nnn+=+，整理得到()()3472nn+=

41、即27600nn+=，解得5n=若 2个全是大集团，共有25C10=种情况；若 2个全是小集团，共有24C6=种情况；故在取出的 2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为10105106168=+【小问 2 详解】由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，计算()034539C C1050C8442P X=，()124539C C40101C8421P X=，()214539C C3052C8414P X=，()304539C C413C8421P X=，故X的分布列为：X 0 1 2 3 P 542 1021 514 121 数学期望为()5105140123422114213

42、E X=+=20.如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，60ABC=，2PAAB=，点 E，F分别为 BC，PD 的中点，设直线 PC与平面 AEF 交于点 Q.（1）已知平面PAB平面PCDl=，求证：/ABl.（2）求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3 10535【解析】【分析】（1）先证明/AB平面PCD，然后由线面平行性质定理得线线平行；（2）以,AE AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，写出各点坐标由,AQ AE AF共面，即由向量共面定理求得AQ，再求得平面PCD一个法向量，由向量法求得线面角的正弦值

43、【小问 1 详解】由已知/ABCD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，所以/AB平面PCD，又AB平面PAB，平面PAB平面PCDl，所以/ABl；【小问 2 详解】由已知ABC是正三角形，E是BC中点，则AEBC，而/BCAD，所以AEAD，又PA平面ABCD，故以,AE AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，2AB=，则3AE=，(3,0,0)E，(3,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，则(0,1,1)F，(3,0,0)AE=(0,1,1)AF=，(3,1,2)=PC，(0,2,2)PD=设(3,2)PQkPCk kk=，则(3,22)AQAPPQk kk=+

44、=，又,AQ AE AF共面，所以存在实数,m n，值得AQmAEnAF=+，即3322kmknkn=，解得232323mnk=，所以2 3 2 2(,)33 3AQ=设平面PCD的一个法向量是(,)nx y z=，则320220n PCxyzn PDyz=+=，令1y=，则31,3zx=，即)3,1,13(n=，设直线 AQ与平面 PCD所成角为，则 2 3322113 1053333sincos,352 52133AQ nAQ nAQ n+=21.椭圆22122:1xyCab+=（0ab）的离心率为63e=，过1C的左焦点1F的直线20l xy+=:被圆()()2222:33Cxyr+=（

45、0r）截得的张长为2 2.（1）求椭圆1C的方程；（2）设1C的右焦点为2F，在2C上是否存在点 P，满足2122aPFPFb=？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标），若不存在，说明理由.【答案】（1）22162xy+=；（2）2【解析】【分析】（1）由直线与x轴交点求得c，再由离心率求得a，从而可求得b得椭圆方程；（2）由弦长求得圆的半径，设(,)P x y，由2122aPFPFb=得P点轨迹是圆，由该圆与已知圆2C的位置关系确定交点个数，得出结论【小问 1 详解】由已知直线l与x轴交点为1(2,0)F，所以2c=，又263ceaa=，所以6a=，则222bac=，所以椭圆方程为2

46、2162xy+=；【小问 2 详解】圆2C的圆心为2(3,3)C，它到直线l的距离为3 3222d+=，所以弦长为2222222 2rdr=，2r=（0r），即圆方程为22(3)(3)4xy+=，设(,)P x y，由（1）12(2,0),(2,0)FF，22632ab=，2122aPFPFb=即为213PFPF=，所以2222(2)3(2)xyxy+=+，化简得：2259()24xy+=，所以满足2122aPFPFb=的点P在圆M：2259()24xy+=，其中圆心为5(,0)2M，半径为32R=，又222537(3)(03)22C M=+=，37222Rr+=+=，31222Rr=，显然2

47、RrC MRr+，圆2C与圆M相交，有两个交点，所以满足题意的点P有两个 22.已知函数()22e2=xf xaxx（其中 e为自然对数的底）（1）若()fx在()0,+上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若1a=，0 x是()fx的极值点且00 x.若()()12f xf x=，且210 xx.证明：()120ln22ln2xxx+.【答案】（1）(,2 （2）见解析【解析】【分析】（1）()fx在()0,+上单调递增即()0fx在()0,+恒成立，令()22e22xg xax=，分类讨论()g x的单调性，证明()min0g x即可.（2）求出()22e22xfxx=，要证明()12

48、0ln22ln2xxx+，即证明1022xxx，即证明()()2022fxfxx.令()()()()002,F xfxfxxxx=，对()F x求导，得出()F x的单调性，即可证明.【小问 1 详解】因为()fx在()0,+上单调递增，所以()0fx在()0,+恒成立，所以()22e220 xfxax=在()0,+恒成立，令()22e22xg xax=，()24e2xg xa=，当0a 时，()0gx在()0,+恒成立，()g x在()0,+上单调递增，所以()()00g xg=，所以满足题意.当0a 时，令()0gx=，则1ln22ax=.(i)01022aa，所以1ln022a，()g

49、x在()0,+单调递增，所以()()00g xg=，所以满足题意.（ii）122aa，()g x在10,ln22a上单调递减，在1ln,22a+上单调递增，所以()min1lnln2222aag xgaa=，令()()ln222xh xxxx=，()()ln22xh xx=，所以()0h x在()2,+恒成立，所以()h x在()2,+上单调递减，而()20h=，所以()min1lnln20222aag xgaa=不成立.所以实数 a 的取值范围为：(,2.【小问 2 详解】()22e2xf xxx=，()22e22xfxx=，因为0 x是()fx的极值点，所以0 x满足()02000,e1x

50、fxx=+，要证明()120ln22ln2xxx+，即证明021202e12xxxx+=+，化简得1022xxx，由于()fx在()0,0 x上单调递减，且由()()12f xf x=，210 xx，可知2010 xxx.故()()10020,0,2,0 xxxxx，从而1022xxx可推得()()1022fxfxx，而()()12f xf x=，因此()()2022fxfxx.令()()()()002,F xfxfxxxx=，则()()()()()04220022e222e2 22xxxFxfxfxxxxx=+，()()00024222002 ee222ee2e22xxxxxxxxx=+=+