电动力学第零章数学准备课件.ppt

1、Copyright by Beilei Xu第0章 数学准备主要内容主要内容n 函数及其性质函数及其性质n 正交曲线坐标系正交曲线坐标系n 场、梯度、散度、旋度场、梯度、散度、旋度n 矢量代数矢量代数矢量定义矢量定义 n 直角坐标系中：直角坐标系中：矢量用有向线段表示矢量用有向线段表示zzyyxxeAeAeAAy A x z 222zyxAAAAAn 模：模：222coscoscos1AAAAAAzyxcoscoscosn 方向余弦：方向余弦：zyxeeeAAcoscoscosn 单位矢量：单位矢量：矢量代数矢量代数 n 加法：满足平行四边形法则加法：满足平行四边形法则（或三角形法则）（或三角

2、形法则）ABBA交换律：交换律：)()(CBACBA结合律：结合律：矢量代数矢量代数n 标积：标积：（结果为标量（结果为标量)cosA BAB 矢量矢量 与单位矢量与单位矢量 的标积等于的标积等于 在在 方向的投影方向的投影AAee交换律：交换律：ABBA分配律：分配律：CABACBA)(方向：右手螺旋法则方向：右手螺旋法则矢量代数矢量代数模：模：与与 所构成平行四边形的面积所构成平行四边形的面积 sinABBAAB分配律：分配律：CABACBA)(不满足交换律：不满足交换律：ABBA321321321BBBAAAeeeBAn 矢积：矢积：（结果为矢量）（结果为矢量）矢量代数矢量代数n 三矢量

3、混合积：三矢量混合积：(结果为标量结果为标量)(CBAcos)sin()(321321321BCACCCBBBAAACBA 三矢量三矢量 、的混合积等于它们所构成平行六面体的体积的混合积等于它们所构成平行六面体的体积ABC （三矢量循环轮换积不变，两矢量对调差负号）（三矢量循环轮换积不变，两矢量对调差负号）)()()()()()(ABCCABBCABACACBCBA矢量代数矢量代数n 三矢量双重矢积：三矢量双重矢积：（结果为矢量）（结果为矢量）)(CBA 必在必在 与与 构成的平面上，可表示为构成的平面上，可表示为 与与 的线的线性组合。性组合。)(CBABCBC （点远乘近减点近乘远）（点远

4、乘近减点近乘远）CBABCACBA)()()(BCACBACBAACB)()()()(注意：注意：CBACBA)()(矢量微分矢量微分()d A BdBdAABdtdtdt()d ABdBdAABdtdtdtn 两矢量乘积的微分形式上与两标量乘积的微分相同两矢量乘积的微分形式上与两标量乘积的微分相同主要内容主要内容n 函数及其性质函数及其性质n 正交曲线坐标系正交曲线坐标系n 场、梯度、散度、旋度场、梯度、散度、旋度n 矢量代数矢量代数场场 场用空间和时间坐标的函数来描述n 定义：定义：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就称

5、在该空间确定了该物理量的场。就称在该空间确定了该物理量的场。如：温度场、电势场、速度场、引力场、电磁场等。如：温度场、电势场、速度场、引力场、电磁场等。n 分类：分类：标量场（数量场）标量场（数量场）矢量场矢量场(,)(,)A x y z tA x t(,)(,)x y z tx t静场（恒定场、稳恒场）静场（恒定场、稳恒场）时变场（变化场）时变场（变化场）(,)x t()A x()x(,)A x t在给定点，方向导数有无穷多个。在给定点，方向导数有无穷多个。n 方向导数：标量场在给定点沿某个方向的变化率。方向导数：标量场在给定点沿某个方向的变化率。等值面不可能相交。等值面不可能相交。标量场的

6、梯度标量场的梯度 n 等值面：等值面：的曲面的曲面常数),(zyx设设 点，沿线元点，沿线元 ，标量场，标量场 的数值改变的数值改变 ，则则 点沿点沿 方向的方向导数为方向的方向导数为 。),(zyxl d),(zyxd),(zyxl ddld(最大方向倒数最大方向倒数)标量场的梯度标量场的梯度直角坐标系中：直角坐标系中：zyxezeyexgradn 梯度：若在标量场梯度：若在标量场 的一点的一点 处，存在矢量处，存在矢量 ，其方向为标量场在该点变化率最大的方向，模为该点的最大变其方向为标量场在该点变化率最大的方向，模为该点的最大变化率值，则称矢量化率值，则称矢量 为标量场在该点的梯度。记做为

7、标量场在该点的梯度。记做 ,或或 。),(zyx),(zyxGGgradn 梯度垂直于等值面。梯度垂直于等值面。n 标量场的梯度是矢量场。标量场的梯度是矢量场。标量场的梯度标量场的梯度()lddldlgradgraddgraddldldldldl n 方向导数和梯度的关系：标量场中某点沿线元方向导数和梯度的关系：标量场中某点沿线元 方向的方方向的方向导数等于该点梯度沿向导数等于该点梯度沿 方向的投影。方向的投影。l dl d具有矢量性矢量性、微分性微分性矢量微分算子矢量微分算子yxzxyzxxyyzzAAAAeeee Ae Ae AxyzxyzxyzyyxxzzxyzxyzeeeAAAAAAA

8、eeexyzyzzxxyAAA2222222xyz zeyexezyxn 直角坐标系中的表示形式：直角坐标系中的表示形式：xyzeeexyz例题例题 1.为由源点为由源点 指向场点指向场点 的矢量，证明：的矢量，证明：rxxrrrr 2.求求矢量线、纵场、横场矢量线、纵场、横场 n 横场：矢量线没有起点和终点，是无头无尾的闭合回线。横场：矢量线没有起点和终点，是无头无尾的闭合回线。n 纵场：矢量线从场中一些点或无穷远处发出，终止于另一些纵场：矢量线从场中一些点或无穷远处发出，终止于另一些点或无穷远处。点或无穷远处。n 矢量线（场线）：矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量矢量线（场线）：矢量线上

9、每一点的切线方向表示该点矢量场的方向；每一点上矢量线的密度（穿过与该点矢量场方向垂场的方向；每一点上矢量线的密度（穿过与该点矢量场方向垂直的单位面元上的矢量线数目）表示该点矢量场的大小。直的单位面元上的矢量线数目）表示该点矢量场的大小。横场线纵场线通过闭合曲面的通量反映空间某一区域场的发散或会聚情况，通过闭合曲面的通量反映空间某一区域场的发散或会聚情况，但不能反映空间某一点的情况。但不能反映空间某一点的情况。矢量场的通量和散度、高斯定理矢量场的通量和散度、高斯定理 n 通量：矢量场通量：矢量场 沿有向曲面沿有向曲面 的积分的积分 称为矢量称为矢量场场 穿过曲面穿过曲面 的通量。（穿过有向曲面的

10、矢量线数目）的通量。（穿过有向曲面的矢量线数目）ASSA dS AS 通过闭合曲面通过闭合曲面 的通量为的通量为 ，方向由面内指向面方向由面内指向面外。若：外。若：面内有净正源（通量源）：面内有净正源（通量源）：面内有净负源：面内有净负源 ：面内无净源：面内无净源ASSSdASd0 0 0 散度是场中任意点的散度是场中任意点的通量体密度通量体密度，反映场中各点通量源的强弱。，反映场中各点通量源的强弱。矢量场的散度是标量场。矢量场的散度是标量场。矢量场的通量和散度、高斯定理矢量场的通量和散度、高斯定理 VSdAAdivSV0limn 散度：设散度：设M为矢量场为矢量场 中的一点，取包含中的一点，

11、取包含M的小体积元的小体积元 ，的表面为的表面为 。当。当 以任意方式缩向以任意方式缩向M（）时，矢量场）时，矢量场 通过表面通过表面 的通量的通量 与体积与体积 之比的极限值称为矢量之比的极限值称为矢量场场 在在M点的散度，记作点的散度，记作 ，或，或 ，即：，即：AVVVVSAAdivA0VSA dSSA矢量场的通量和散度、高斯定理矢量场的通量和散度、高斯定理 VSdVASdAAVVAVdVAVSdAAdivVVSV00limlimn 高斯定理：面积分与体积分的变换关系高斯定理：面积分与体积分的变换关系 例题例题 1.求求r 2.求求3 (0)rrr 3.求证求证AAA 环量反映矢量场在空

12、间某一区域内的涡旋情况环量反映矢量场在空间某一区域内的涡旋情况 矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式 n 环量：矢量场环量：矢量场 沿有向闭合曲线沿有向闭合曲线 的线积分的线积分 称为矢量场称为矢量场 沿有向闭合曲线沿有向闭合曲线 的环量。的环量。AALLLl dA若矢量场若矢量场 沿任一闭合曲线沿任一闭合曲线 的积分：的积分：区域内无涡旋状态，场线不闭合：区域内无涡旋状态，场线不闭合 ：区域内有涡旋状态，场线闭合：区域内有涡旋状态，场线闭合AL00矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式 n 环量面密度：设环量面密度：设M为矢量场为矢量场

13、中一点，在中一点，在M处取定一个方处取定一个方向向 ，过，过M且以且以 为法矢作一微小曲面为法矢作一微小曲面 ，的周界为的周界为 （绕行方向和绕行方向和 成右手螺旋关系）。当成右手螺旋关系）。当 在保持以在保持以 为为法矢的条件下，以任意方式缩向法矢的条件下，以任意方式缩向M点时，矢量场点时，矢量场 沿沿 的环的环量量 与面积与面积 之比的极限值称为矢量场之比的极限值称为矢量场 在在M点沿点沿 方向的环量面密度，即：方向的环量面密度，即：AAAnnnnnnSSSSLLLA dLSLdALS0lim给定点的环量面密度有无穷多个，依赖于方向给定点的环量面密度有无穷多个，依赖于方向 。n旋度是场中任

14、意点的旋度是场中任意点的最大环量面密度最大环量面密度（大小、方向），反（大小、方向），反映场中各点环量源的强弱。映场中各点环量源的强弱。矢量场的旋度场是矢量场。矢量场的旋度场是矢量场。矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式 n 旋度：若矢量场旋度：若矢量场 中一点中一点M处存在一矢量处存在一矢量 ，其方向为矢量，其方向为矢量场在该点环量面密度最大的方向，模为该点的最大环量面密场在该点环量面密度最大的方向，模为该点的最大环量面密度值，则称矢量度值，则称矢量 为矢量场为矢量场 在该点的旋度，记作：在该点的旋度，记作：，或或 。AARRArotA矢量场的环量和旋度、斯托克斯

15、公式矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式n 环量面密度与旋度的关系：矢量场中某点沿方向环量面密度与旋度的关系：矢量场中某点沿方向 的环量的环量面密度等于该点旋度在面密度等于该点旋度在 方向的投影。即：方向的投影。即：nnnArotArotSLdAnLS)()(lim0当当 时，时，0SSArotLdAL)(或或:矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式矢量场的环量和旋度、斯托克斯公式SLSdALdA)(AArotnASSASSdASLdAnArotArotSSLSn)()()(limlim)()(00n 斯托克斯公式：线积分与面积分的变换关系斯托克斯公式：线积分与面积分的变换关系例题例题 1.求求3rr

16、2.证明证明AAA 关于散度旋度的四个定理关于散度旋度的四个定理 即若即若 ，则，则 ，称为无旋场称为无旋场 的标势函数。的标势函数。0FFF即若即若 ，则，则 ，称为无源场称为无源场 的矢势函数。的矢势函数。F0 FAFAn 无源场必可表示为某矢量场的旋度。无源场必可表示为某矢量场的旋度。n 无旋场必可表示为某标量场的梯度。无旋场必可表示为某标量场的梯度。0An 矢量场的旋度必为无源场，即矢量场的旋度必为无源场，即0n 标量场的梯度必为无旋场，即标量场的梯度必为无旋场，即 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 n 任意的矢量场（任意的矢量场（，）均可以分解为无旋场）均可以分解为无旋场 和无源场和无源场

17、之和，即之和，即 ，。又称为又称为 的纵场部分，可引入标势的纵场部分，可引入标势 ，。又称为又称为 的横场部分，可引入矢势的横场部分，可引入矢势 ，。0F0F1F2F2F1F12FFF10F20FA1F 2FA FF矢量场被唯一确定的条件：唯一性定理矢量场被唯一确定的条件：唯一性定理 V()()()n SAxAxAf SS 在V内在 面上n 在空间某一区域内给定矢量场的散度和旋度以及场在区域边在空间某一区域内给定矢量场的散度和旋度以及场在区域边界上的法向分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。界上的法向分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。n 积分变换公式积分变换公式常用运算公式常用运算公式一般

18、规则：一般规则：*,*SVLSdSdVAAdldS可以是等例：例：()SVLSSVLSSVLSdSdVdldSdS AdVAdl AdSAdSAdVAdlAdSA 高斯公式斯托克斯公式（）高斯公式：高斯公式：SVA dsAdV斯托克斯公式：斯托克斯公式：LSA dlAdS格林公式：格林公式：222()SVSVdSdVdSdV 第一公式（）第二公式（）常用运算公式常用运算公式：AAA AAA)()()()(BABABAA BB ABAA BAB 200A2AAA A BABABBABA n 算符常用公式算符常用公式记忆：1）微分性：两因子乘积的微分拆成两项分别对两因子微分（用下标c标记不微分项）

19、2）矢量性：点乘可交换位置，叉乘交换位置取负（通过位置变换，使 作用在需微分的因子上）常用运算公式常用运算公式 dff uududAA uududAA uudu zyxezzeyyexxxxr)()()(3323330100140rrrrrrrrrrrrrxxrrrra rara （）n 复合函数的三度复合函数的三度rn 有关有关 的运算公式的运算公式 是空间坐标 的函数 u(,)x y z 主要内容主要内容n 函数及其性质函数及其性质n 正交曲线坐标系正交曲线坐标系n 场、梯度、散度、旋度场、梯度、散度、旋度n 矢量代数矢量代数正交曲线坐标系正交曲线坐标系 正交曲线坐标系中，空间一正交曲线坐

20、标系中，空间一点点P的位置坐标为的位置坐标为 ，该点处沿曲线坐标增加方向的该点处沿曲线坐标增加方向的单位矢量为单位矢量为 。),(321uuu),(321eee1 11222333123,dle hdue h due h duh h h度规因子，n 有向线元：有向线元：1 23232 1 3133 1 212dSeh h du due hh du due hh du dun 有向面元：有向面元：321321dududuhhhdV n 体积元：体积元：正交曲线坐标系中的正交曲线坐标系中的“三度三度”及拉普拉斯算符及拉普拉斯算符)()()(13321322132113213212uhhhuuhhh

21、uuhhhuhhhn 拉氏算符：拉氏算符：3322113213322113211AhAhAhuuuehehehhhhAn 旋度：旋度：)()()(1321321321321321AhhuAhhuAhhuhhhAn 散度：散度：333222111euheuheuhn 梯度：梯度：直角坐标系（笛卡儿坐标系）直角坐标系（笛卡儿坐标系）1321321hhhzuyuxu2222222xyzyxzxyzyyxxzzxyzxyzeeexyzAAAAxyzeeeAAAAAAAeeexyzyzzxxyAAAxyz柱坐标系柱坐标系 12312311uruuzhhrh222222111()111()rzzrrzrz

22、eeerrzAAArArrrzereeArrzArAArrrrrz球坐标系球坐标系 1231231sinuruuhhrhr22222222222sin1)(sinsin1)(1sinsinsin1sin1)(sinsin1)(1sin11rrrrrrArrAArerererAArArArrrAerererrrrr主要内容主要内容n 函数及其性质函数及其性质n 正交曲线坐标系正交曲线坐标系n 场、梯度、散度、旋度场、梯度、散度、旋度n 矢量代数矢量代数三维：三维：一维：一维：n 定义定义 函数函数01xaxaxaxa dxa 0000000001Vxxxxxxyyzzxxxx dVxV 函数函数00000(),()()()Vf xxV f xxf xxx dxxV在 点附近连续（取样性）0n 电动力学中一个重要的电动力学中一个重要的 函数形式函数形式 23111,44rrxxrxxrxxrr 其中：()()()xx偶函数n 常用性质常用性质 函数函数n 位于位于 点带电量为点带电量为 的点电荷密度：的点电荷密度：0 xQ 0000()0()VxxxxxxxQxxxdVQxV Copyright by Beilei XuEND