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1、概率复习课概率复习课事件事件确定事件确定事件随机事件随机事件频率频率概率概率古典概型古典概型基本事件基本事件等可能事件等可能事件几何概型几何概型随机数与随机模拟随机数与随机模拟性质性质互斥事件互斥事件 对立事件对立事件意义意义应用概率解决实际问题应用概率解决实际问题 1、“互斥事件互斥事件”与与“对立事件对立事件”。2、“古典概型古典概型”与与“几何概型几何概型”。1.“1.“互斥事件互斥事件”与与“对立对立事件事件”（1 1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立。两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立。（2 2）互斥互斥的概念适用于的概念适用于多个多个事件，但事件，但对立对立概念概念只适用于只

2、适用于两个两个事件事件.（3 3）两个事件）两个事件互斥互斥只表明这两个事件不能同时只表明这两个事件不能同时发生，即发生，即至多至多只能发生一个，但可以都不发生；只能发生一个，但可以都不发生；而两事件而两事件对立对立则表明它们则表明它们有且只有有且只有一个发生。一个发生。2.“2.“古典概型古典概型”与与“几何概几何概型型”古典概型古典概型几何概型几何概型联系联系基本事件发生的基本事件发生的等可能性等可能性区区别别基本事件个数的基本事件个数的有限性有限性概率为概率为0 0的基本事件一的基本事件一定是不可能事件，定是不可能事件，概率为概率为1 1的基本事件一定的基本事件一定是必然事件是必然事件。

3、基本事件个数的基本事件个数的无限性无限性概率为概率为0 0的基本事件不一定是不可的基本事件不一定是不可能事件，概率为能事件，概率为1 1的基本事件也不一的基本事件也不一定是必然事件：如果随机事件所在定是必然事件：如果随机事件所在的区域是一个的区域是一个单点单点，由于单点的长，由于单点的长度、面积、体积均为度、面积、体积均为0 0，则它的出现，则它的出现的概率为的概率为0 0，但它不是不可能事件；，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概区域扣除一个单点，则它出现的概率为率为1 1，但它不是必然事件。，但它不是必然事件。方法方

4、法列举法、树状图、列表法列举法、树状图、列表法 几何测度法几何测度法长度、面积、体积长度、面积、体积（1 1）一只口袋里装有大小相同的）一只口袋里装有大小相同的6 6只球，其中只球，其中3 3只白球，只白球，3 3只红球，从中摸只红球，从中摸3 3球，求至少有一只球，求至少有一只是红球的概率。是红球的概率。解解:设红球编号为设红球编号为1，2，3,白球编号为白球编号为x，y，z；摸出三只球的基本事件共有摸出三只球的基本事件共有20种（列举法，树状图）种（列举法，树状图）法法1：（直接法）记：（直接法）记A=至少有一只是红球至少有一只是红球，P（A）=，2019法法2：（间接法：（间接法）事件事

5、件A的概率可转化成求其对立事件的概率可转化成求其对立事件的概率的概率.P（A）=20192011 （2 2）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出各出1 1到到5 5根手指，如果和为偶数算甲赢，否根手指，如果和为偶数算甲赢，否则算乙赢。则算乙赢。若以若以A A表示和为表示和为6 6的事件，求的事件，求P P（A A）；）；现连玩三次，若以现连玩三次，若以B B表示甲至少赢一次的表示甲至少赢一次的事件，事件，C C表示乙至少赢两次的事件，试问表示乙至少赢两次的事件，试问B B与与C C是否为互斥事件？为什么？是否为互斥事件？为什么？这种游戏规则公平吗？试说明理由。这

6、种游戏规则公平吗？试说明理由。解：两人玩游戏，共有基本事件：解：两人玩游戏，共有基本事件：个个2555 nA A包含的事件共包含的事件共5 5个个：51255)(AP不是互斥事件，因为不是互斥事件，因为B B与与C C可以同时发生。可以同时发生。如：甲赢一次，乙赢两次的事件。如：甲赢一次，乙赢两次的事件。1 2 3 4 5123452 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 96 7 8 9 10和为偶数的基本事件数为和为偶数的基本事件数为1313个：个：2513甲赢的概率为甲赢的概率为由于由于“和为奇数和为奇数”与与“和为偶数和为偶数”是对立事件，是对立事件，251

7、22513-1 乙乙赢赢的的概概率率为为所以这种游戏是不公平的。所以这种游戏是不公平的。1 2 3 4 5123452 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 96 7 8 9 10甲乙两人能够玩公平的游戏吗？甲乙两人能够玩公平的游戏吗？如：如：“和为和为5 5算甲赢算甲赢”与与“和为和为7 7算乙赢算乙赢”，1 2 3 4 5123452 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 96 7 8 9 10和“和为和为4 4算甲赢算甲赢”与与“和为和为8 8算乙赢算乙赢”，等等，等等甲乙两人能够玩公平的游戏吗？甲乙两人能够玩公平的游戏吗？又如：又

8、如：“积为积为2 2算甲赢算甲赢”与与“积为积为6 6算乙赢算乙赢”，“积为积为1212算甲赢算甲赢”与与“积为积为2020算乙赢算乙赢”，等等，等等1 2 3 4 5123451 2 3 4 52 4 6 8 103 6 9 12 154 8 12 16 205 10 15 20 25积（3）如图，）如图，在线，在线段段OB上任取一点上任取一点C，试求，试求 5OB2OA60o ，AOB为为钝钝角角三三角角形形的的概概率率。AOC 为为锐锐角角三三角角形形的的概概率率。AOC EDOBA解：解：为为直直角角三三角角形形，时时，当当AOD1,ODOBAD .AOE1,BE4OEAEOA为直角三

9、角形为直角三角形，时，时，当当 EDOBA当点当点C在线段在线段OD或或BE上时，上时，52为为钝钝角角三三角角形形。AOC CC记记 为事件为事件M，为钝角三角形”“AOC则则52511OBEBODMP ）（即即 的概率为的概率为 .为为钝钝角角三三角角形形AOC 52当点当点C在线段在线段DE上时，上时，为锐角三角形AOC记记 为事件为事件N，为为锐锐角角三三角角形形”“AOC 53OBDENP ）（即即 的概率为的概率为 为锐角三角形AOC53CP(M)+P(N)=1,P(直角三角形直角三角形)=？（0707海南文海南文2020题）设有关于的一元二次方程题）设有关于的一元二次方程 （）若

10、）若 是从四个数是从四个数0 0，1 1，2 2，3 3中任取的一个中任取的一个数，是从三个数数，是从三个数0 0，1 1，2 2中任取的一个数，求上述中任取的一个数，求上述方程有实根的概率方程有实根的概率（）若）若 是从区间是从区间00，33任取的一个数，是从任取的一个数，是从区间区间00，22任取的一个数，求上述方程有实根的任取的一个数，求上述方程有实根的概率概率2220 xaxbabab解：设事件解：设事件A为为“方程方程 有实有实根根”2220aaxb当当 ，时，方程时，方程 有有实根的条件为实根的条件为0a 0b 2220 xaxb 0444)2(2222babaab（）基本事件共）

11、基本事件共12个：个：(0 0)(01)(0 2)(10)(11)(12)(2 0)(21)(2 2)(3 0)(31)(3 2)，其中第一个数表示其中第一个数表示 的取值，第二个数表示的取值，第二个数表示 的取值的取值ab事件事件A中包含中包含9个基本事件，事件发生的概率为个基本事件，事件发生的概率为 93()1 24PA（）试验的全部结束所构成的区域为）试验的全部结束所构成的区域为()|03 02abab，构成事件构成事件A的区域为的区域为()|03 02ababab，ab032ab 所以所求的概率为所以所求的概率为 213 22223 23)(AP “抛阶砖抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏

12、之一是国外游乐场的典型游戏之一.参与者参与者只须将手上的只须将手上的“金币金币”（设（设“金币金币”的半径为的半径为 r r）抛）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币金币”若若恰好落在任何一个阶砖（边长为恰好落在任何一个阶砖（边长为a a的正方形）的范围内的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.抛阶砖游戏抛阶砖游戏 玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币金币”来参加来参加游戏游戏.那么要问：参加者获奖的概率有多大？那么要问：参加者获奖的概率有多大？把把1，2，3，4，5五

13、个数字组成一个五个数字组成一个没有重复数字的五位数，求没有重复数字的五位数，求（1）一共有多少个五位数。）一共有多少个五位数。（2）这个五位数是奇数的概率。）这个五位数是奇数的概率。(3)能被能被2或或5整除的概率。整除的概率。（4）求万位和个位上数字之和大于）求万位和个位上数字之和大于4五位数的概率。五位数的概率。中央电视台中央电视台“幸运幸运52”52”栏目中的栏目中的“百宝箱百宝箱”互动环节，是互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在一种竞猜游戏，游戏规则如下：在2020个商标中，有个商标中，有5 5个商个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张标牌的背面注明一定的奖金额，

14、其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能翻），某观众前两次翻牌均获次翻牌机会（翻过的牌不能翻），某观众前两次翻牌均获奖得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的可能性奖得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的可能性是是 .1/6有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排个月大的婴儿拼排3块块分别写有分别写有“20”，“08”和和“北京北京”的字块，如果婴儿能够的字块，如果婴儿能够排成排成“2008北京北京”或者或者“北京北京2008”，则他们就给婴儿奖励，则他们就给

15、婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（率是（）A B.C.D.61413121 C“列举法列举法”：20 08 北京北京，20 北京北京 08，20 北京，北京，08 北京北京 20，8北京北京 20 08,北京北京 08 20。“树状图树状图”：20 08 北京北京 08 北京北京 20 北京北京 20 08 北京北京 08 北京北京 20 08 20一个均匀的立方体六个面上分别标有数一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6。如图是这个立方体表面的展开图。抛掷这个立方体，则朝如图是这个立方体表面

16、的展开图。抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A B.C.D.61312132A216 45 3 526 341正面为正面为5 显然，显然，“金币金币”与阶砖的相对大小将决定与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率成功抛中阶砖的概率.设阶砖每边长度为设阶砖每边长度为a,“金币金币”直径为直径为d .a 若若“金币金币”成功地落成功地落在阶砖上，其圆心必在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域位于右图的绿色区域A内内.问题化为问题化为:向平面区域向平面区域S（面积为（面积为a2）随机投）随机投点（点（“金币金币”中心），求该点落在区域中心），求该点落在区域A内内的概率的概率.aASa aA于是成功抛中阶砖的概率于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当由此可见，当d接近接近a,p接近于接近于0;而当而当d接近接近0，p接近于接近于1.的面积的面积SAp 22)(ada 0da,你还愿意玩这个游戏吗？你还愿意玩这个游戏吗？a aA成功抛中阶砖的概率成功抛中阶砖的概率22)(adap0da据此，请你自行设计据此，请你自行设计不同难度的不同难度的抛阶砖游抛阶砖游戏戏.若设若设r=d/a,则则p=(1-r)2110rp虚线部分不适于计算虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率抛阶砖游戏的概率