概率论与数率统计第4章课件.ppt

1、第第4章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 数学期望数学期望4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.4 矩矩4.2 方差方差4.1.1 数学期望数学期望(均值均值)的定义的定义 即一个随机变量的平均取值，是它所有即一个随机变量的平均取值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可能值相应可能取值的加权平均，权是这些可能值相应的概率。的概率。数字特征是由随机变量决定的一些常数，数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差是其中最重要的两个特征，它们期望与方差是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分性质。只能刻化随机变量的部分性质。1.离散随机变量的数学期望离散随机变量的数

2、学期望如果如果X 的分布律的分布律 P X=xk=pk,k1 满足满足 k1|xk pk|+，则则 X 的数学期望定义为求和：的数学期望定义为求和：EX =k1 xk pk 级数绝对收敛的条件是为了保证期望级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。并不是任何随机变量不受求和顺序的影响。并不是任何随机变量都有期望（习题第都有期望（习题第4题）。题）。级数绝级数绝对收敛对收敛2.连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望如果如果X 的密度函数的密度函数 f(x)满足满足|()|xf xdx 则连续随机变量则连续随机变量 X 的数学期望是积分：的数学期望是积分：()EXxf x dx 例

3、例4.1.1 (期望概念的来源期望概念的来源)甲、乙各出甲、乙各出100元赌注，约定谁先获胜元赌注，约定谁先获胜 3 局局就赢得全部就赢得全部200元，他们在每一局中输赢的机会元，他们在每一局中输赢的机会相同，在前相同，在前 3 局比赛后赌博因故中止，此时甲局比赛后赌博因故中止，此时甲二胜一负，问他们应该如何分赌注？二胜一负，问他们应该如何分赌注？解解.两人各分两人各分100元显然对甲不公平；元显然对甲不公平；按照按照 2:1 的比例仍然不合理。的比例仍然不合理。公平的方法是：公平的方法是：假定赌博能够继续进行，假定赌博能够继续进行，他们应该按照各自的他们应该按照各自的“期望期望”所得来分。所

4、得来分。剩下的比赛中最多再进行两局，所有可能剩下的比赛中最多再进行两局，所有可能的情况是：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙；其中有的情况是：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙；其中有3 种情况是甲赢得全部种情况是甲赢得全部200元。元。以以 X、Y 分别定义甲、乙两人最终所得，分别定义甲、乙两人最终所得，X 0 200 Y 0 200 p 0.25 0.75 p 0.75 0.25 显然显然 EX=150，EY=50，所以公平，所以公平的办法是他们以的办法是他们以3:1 的比例分赌注。的比例分赌注。例例4.1.2 一位射击教练将从两个候选人中挑选一位射击教练将从两个候选人中挑选 一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好

5、？一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？成绩成绩(环数环数)8 9 10 甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6 乙的概率乙的概率 0.2 0.5 0.3解解.以以 X、Y 分别表示甲、乙射击一次的结果，分别表示甲、乙射击一次的结果，X 的数学期望的数学期望(甲射击一次的平均成绩甲射击一次的平均成绩)是是 EX=80.1+90.3+100.6=9.5(环环)，同理，乙射击一次的平均成绩是同理，乙射击一次的平均成绩是 EY=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)。解解.以以 X 记这个项目记这个项目 的投资利润。的投资利润。平均利润为：平均利润为：EX=50.3+00.6+(-10)0

6、.1=0.5，而同期银行的利息是而同期银行的利息是 100.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。因此从期望收益的角度应该投资这个项目。利润利润 5 0 -10概率概率 0.3 0.6 0.1例例4.1.3 某人有某人有 10 万元，如果投资于一项目万元，如果投资于一项目 将有将有 30%的可能获利的可能获利 5 万，万，60%的可能不赔的可能不赔 不赚，但有不赚，但有10%的可能损失全部的可能损失全部 10 万元；万元；同期银行的利率为同期银行的利率为 2%，问他应该如何决策？，问他应该如何决策？例例4.1.4 假定某人设计了如下一个赌局：假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有

7、每个人从有 3 张假币的张假币的 10 张张 100 元纸币中元纸币中 随机地抽出随机地抽出 4 张。如果全是真的，则赢得张。如果全是真的，则赢得 这这 400元；如果这元；如果这 4 张中至少有一张假币，张中至少有一张假币，只输只输 100 元。问这种规则是否公平，或者元。问这种规则是否公平，或者 说你是否愿意参加？说你是否愿意参加？解解.一个公平合理的赌博或博弈规则必须是一个公平合理的赌博或博弈规则必须是 双方的平均获利都等于双方的平均获利都等于 0。以以X 记每局赌博中庄家的获利记每局赌博中庄家的获利(可以为负可以为负)，则则X 所有可能的取值是所有可能的取值是-400 与与 100。在

8、古典概率模型中已经得到在古典概率模型中已经得到X 的分布律的分布律 xk -400 100 pk X 的数学期望，即庄家在每局赌博中的数学期望，即庄家在每局赌博中 的平均获利为：的平均获利为：EX =(-)+=。这种赌博对庄家有利，平均每一局这种赌博对庄家有利，平均每一局他将净赚他将净赚 16.67 元。元。1 5 6 6 400 500 50 6 6 3例例4.1.5 假定乘客在公交车站等车的时间假定乘客在公交车站等车的时间 X (分钟分钟)服从参数服从参数 5 的指数分布，的指数分布，f(x)=0.2 e-0.2 x，x 0 问这个人的平均等车时间是几分钟？问这个人的平均等车时间是几分钟？

9、解解.平均等车时间即是数学期望平均等车时间即是数学期望 EX，yyedy055 0.20()0.2xEXxf x dxxedx 即平均需要等待即平均需要等待 5 分钟。分钟。例例4.1.6 有有2个相互独立工作的电子装置，它个相互独立工作的电子装置，它们的寿命们的寿命Xk服从同一指数分布服从同一指数分布1,0()00,0 xexf x x 若将这若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命机寿命N的数学期望。的数学期望。解解 Xk(k=1,2)的分布函数为的分布函数为22min1,0()1 1()0,0 xexFxF x x 1,0()0,0 xexF x x

10、 2min2,0()0,0 xexfx x N的分布函数为的分布函数为两个随机变量中两个随机变量中较小者的分布函较小者的分布函数公式数公式N的概率密度函数为的概率密度函数为min20()()2/2xE Nxfx dx xedx 例例4.1.7 按规定，某车站每天按规定，某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆车到站，但到站的时刻都恰有一辆车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为律为到站时间到站时间 8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到站，求他

11、候车时间的数学期望。到站，求他候车时间的数学期望。解解 设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X，则，则X的分布率为的分布率为X 10 30 50 70 90Pk 3/6 2/6 1/6 1/6 1/6 3/6 1/6 2/6当且仅当第一个车当且仅当第一个车8:30到到当且仅当第一个车当且仅当第一个车8:10到，到，而且第二个车而且第二个车9:10到到 E(X)=10 3/6+30 2/6+50 1/36+70 3/36+90 2/36=27.22 4.1.2随机变量函数的期望公式随机变量函数的期望公式(1)离散随机变量离散随机变量 X 具有分布律：具有分布律：P X=xk =pk,k 1，则随

12、机变量则随机变量 Y=g(X)的数学期望是：的数学期望是：EY =Eg(X)=k 1 g(xk)pk(2)连续随机变量连续随机变量 X 具有密度函数具有密度函数 f(x)，则随机变量则随机变量 Y=g(X)的数学期望是：的数学期望是：EY =Eg(X)=()()g x f x dx 证明见教材证明见教材(3)连续随机向量连续随机向量(X，Y)具有联合具有联合 密度函数密度函数 f(x,y)，则随机变量则随机变量 Z=g(X，Y)的数学期望是的数学期望是 EZ=E g(X，Y)(,)(,)g x y f x y dxdy 例例4.1.8 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为32

13、11,12(,)0,yx xx yxf x y 其其它它求数学期望求数学期望E(Y),E(1/XY),解：在上面的公式中令解：在上面的公式中令g(x,y)=y得得1321131312121231()(,)323ln|2ln33ln23 ln31|2234xxxxE Yyf x y dxdy ydydxx y ydxxx dxx xdxx =dxxx =11()(,)35Ef x y dxdyXYxy 例例4.1.9 某公司计划开发一种新产品市场，并某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利品可获利m元，而积压一件产品

14、导致元，而积压一件产品导致n元损失，元损失，再者他们预测销量再者他们预测销量Y(件件)服从指数分布，其概服从指数分布，其概率，密度为率，密度为11,0()0,0yeyf y y 问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？件产品？解解 设生产设生产x件，则获利件，则获利Q是是x的函数：的函数：00000()()11()1()1()|()Yyyxxyyxxyyyxxx E QQfy dy myn xyedymxedy myn xy demxedy myn xy eed myn xymxedy =mx 01()()()xyyxxxenxmnedymxed

15、y mnmnenx (),(),mYn xYxYQ xmx xY Q也是随机变量也是随机变量Y的函数：的函数：ln()nxmn ()()0 xdE Qmn endx 4.1.3 数学期望的基本性质数学期望的基本性质即，设即，设 a、b 是两个常数，则有：是两个常数，则有：E(a+bX)=a+b EX；1.线性变换的期望等于期望的线性变换线性变换的期望等于期望的线性变换2.和的期望等于期望的和和的期望等于期望的和(不需要任何条件不需要任何条件)对任意对任意 n 个随机变量个随机变量 X1、Xn，都有：都有：E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn 3.独立独立乘积的期望等于期望的乘积乘积的

16、期望等于期望的乘积如果如果 X1、X2、Xn 相互独立相互独立，则有：，则有：E(X1X2Xn)=EX1EX2EXn 例例4.1.10 设一民航送客车载有设一民航送客车载有20位旅客自机场开位旅客自机场开出，旅客有是个车站可以下车，如到达一个车站出，旅客有是个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，表示停车的次数，求求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的（设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设个旅客是否下车相互独立）。并设个旅客是否下车相互独立）。1,0iiX 第第 站站有有人人下下1210XXXX2090()10iP X 2091

17、1()10iP X 209()1()10iE X209()101()8.78410E X 则则习题：习题：6、7、8、94.2.1 方差的定义方差的定义 如果如果(X EX)2 的数学期望存在，的数学期望存在，即即 E(X-EX)2 +，则称它是则称它是 X 的方差，记为的方差，记为 DX 或者或者Var(X)。方差平方根方差平方根(DX)1/2称为称为 X 的标准差或均方差的标准差或均方差 方差是一个随机变量在它的数学期望方差是一个随机变量在它的数学期望附近取值的分散程度，方差越小说明这个附近取值的分散程度，方差越小说明这个随机变量取值越集中于期望。随机变量取值越集中于期望。4.2 方差方差

18、1.方差的计算公式方差的计算公式方差总是非负常数，期望可以是任意实数。方差总是非负常数，期望可以是任意实数。(1)按照表达式方差是一种特殊的随机变量按照表达式方差是一种特殊的随机变量 函数的期望：函数的期望：DX=E(X-EX)2(2)常用公式：常用公式：DX=E(X2 2XEX+(EX)2)=E(X2)-2(EX)2+(EX)2=E(X2)-(EX)2 2.期望与方差的概率意义期望与方差的概率意义 方差越小理解成随机变量的随机性越弱。方差越小理解成随机变量的随机性越弱。期望是一个随机变量取值的平均，方差是期望是一个随机变量取值的平均，方差是随机变量在这个平均值附近取值的分散程度。随机变量在这

19、个平均值附近取值的分散程度。理论上可以证明，理论上可以证明，随机变量随机变量X 的方差为的方差为 0 的充分必要条件是，的充分必要条件是，这个随机变量取值为一个常数的概率是这个随机变量取值为一个常数的概率是1。即即 DX=0 P(X=EX)=1 例例4.2.1 射击教练将从他的两名队员中选择射击教练将从他的两名队员中选择 一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？解解.这里甲、丙两人的平均成绩都是这里甲、丙两人的平均成绩都是 EX=EZ=9.5 需要比较方差，简单计算后可以得到：需要比较方差，简单计算后可以得到：DX=0.45，DZ=0.65 因此应该选择甲队员去

20、参加比赛。因此应该选择甲队员去参加比赛。成绩成绩(环数环数)8 9 10 甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6 丙的概率丙的概率 0.2 0.1 0.7练习练习4.2.1 续例续例4.2.1，甲乙射击技术如下：，甲乙射击技术如下：需要利用分布律计算并比较两个概率需要利用分布律计算并比较两个概率 P(XY)，以及以及 P(XY)已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算方差能发现甲的成绩也比乙稳定方差能发现甲的成绩也比乙稳定(DY=0.49)。如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些？X 8 9 10 Y 8 9 10 p 0.1

21、 0.3 0.6 p 0.2 0.5 0.34.2.2方差的基本性质方差的基本性质与数学期望的性质比较：与数学期望的性质比较：E(a+bX)=a+b EX平移改变随机变量期望，但不会改变方差平移改变随机变量期望，但不会改变方差1.随机变量线性变换的方差公式随机变量线性变换的方差公式 设设 a、b 是两个常数，则有是两个常数，则有 D(a+bX)=b2 DX；2.独立独立和的方差等于方差的和和的方差等于方差的和如果如果 X1、X2、Xn 相互独立相互独立，则，则 D(X1+X2+Xn)=DX1+DX2+DXn与数学期望的性质比较：与数学期望的性质比较：任意随机变量和的期望等于期望的和任意随机变量

22、和的期望等于期望的和；独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积。独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积。3.任意两个随机变量和的方差公式任意两个随机变量和的方差公式 D(X+Y)=DX+DY+2E(X-EX)(Y-EY)若若X、Y相互独立相互独立D(X+Y)=DX+DY 假设假设 EX=，DX=2，则随机变量，则随机变量 Y=称为是称为是X 的中心标准化。的中心标准化。X-随机变量的随机变量的(中心中心)标准化标准化4.D(X)=0 PX=C=1,C=E(X)1()()()0XE YEE X 2211()()()()1XD YDD XD X 例例4.2.2 假定假定n 个独立随机变量个独立随机变量

23、X1,Xn 具有相同的期望具有相同的期望 和方差和方差 2，定义，定义 Sn=X1+Xn 计算计算Sn的期望、方差并且把的期望、方差并且把 Sn 中心标准化。中心标准化。解解.根据期望与方差的性质，根据期望与方差的性质，ESn=n ，DSn=n 2 因此因此 Sn 的中心标准化为的中心标准化为nnSnYn “中心标准化中心标准化”的目的是通过线性变的目的是通过线性变换换把一个随机变量的期望转化为把一个随机变量的期望转化为 0，方差，方差转化为转化为 1。1.两点分布两点分布都与这些分布的参数有关都与这些分布的参数有关X 只取只取 0，1 两个可能值，分布律为：两个可能值，分布律为：xk 0 1

24、 p+q=1 pk q p 0 p 14.2.3常用分布期望与方差常用分布期望与方差EX=p，EX 2=p，DX=p-p2=pq2.二项分布二项分布 XB(n,p)的期望与方差的期望与方差 EX=np，DX=npq 如果按照定义，则需要计算如果按照定义，则需要计算 EX=kn=0 kCnk pk qn k DX=kn=0 (k-EX)2Cnk pk qn k注意到二项分布可以分解成两点分布的和：注意到二项分布可以分解成两点分布的和：由二项分布的定义知，如果由二项分布的定义知，如果 X B(n,p)，则则X表示表示n 重伯努利实验中事件重伯努利实验中事件A发生的次数，构造发生的次数，构造随机变量

25、随机变量则则X=X1+X2+Xn，否则发生次试验时事件第0,1AiXi n次独立重复的试验中，随机事件次独立重复的试验中，随机事件A 平均平均将要发生将要发生np 次；或者是在有放回的抽样中，次；或者是在有放回的抽样中，取出的取出的 n 件产品里平均要包含件产品里平均要包含 np 件次品。件次品。这里每个这里每个 Xi 独立同分布于参数为独立同分布于参数为 p 的两点分的两点分布。布。显然有显然有 EXi=p，DXi=pq (q=1-p)因此二项分布的期望与方差是因此二项分布的期望与方差是 EX=np，DX=npq。3.超几何分布超几何分布 无放回取出的无放回取出的n 件产品里，平均件产品里，

26、平均要包含有要包含有nM/N 件次品。件次品。从包含从包含 M 件次品的件次品的N 件产品中无放回随机件产品中无放回随机取出取出 n 件产品，其中次品数件产品，其中次品数 X 的分布律为：的分布律为：nM nM M N-n N N N N-1 EX =，DX =(1-)()kn kMNMknNCCpkn MC,0min(,)4.几何分布几何分布 X 可能取值是一切正整数：可能取值是一切正整数：1，2，；分布律为：分布律为：P X=k =pqk-1 ,k 1 。这里参数这里参数 0 p 1,q=1-p。11111()()1kkkkkkEXkpqpkqq pqpq1 =p 无穷级数求和技巧，将待求

27、无穷级数求和技巧，将待求级数转化为等比级数的导数级数转化为等比级数的导数 如果一个随机事件在每次试验中发生的如果一个随机事件在每次试验中发生的都是都是 p，那么平均需要做，那么平均需要做 1/p 次随机试验，次随机试验，这个事件这个事件A 才会发生。才会发生。22111111132()(1)()2(1)2kkkkkkkkE Xk pq pk kqpkq 1 pqqp1 =pqqpq1 =pp 2222q11qDXpppp5.泊松分布泊松分布 X 可能取值是所有非负整数可能取值是所有非负整数 0，1，；分布律为：分布律为：P X=k =e-，k 0 这里泊松分布的参数这里泊松分布的参数 0。k

28、k!01111!(1)!(1)!kkkkkkkkeeEXkkkkee kk 到达的乘客到达的乘客(或顾客或顾客)平均每一批有平均每一批有 人，人，单位时间里的电话呼叫数平均有单位时间里的电话呼叫数平均有 次等等。次等等。222011122112()!(1)!(2)!kkkkkkkkkkkkeeE Xkkkkee k kkkkee kkk DX 6.均匀分布均匀分布 X 取值的平均就是区间取值的平均就是区间(a,b)的中点的中点 ，a x b f(x)=0 ，其它其它 1 b a X 服从区间服从区间(a,b)上上的均匀分布，的均匀分布，a+b (b-a)2 2 12EX =，DX =7.指数分

29、布指数分布 X 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，e-x/，x 0 f(x)=0 ，其它其它 1 EX=，DX=2 元件的平均寿命、地震平均间隔、机械元件的平均寿命、地震平均间隔、机械故障的平均间隔故障的平均间隔(等待时间等待时间)为为 。00001()()|0 xxxxE Xxf x dxxedx xdexeedx 2()D X 22202220000021()()|0222xxxxxxE Xx f x dxx edx x dex eedxx xedxedx 8.正态分布正态分布当当 X N(,2)时，密度函数为时，密度函数为22()21(),2xf xex EX=，DX=2由第

30、二章引理知由第二章引理知Z=(X-)/N(0,1)22222222221()21211|22011zzzzE Zz edz z de zeedz 奇函数在对称区间奇函数在对称区间上的积分是上的积分是0221()02zE Zzedz X N(,2)(X-)/N(0,1)(X-)/实际上就是正态分布的中心标准化实际上就是正态分布的中心标准化X=Z+EX=E(Z+)=DX=D(Z+)=2D(Z)=24.2.4 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 切比雪夫不等式说明，任意随机变量切比雪夫不等式说明，任意随机变量 X 在它的期望附近取值的概率都有一个下界。在它的期望附近取值的概率都有一个下界。假设假设 EX=

31、，DX=2，则对于任意一个，则对于任意一个实数实数 0，都有：，都有：P|X-|；或者等价地，或者等价地，P|X-|1-。2 2 2 2222222()()()()()xxP Xf x dxx f x dxx f x dx 证明证明 一般情况下的证明比较困难，仅就一般情况下的证明比较困难，仅就X为为 连续随机变量时给出证明连续随机变量时给出证明在不等式中分别取在不等式中分别取 =，2，3 P|X-|0 P|X-|2 0.75 P|X-|3 0.88891.切比雪夫不等式的精确度切比雪夫不等式的精确度比较正态分布的结果，比较正态分布的结果，X N(,2)，P|X-|=0.6826，P|X-|2

32、=0.9544，P|X-|3 =0.9974。(3)可以证明随机事件频率的极限是概率（如可以证明随机事件频率的极限是概率（如大数律）。大数律）。2.切比雪夫不等式的意义切比雪夫不等式的意义(1)能够对任意随机变量近似地估计出概率；能够对任意随机变量近似地估计出概率；只需要期望、方差，而不需要知道这个只需要期望、方差，而不需要知道这个 随机变量的精确分布。随机变量的精确分布。(2)可以说明方差的概率含义；可以说明方差的概率含义；例例4.2.3 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币100次，近似计算正面次，近似计算正面 出现的次数出现的次数 X 介于介于 40 60 之间的概率。之间的概率。解解.根据例题根据

33、例题4.1.10 的结果，有：的结果，有：EX=50，DX=500.5=25。根据切比雪夫不等式根据切比雪夫不等式，P(40 X 60)=P(|X-50|10)1-=0.75。25 100BINOMDIST算出的精确值是算出的精确值是 0.9647998 例例4.2.4 从气象局资料知道沈阳地区夏季平均从气象局资料知道沈阳地区夏季平均 温度是温度是22.3，假定温度的标准差是，假定温度的标准差是5.65,(夏季极端最高温度夏季极端最高温度38.3、最低温度、最低温度15.7)，近似估计夏季某一天温度超过近似估计夏季某一天温度超过 30的概率。的概率。解解.EX=22.3，DX=5.65 2，因

34、此，因此 P X 30 =P X-22.3 7.7 P|X-22.3|7.7 =0.5384。5.652 7.72练习练习 已知随机变量已知随机变量X的期望的期望E(X)=3，PX4=0.7,PX2=0.3,试用切比雪夫不等式试用切比雪夫不等式估计估计D(X)。对应于对应于 E(X)解解 P|X-3|1=P2 X 4=PX4-PX2=0.4由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式0.4=P|X-3|1 1-D(X)/12所以所以D(X)0.6习题习题 4.21-2.教材教材 140 页页 第第 16、20、23 题题。4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数从第二节我们知道，如果从第二节我们知道，如果

35、 X、Y 独立，则有独立，则有 E(X-EX)(Y-EY)=0；反之如果反之如果 E(X-EX)(Y-EY)0，那么那么 X、Y 肯定不独立，说明它们存在某种关系。肯定不独立，说明它们存在某种关系。X、Y 之间的协方差定义成：之间的协方差定义成：4.3.1 刻化变量之间关系刻化变量之间关系Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)1.协方差的引进协方差的引进Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)2.协方差的计算公式协方差的计算公式 协方差实际上是两个随机变量协方差实际上是两个随机变量中心化以后中心化以后乘积的数学期望，是它们不独立关系的一种乘积的数学期望，是它们不独立关系的一种度量。

36、度量。协方差为正说明协方差为正说明X、Y具有相同变化趋势，具有相同变化趋势，即平均来说即平均来说 X 相对于相对于 EX变大变大(或变小时或变小时)Y 也也相对于相对于EY 增加增加(或减少或减少)，反之协方差为负则，反之协方差为负则说明说明X、Y具有相反的变化趋势。具有相反的变化趋势。3.相关系数的定义相关系数的定义XYCov X YDXDY(,)相关系数实际上是两个随机变量相关系数实际上是两个随机变量中心标准化中心标准化以后乘积的数学期望，用来衡量它们之间线性以后乘积的数学期望，用来衡量它们之间线性关系的程度。关系的程度。如果两个随机变量之间的如果两个随机变量之间的相关系数为零，相关系数为

37、零，则称它们是不相关的则称它们是不相关的。含义是这两个随机变。含义是这两个随机变量之间不存在量之间不存在线性线性关系关系(但是不能排除它们但是不能排除它们之间可能存在有其它的函数关系之间可能存在有其它的函数关系)4.3.2 协方差与相关系数的性质协方差与相关系数的性质1.协方差的基本性质协方差的基本性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)设设 a、b 是任意的两个实数，则有：是任意的两个实数，则有：Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)；(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。2.方差是特殊的协方差方差是特殊的协方差DX=Cov(X,X)随机变

38、量和的方差公式随机变量和的方差公式 对任意对任意n 个随机变量个随机变量 X1、X2、Xn，D(X1+X2+Xn)=DX1+DX2+DXn 2 ij Cov(Xi,Xj)3.相关系数的基本性质相关系数的基本性质为了研究为了研究 XY的性质的性质，考虑以考虑以X的线性函的线性函数数a+bX来近似来近似Y，以均方误差，以均方误差e=E(Y-(a+bX)2=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)(1)来衡量近似的好坏程度，来衡量近似的好坏程度，e越小说明近越小说明近似程度越好，因此我们应取似程度越好，因此我们应取a，b使使e取取到最小值，到最小值，下求使下求使

39、e最小的最小的a，b222()2()02()2()2()0eabE XE YaebE XE XYaE Xb 0(,)()Cov X YbD X 00(,)()()()()()Cov X YaE Yb E XE YE XD X2,2002002020220200min()()()()()()()2()()()()2(,)()(,)()2(,)()a bE YabXE Yab XE YE Yb E Xb XEYE Yb XE XE YE Yb EXE XYE Yb EXE XD Yb COV X Yb D XCOV X YCOVD YCOV X YD X2222(,)()()(,)()()(,)(

40、)()()()(1)()XYX YD XD XCOV X YD YD XCOV X YD YD YD X D YD Y（2）这一步没有将这一步没有将a0,b0直接代入直接代入(1)式。式。也没有把也没有把a0,b0全代入，而是先代全代入，而是先代入入a0，整理后再代入整理后再代入b0。定理定理(1)|XY|1 即即 Cov(X,Y)2 DX DY;(2)|XY|=1 的充分必要条件是的充分必要条件是存在存在 常数常数 a、b，使得使得P(Y=a+bX)=1。证明证明(1)由于由于e 0，所以，所以(1-2XY）D(Y)0，所，所以以1-2XY 0.即即|XY|1(2)若若|XY|=1，则，则E

41、Y-(a0+b0X)2=0。从而。从而200200000()()()E Yab XD Yab XE Yab X00()0D Yab X00()0E Yab X故有故有00()01P Yab X由方差的性质知由方差的性质知反之，若存在反之，若存在a*，b*使使PY=a*+b*X=1即即PY-(a*+b*X)=0=1。所以所以PY-(a*+b*X)2=0=1,故故EY-(a*+b*X)2=0,所以所以22,22000()min()()(1)()0a bXYE Yab XE YabXE Yab XD Y所以所以|XY|=14.随机变量的不相关随机变量的不相关 按照定义即按照定义即它们之间的相关系数为

42、它们之间的相关系数为0，等价于协方差为等价于协方差为0，因此，因此“不相关不相关”是比是比“独立独立”弱的关系。即：独立一定不相关，弱的关系。即：独立一定不相关，但不相关不一定独立。但不相关不一定独立。“不相关不相关”的等价形式的等价形式 XY =0 Cov(X,Y)=0 E(XY)=(EX)(EY)D(X+Y)=DX+DY 例例4.3.1 第三章讨论的随机取数的问题第三章讨论的随机取数的问题 计算计算 X、Y 的相关系数。的相关系数。X Y 1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 p j

43、 25/48 13/48 7/48 3/48pi 1/41/41/41/4E(XY)=111/4+211/8+221/8+=39/8=4.875 因此，协方差因此，协方差Cov(X,Y)=4/8=0.5，相关系数相关系数 X Y =0.483887。解解.X、Y 的期望与方差计算比较简单，的期望与方差计算比较简单，EX=2.5，DX=1.25；EY=1.75，DY=41/48。对于对于E(XY)没有必要去求没有必要去求XY 的分布律。的分布律。利用随机向量函数的期望公式，有利用随机向量函数的期望公式，有例例4.3.2 二维正态分布的相关系数二维正态分布的相关系数 (X,Y)N(1,2;12,2

44、2;)其中参数其中参数 1,2 +;1,2 0;-1 1已经知道两个边缘分布已经知道两个边缘分布 X N(1,12)，Y N(2,22)，可以证明可以证明 X、Y 的协方差的协方差 Cov(X,Y)=1 2，因此因此 X、Y 的相关系数就是参数的相关系数就是参数 。正态分布正态分布的的“不相关性不相关性”与与“独立性独立性”等等价价习题习题 4.31-2.教材教材 141 页页 第第 24、25、26、27、29 题题。4.4 矩矩定义定义 设设X，Y是随机变量，若是随机变量，若E(Xk),k=1,2,存在，称其为存在，称其为X的的k阶原点矩，阶原点矩，简称简称k阶矩。阶矩。若若EX-E(X)

45、k，k=2,3,存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩。阶中心矩。若若EXkYl，k,l=1,2,3,.存在，称它为存在，称它为X和和Y的的k+l阶混合矩。阶混合矩。若若EX-E(X)k Y-E(Y)l k,l=1,2,3,.存在，存在，称它为称它为X和和Y的的k+l阶混合中心矩。阶混合中心矩。练习练习1.设随机变量设随机变量 相互独立，它们的相互独立，它们的概率密度函数分别为概率密度函数分别为 ,1,01()0 xfx ()E,0()0yeyfy 求求 ，。()D 2.将将3个白球，两个红球随机放入个白球，两个红球随机放入4个盒个盒子中子中(假设每个盒子可放任意多个球假设每个盒子可放任意多

46、个球)。用用X表示有一个白球的盒子数，表示有一个白球的盒子数，Y表示表示有一个红球的盒子数，求有一个红球的盒子数，求(X,Y)的联合分的联合分布及布及Cov(X,4X).3.设随机变量设随机变量X服从正态分布，其概率服从正态分布，其概率密度为密度为22()()xBxf xAex 且且E(X)=D(X)，求，求(1)A，B的值的值;(2)E(X2-2x+3);(3)D(-2X+3)。4.设随机变量设随机变量X,Y相互独立，且都服从均相互独立，且都服从均值为值为0、方差为、方差为1/2的正态分布，求的正态分布，求|X-Y|的的方差。方差。1()2E ()1E 13()()()12DDD1.解解 显

47、见显见 分别服从均匀分布和指数分分别服从均匀分布和指数分布布1()()()2EEE ()1D 1()12D ,2.X,Y相互独立相互独立PX=0=C41/43=1/16 0 1 30 4/256 36/256 24/256 4/162 12/256 108/256 72/256 12/16 1/16 9/16 6/16YXPX=3=A43/43=6/16PX=0=1-1/16-6/16=9/16PY=0=C41/42=4/16PY=2=A42/42=12/16Cov(X,4X)=4D(X)=279/64三个白球放入同一个三个白球放入同一个盒子中盒子中2222()/222()2()xx BBxB

48、xf xAeAee1 =e2 3.(1)比较正态分布的概率密度函数与比较正态分布的概率密度函数与f(x)有有故故D(X)=1,E(X)=B=D(X)=1,2/212BAe (2)由由(1)知知XN(1,1)所以所以E(X2-2X+3)=E(X2)-2E(X)+3=D(X)+E(X)2+3=3D(-2X+3)=4D(X)=44.解解 由于由于X,Y相互独立且均服从正态分相互独立且均服从正态分布，所以其线性组合也服从正态分布。布，所以其线性组合也服从正态分布。令令Z=X-Y。则则E(Z)=E(X)-E(Y)=0D(Z)=D(X)+D(Y)=1即即ZN(,01)因为因为D(|X-Y|)=D(|Z|)

49、=E(|Z|2)-E(|Z|)2E(|Z|2)=E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=122221)(02222dzzedzezZEzz所以所以21)(YXD选择选择1 若若X,Y都服从正态分布，且它们不相关，则都服从正态分布，且它们不相关，则A X，Y一定独立一定独立 B(X，Y)服从二维正态分布服从二维正态分布C X，Y未必独立未必独立 D X+Y服从正态分布服从正态分布2 若若(X,Y)服从二维正态分布，则在服从二维正态分布，则在(1)X,Y都服都服从一维正态分布从一维正态分布(2)X,Y独立独立(3)2X+3Y服从一维服从一维正态分布正态分布(4)X,Y不相关，则独立中正确的有不相关，则独立中正确的有A(1)(3)(4)B(2)(3)(4)C (1)(2)(4)D(1)(2)(3)