死亡保险的精算现值课件.ppt
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1、1第1页,共67页。4.14.1引言引言:人寿保险的分类:人寿保险的分类受益金额是否恒定受益金额是否恒定定额受益保险定额受益保险 变额受益保险变额受益保险保单签约日和保障期期始日保单签约日和保障期期始日是否同时进行是否同时进行非延期保险非延期保险延期保险延期保险 保障标的不同保障标的不同人寿保险(狭义)人寿保险(狭义)生存保险生存保险两全保险两全保险保障期是否有限保障期是否有限 定期寿险定期寿险 终身寿险终身寿险2第2页,共67页。纯保费厘定的基本假定纯保费厘定的基本假定三个基本假定条件三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独
2、立同分布的。命是独立同分布的。被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。拟合。保险公司可以预测将来的最低平稳收益(即预定保险公司可以预测将来的最低平稳收益(即预定利率)。利率)。3第3页,共67页。净保费厘定净保费厘定原理原理原则原则保费净均衡原则保费净均衡原则解释解释所谓净均衡原则,即所谓净均衡原则,即保费收入的期望现时值正好保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实。它的实质是质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下,收费期望现时值等于支出期望现时值下
3、,收费期望现时值等于支出期望现时值 4第4页,共67页。基本符号基本符号 投保年龄。投保年龄。人的极限年龄人的极限年龄 保险金给付函数。保险金给付函数。贴现函数。贴现函数。保险给付金在保单生效时的现时值保险给付金在保单生效时的现时值)(xtbtvtztttvbz5第5页,共67页。4.24.2、生存保险、生存保险定义定义被保险人投保后生存至被保险人投保后生存至n n年期满时,保险人在第年期满时,保险人在第n n年末支付保险金的保险。年末支付保险金的保险。假定:假定:岁的人,保额岁的人,保额1 1元,元,n n年定期生存保险年定期生存保险基本函数关系基本函数关系)(x ,0 ,1 ,0 ,0 ,
4、ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn6第6页,共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号:符号:趸缴纯保费厘定趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差:现值随机变量的方差:1:x nA1:()nnx ntnxnxAE zvpep222112:()()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA7第7页,共67页。1111()nx nxx nx nxxnxlEv li lElE结论结论 4.2.14.2.1:例题例题 4.2.24.2.2:8第8页,共67页。4.34.3、定期寿险、定期寿险(定期死亡保险)定期死亡保险)定义定义保险人只对被保险人在投保后的保险人只对被保险人在投保后
5、的n n年内发生的保年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种,又称险责任范围内的死亡给付保险金的险种,又称为为n n年死亡保险。年死亡保险。假定:假定:岁的人,保额岁的人,保额1 1元元n n年定期寿险年定期寿险基本函数关系基本函数关系)(x ,0 ,1 ,0 ,0 ,tttttttvvtvtnzbvtnbtntn9第9页,共67页。死亡后立即给付死亡后立即给付符号:符号:厘定:厘定:1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(10第10页,共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差方差公式方差公式记记(相当于利息力翻倍以后求(相当
6、于利息力翻倍以后求n n年期寿险的趸缴保费)年期寿险的趸缴保费)所以方差等价为所以方差等价为 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar11第11页,共67页。设设计算计算()1 ,01001000.1xS xxi 130:101 (2)()tAVar z()解:解:055.0092.021.1ln21.1701 092.07011.1)()(2092.01.1ln1.1701 7011.1)(1001)()()()1(2010210022110:30110:3020101001003
7、0110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf)(12第12页,共67页。例题例题 4.3.14.3.1:111:mxx nx mx m n mAAE A递推公式递推公式(例(例 4.3.24.3.2):):13第13页,共67页。年末赔付场合年末赔付场合基本函数关系基本函数关系记记k为被保险人整值剩余寿命,则为被保险人整值剩余寿命,则11 ,0,1,11 ,0,1,10 ,0,1,10 ,kkkkkkkvvknknbknvknzb vkn14第14页,共67页。趸缴净保费的厘定趸缴净保费的厘定符号:符号:厘定:厘定:111:0()nkkkxx kx nkAE z
8、vpq1:x nA计算基数引进的目的:简化计算常用基数:10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkx kx kkkCvdDv lMCDMkC15第15页,共67页。1111:0111101:0:10()nnkxx kx nkkkxx kx nknnx kx kx kkkxx nxkxx nxxAE zvpqvdCMMAv lDDl Avd 1111111111111:()()xxx nxnxxxx nxnxnAvqvpAli AdAl A递推公式递推公式(例(例 4.3.44.3.4):):16第16页,共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差公式公式记记等价方差为等价方差为
9、1222220()()()()nkkkkkxx kkkVar zE zE zvpqE z12122:0nkkxx kx nkAvpq2112:()()kx nx nVar zAA例例 4.3.34.3.3:例例 4.3.54.3.5:17第17页,共67页。剩余寿命在分数时期均匀分布假定剩余寿命在分数时期均匀分布假定剩余寿命剩余寿命=整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命:整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命:则有则有 ()()1()1()()()T xK xS xT xK xS xvvv1111111:0()()()TKSsx nx nx nE vE vE viAAvdsA例例 4.3.74.3.
10、7:18第18页,共67页。2 2、终身寿险、终身寿险定义定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定:假定:岁的人,保额岁的人,保额1 1元终身寿险元终身寿险基本函数关系基本函数关系)(x ,0 ,01 ,0 tttttttvvtzbvvtbt19第19页,共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号:符号:厘定:厘定:xA000()()xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt20第20页,共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差 方差
11、公式方差公式记记所以方差等价为所以方差等价为 22220()()()()()ttttTtVar zE zE zeft dtE z220()txTAeft dt22)()(xxtAAzVar21第21页,共67页。例例 设设(x)(x)投保终身寿险,保险金额为投保终身寿险,保险金额为1 1元保险金在死亡即刻赔付签单时,元保险金在死亡即刻赔付签单时,(x)(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为计算计算1 ,060(t)600 ,Ttf 其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xtAVar zz()的22第22页,共67页。解答:解答:0606002260220120602(1
12、)()1160602()()1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee()23第23页,共67页。0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr()ln=Pr(lnln)()lnln60ln()0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve例例 4.4.14.4.1:例例 4.4.24.4.2:1()()xxxdAAxAdx利息利息死亡支付死亡支付24第24页,共67页。年末赔付场合年末赔付场合基本函数关系基本函数关系记记k为被保险人整值剩余寿命,则为被保险人整值剩余寿命,则11 ,1 ,0
13、,1,0,1,kkkkkkkvvbknzb vvkn趸缴净保费的厘定符号:厘定:10()kxkkxx kkAE zvpqxA25第25页,共67页。计算基数引进的目的:简化计算常用基数:100 N xxxxxxxx kxx kkkCvdDv lMCD1010100()kxkxkkxx kkx kx kx kkkxxxxxxkxxkl AvAE zvpqvdCMADDv ld 26第26页,共67页。111111111()()()()xxxxxxxxxxxxxxAvqvpAi AAqAli Al AdA递推公式递推公式(结论(结论 4.4.24.4.2):):27第27页,共67页。趸缴纯保费递
14、推公式趸缴纯保费递推公式公式一:公式一:理解理解:(x):(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于等于(x)(x)在第一年死亡的情况下在第一年死亡的情况下1 1单位的赔付额单位的赔付额,或或生存满一年的情况下净趸缴保费生存满一年的情况下净趸缴保费 。1xxxxAvpvqA1xA28第28页,共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式二:公式二:解释:解释:个个x x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累,当年年末可为所有的被保险人提供年的积累,当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费次年的净趸缴保费
15、,还可以为所有在当年,还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的去世的被保险人提供额外的 。)1()1(11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xA29第29页,共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式三:公式三:解释:解释:年龄为年龄为x x的被保险人在活到的被保险人在活到x+1x+1岁时的净趸缴保费岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。利息减去提供一年的保险成本。30第30页,共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式四:公式四:解释解释(y)(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保
16、险成的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。本的现时值之和。)1(11xyxxyxyAqvA31第31页,共67页。例例 4.4.44.4.4:例例 4.4.54.4.5:11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA结论结论 4.4.34.4.3:222220()()()()kkkkkxx kkkVar zE zE zvpqE z2220kxkxx kkAvpq22()()kxxVar zAA记:记:32第32页,共67页。4.5 4.5 生死合险(两全保险)生死合险(两全保险)定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡,保险人即刻给付保险金
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