概率论和数理统计14课件.ppt

1、 设设A,BA,B是两个事件是两个事件,如果如果 P(A)0,P(A)0,则可以则可以定义定义P(B|A).P(B|A).一般情况下一般情况下,A,A的发生对的发生对B B发生的发生的概率是有影响的概率是有影响的,这时有这时有 P(B|A)P(B)P(B|A)P(B)若若A A的发生对的发生对B B发生的概率没有影响发生的概率没有影响,则有则有 P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)因此因此 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例例1 1 掷两次硬币掷两次硬币,观察其出现正面观察其出现正面(H)(H)和反面和反面(T)(

2、T)的的情况情况.设事件设事件 A=A=第一次出现正面第一次出现正面H,H,B=B=第二次出现正面第二次出现正面H,H,所以所以 P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4 从而有从而有P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事实上事实上,显显然第一次是否出现正面与第二次是否出现正面然第一次是否出现正面与第二次是否出现正面是互不影响的是互不影响的.则试验的样本空间为则试验的样本空间为 =HH,HT,TH,TT=HH,HT,TH,TT A=HH,HT,B=HH,TH,AB=HH A=HH,HT,B=HH,TH,AB=HH 例例 2

3、一个袋子中装有一个袋子中装有 6 只黑球，只黑球，4 只白球，采用有只白球，采用有放回的方式摸球，求放回的方式摸球，求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；的概率；（2）第二次摸到黑球的概率）第二次摸到黑球的概率.解解 设设A表示第一次摸到黑表示第一次摸到黑,B表示第二次摸黑球表示第二次摸黑球,则则 (1),P(A)10/6 2210/6 P(AB)所以所以 10/610/610/622 P(B|A)（2）B)AP(P(AB)B)AP(ABP(B)A)P(B|AP(P(A)P(B|A)106106104106106 注意到注意到P(B|A)

4、=P(B)即事件即事件A发生与否对事件发生与否对事件B发生发生的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，因的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，因为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋中为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋中球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一次球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一次摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场合摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场合下我们说事件下我们说事件A与事件与事件B相互独立相互独立.定义定义4.14.1 设设A,BA,B是两事件是两事件,如果具有等式如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A

5、)P(B)则称则称A,BA,B为为相互独立相互独立的事件的事件.定义定义 设设A，B为任意两个随机事件，如果为任意两个随机事件，如果 P(B|A)=P(B)即事件即事件B发生的可能性不受事件发生的可能性不受事件A的影响，则称的影响，则称事事件件B对于事件对于事件A独立独立.定理定理 零概率事件零概率事件与任何事件都是互相独立的与任何事件都是互相独立的.证明证明 设设P(A)=0,B为任一事件为任一事件,因为因为 AB A 所以所以 0=P(AB)P(A)故故 P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)定理定理 概率为概率为1 1的事件的事件与任何事件都是互相独立的与任何事件都是互相独立的.证

6、明证明 设设P(A)=1,B为任一事件为任一事件,则则 1=P(A)P(A+B)1 所以所以 P(A+B)=1 又又 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)即即 1=1+P(B)-P(A)P(B)故故 P(AB)=P(B)=P(A)P(B)证明证明,独立独立与与相互独立相互独立只证只证BABA)()()(ABPAPBAP 因因为为)()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP.,相相互互独独立立与与事事件件与与事事件件与与则则事事件件相相互互独独立立与与若若事事件件BABABABA定理定理.独独立立与与所所以以BA定理定理 若若P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)

7、0,则则A,BA,B相互独立与相互独立与A,BA,B互互不相容不能同时成立不相容不能同时成立.证明证明 (1)若若A,B相互独立相互独立,则则 P(AB)=P(A)P(B)0 即即A,B是相容的是相容的.(2)若若A,B互不相容互不相容,则则AB=,P(AB)=0.因此因此 0=P(AB)P(A)P(B)0定理定理 设设A,BA,B是两事件是两事件,且且P(A)0.P(A)0.则则A,BA,B相互独立相互独立的充要条件是的充要条件是P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)证明证明 (必要性必要性)若若A,B相互独立相互独立,即即P(AB)=P(A)P(B),又又P(A)0,则则 P(B|A

8、)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B)(充分性充分性)若若P(B|A)=P(B),则则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例例3 3 甲、乙两个战士打靶甲、乙两个战士打靶,甲的命中率为甲的命中率为0.9,0.9,乙乙的命中率为的命中率为0.85,0.85,两人同时射击同一目标两人同时射击同一目标,各打各打一枪一枪.求目标被击中的概率求目标被击中的概率.解解 设设 A=甲击中目标甲击中目标,B=乙击中目标乙击中目标,C=目标被击中目标被击中,则则 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.

9、9+0.85-0.90.85=0.985例例4 4 设一个产品分二道工序独立生产设一个产品分二道工序独立生产,第一道工第一道工序的次品率为序的次品率为10%,10%,第二道工序的次品率为第二道工序的次品率为3%.3%.问该产品的次品率是多少问该产品的次品率是多少?)()()()(2121APAPAAPAP 解法解法1 1 设设A=A=任取一件产品为正品任取一件产品为正品,B=,B=任取一件任取一件产品为次品产品为次品,A,Ai i=第第i i道工序为正品道工序为正品(i=1,2),(i=1,2),则则 =(1-10%)(1-3%)=0.873 所以所以 P(B)=1-P(A)=1-0.873=

10、0.127)(1)(1 21APAP 解法解法2 2例例4 4 设一个产品分二道工序独立生产设一个产品分二道工序独立生产,第一道工第一道工序的次品率为序的次品率为10%,10%,第二道工序的次品率为第二道工序的次品率为3%.3%.问该产品的次品率是多少问该产品的次品率是多少?)()(21AAPBP)()()(2121AAPAPAP )()()()(2121APAPAPAP =10%+3%-10%3%=0.127定义定义 设设A,B,C是三事件是三事件,如果具有等式如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)则称三事件则称三事件A,B,C两两

11、独立两两独立.定义定义 设设A,B,C是三事件是三事件,如果具有等式如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称三事件则称三事件A,B,C为为相互独立相互独立的事件的事件.定义定义注意注意 一组事件两两独立并不能保证它们相互独立一组事件两两独立并不能保证它们相互独立.,)()()(,1,2121是两两独立的是两两独立的个事件个事件则称这则称这都有都有如果对任意的如果对任意的个事件个事件是是设设njijinAAAnAPAPAAPnjinAAA 定义定义.,)()()()(,1)1(,212121212

12、1是相互独立的是相互独立的个事件个事件则称这则称这都有都有和任意的和任意的如果对任意的如果对任意的个事件个事件是是设设niiiiiiknAAAnAPAPAPAAAPniiinkknAAAkk 例例5 5 设袋中有设袋中有4 4个球个球,其中其中1 1个涂成白色个涂成白色,1,1个涂成红个涂成红色色,1,1个涂成黄色个涂成黄色,1 1个涂有白个涂有白,红红,黄三种颜色黄三种颜色.今从今从袋中任取一球袋中任取一球,设设 A=A=取出的球涂有白色取出的球涂有白色,B=B=取出的球涂有红色取出的球涂有红色,C=C=取出的球涂有黄色取出的球涂有黄色 试验证试验证事件事件A,B,CA,B,C两两独立两两独

13、立,但不相互独立但不相互独立.验证验证 易知易知 P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 所以所以 P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)即事件即事件A,B,C两两独立两两独立.但是但是P(ABC)=1/4P(A)P(B)P(C)=1/8P(ABC)P(A)P(B)P(C)故故A,B,C不相互独立不相互独立.解解 设事件设事件Ai为第为第i道工序出现次品（道工序出现次品（i=1,2,3），因），因为加工出来的零件是次品（设为事件为加工出来的零件是次品（设为事件A），也就是），也就是至少一道工序出现次品至少一

14、道工序出现次品,所以有所以有321AAAA)AAAP()AP(P(A)32111 =1-98%97%95%=0.09693)A)P(A)P(AP(3211 方法方法1 例例6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为序的次品率分别为 2%，3%，5%，假设各道序是，假设各道序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率互不影响的，求加工出来的零件的次品率.方法方法2)AAP(AP(A)321)P(A)P(A)P(A321 )AAP(A321)AP(A)AP(A)AP(A323121 )P(AP(A)P(AP(A)P(AP(A323121 )P(

15、A)P(A)P(A321 )P(A)P(AP(A321=2%+3%+5%-2%3%-2%5%-3%5%+2%3%5%=0.09693 例例7 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖的周）之久，你从未中过一次奖的概率是多少？概率是多少？解解 按假设，每次中奖的概率是按假设，每次中奖的概率是10-5 于是每次未中奖的概率是于是每次未中奖的概率是1-10-5 十年共购买彩票十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的次，每次

16、开奖都是相互独立的 故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是 5205)101(P9948.01052015 独立性的作用在系统的独立性的作用在系统的可靠性分析可靠性分析中体现得最为完中体现得最为完美美.假设某系统由若干个元件联结而成假设某系统由若干个元件联结而成,而每个元件而每个元件可能正常工作可能正常工作,也可能失效也可能失效.我们我们称元件能正常工作称元件能正常工作的概率为该元件的可靠性的概率为该元件的可靠性,而系统的可靠性是该系而系统的可靠性是该系统能正常工作的概率统能正常工作的概率.在下面我们在下面我们假设各元件是否假设各元件是否能正常工作是相

17、互独立的能正常工作是相互独立的.记记 .,21 ,)(21相相互互独独立立则则事事件件个个元元件件正正常常工工作作第第niiiAAAn,ipA,PiA 由由n 个元件串联而成的系统个元件串联而成的系统,只要有一个只要有一个元件失效元件失效,该系统就失效该系统就失效.因此串联系统的因此串联系统的可靠性为可靠性为:元件1元件2元件nnnnpppAPAPAPAAAPP212121 )()()()(串串 由由n 个元件并联而成的系统个元件并联而成的系统,只要有一个元件正常工作只要有一个元件正常工作,则则该系统就不会失效该系统就不会失效.因此并联因此并联系统的可靠性为系统的可靠性为:示意图示意图元件1元

18、件2元件n)(21nAAApp 并并)(121nAAApp 并并)()()(121nAPAPApp 并并)1()1)(1(121npppp 并并 示意图示意图113245 示意图示意图21234解解 记记Ai=第第i个元件正常工个元件正常工作作,i=1,2,5(1)在元件在元件5正常工作的条件正常工作的条件下下,则系统变为图则系统变为图2,它的可它的可靠性为靠性为 ,54321ppppp例例8 设由设由5个元件组成的系统个元件组成的系统如图如图1所示所示,元件的可靠性分元件的可靠性分别为别为 求系统求系统的可靠性的可靠性.)1)(1(1)1)(1(1 4321pppp 在元件在元件5失效的条件

19、下失效的条件下,则则系统变为图系统变为图3,它的可靠性为它的可靠性为 示意图示意图31234由全概率公式知由全概率公式知,原系统的可靠性为原系统的可靠性为 )1)(1(14231pppp )1)(1(1)1()1)(1(1)1)(1(1 4231543215pppppppppp 578704.06503321 )/()AAAP()P(X)AAAAAAAAP(A)P(X3213213211 3472220)6/5)(6/1(32.)AAAAAAAAP(A)P(X3213213212 0694440)6/5()6/1(32.)AAP(A)P(X3213 0046300613.)/(3003)65(

20、)61(/C 例例9 将一枚均匀的骰子连续抛掷将一枚均匀的骰子连续抛掷3次次,考察六点出现考察六点出现的次数及相应的概率的次数及相应的概率.解解 设六点出现的次数为设六点出现的次数为X,设第设第i次抛掷中出现点次抛掷中出现点6的事件为的事件为 213)6/5)(6/1(C)6/5(6/1223)(C 03336561)/()/(C 3,2,1,0 ,6561)(,33 k)/()/(CkXPkkk我们有我们有因此因此则则 ,321,kAk knkAAAAAA)10(ppnkqpCkPknkknn,1,0,)(pq 1定理定理4.1 如果每次试验中事件如果每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为

21、,则在则在n次贝努里试验中事件次贝努里试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为其中其中证明证明 按独立事件的乘法公式按独立事件的乘法公式,n次试验中事件次试验中事件A在在某某k次次(例如前例如前k次次)发生而其余发生而其余n-k次不发生次不发生knkknkqpqqqppp 这个事件的概率等于这个事件的概率等于因因为为我我们们只只考考虑虑事事件件 A 在在 n 次次试试验验中中发发生生 k 次次而而不不论论在在哪哪k次次发发生生,所所以以由由组组合合论论可可知知应应有有knC种种不不同同的的方方式式,按按概概率率加加法法定定理理,便便得得所所求求概概率率,n,k,qpC(k)Pknkk

22、nn10 例例1010 设有设有8 8门大炮独立地同时向一目标各射击门大炮独立地同时向一目标各射击一次一次,若有不少于若有不少于2 2发炮弹命中目标时发炮弹命中目标时,目标就目标就被击毁被击毁,如果每门炮命中目标的概率为如果每门炮命中目标的概率为0.6,0.6,求求目标被击毁的概率目标被击毁的概率.解解 8门大炮独立地同时向一目标各射击一次门大炮独立地同时向一目标各射击一次,相当于相当于8重贝努里试验重贝努里试验.所求概率为所求概率为 99104060406011018327118800888888.C.C )(P)(P )(P)(P)(PP 例例1111 某人有一串某人有一串m m把外形相同

23、的钥匙把外形相同的钥匙,其中只其中只有一把能打开家门有一把能打开家门.有一天该人醉后回家有一天该人醉后回家,下意下意识地识地每次从每次从m m把钥匙中随便拿一把去开门把钥匙中随便拿一把去开门.问该问该人在第人在第k k次才把门打开的概率是多少次才把门打开的概率是多少?解解 设设A=被取的钥匙能打开门被取的钥匙能打开门 B=第第k次才把门打开次才把门打开由于由于所以所以mAPmP(A)/11)(,/1 AAAABk 1 )/1()/11()()()()(11mmAPAPAPAPP(B)kk 例例1212 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设设三人射中飞机的概率

24、分别为三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,0.4,0.5,0.7,一人射中一人射中飞机被击落的概率为飞机被击落的概率为0.2,0.2,两人射中飞机被击落的两人射中飞机被击落的概率为概率为0.6,0.6,三人射中三人射中,则飞机被击落则飞机被击落.求飞机被击落求飞机被击落的概率的概率.解解 设设则则人人击击中中飞飞机机被被第第个个人人击击中中飞飞机机被被飞飞机机被被击击落落3,2,1,3,2,1,jjCiiBAji36.0 7.05.06.03.05.06.03.05.04.0 )()(3213213211 CCCCCCCCCPBP41.0 7.05.06.07.05.04.03.05.04.0 )()(3213213212 CCCCCCCCCPBP14.07.05.04.0)()(3213 CCCPBP1)|(,6.0)|(,2.0)|(321 BAPBAPBAP且且B B1 1,B,B2 2,B,B3 3两两互不相容两两互不相容,故有由全概率公式得故有由全概率公式得458.0 114.06.041.02.036.0 )|()()|()()|()()(332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP3 3 直线上的随机游动直线上的随机游动选学选学