概率统计ch6浙大盛骤课件.ppt

1、 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第一节第一节 随机样本随机样本总体和样本总体和样本小结小结定义定义 在统计学中在统计学中,我们把所研究的对象的某项数量指标我们把所研究的对象的某项数量指标X的全体称作的全体称作母体母体或或总体总体,总体中的每一个元素称为总体中的每一个元素称为个体个体.总体容量总体容量：总体中包含的个体的个数。：总体中包含的个体的个数。(可分为有限总体和无限总体可分为有限总体和无限总体).注意：注意：一般来说，研究的对象的某项数量指标一般来说，研究的对象的某项数量指标X的取值在的取值在客观上有一定的分布，客观上有一定的分布，X是一个随机变量，是一个随机变量，X的分布函

2、的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征，数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征，今后不再区分总体和相应的随机变量今后不再区分总体和相应的随机变量X,统称总体统称总体X.一、总体和样本一、总体和样本样本容量样本容量-样本中含有的个体的个数称为样本的容量。样本中含有的个体的个数称为样本的容量。通常说成：容量为通常说成：容量为n的样本。要正确客观反映观察的总的样本。要正确客观反映观察的总体，样本容量不应太小，否则采集的数据无法真实反体，样本容量不应太小，否则采集的数据无法真实反映总体的全貌，作出的判断推理将无参考价值。映总体的全貌，作出的判断推理将无参考价值。为了了解总体，需要从

3、总体中抽取一部分个体作观察：为了了解总体，需要从总体中抽取一部分个体作观察：样本样本-从总体中抽取若干个体而构成的抽样总体从总体中抽取若干个体而构成的抽样总体 称为样本或子样。称为样本或子样。因抽样的随机性，故样本是随机变量。因抽样的随机性，故样本是随机变量。样本观察值样本观察值-抽取一次样本后，将全得到一组样本数据：抽取一次样本后，将全得到一组样本数据：x1,x2,xn，记为（，记为（x1,x2,xn）定义设X是具有分布函数F(x)的随机变量,若nXX,1是具有同一分布函数F(x)的相互独立的随机变，则称 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 称为样本值。nxx,1

4、nXX,1注意：从总体中抽取样本，必须满足以下条件注意：从总体中抽取样本，必须满足以下条件：独立性：独立性：每次抽样应独立进行，其结果不受其他抽样每次抽样应独立进行，其结果不受其他抽样结果的影响，也不影响其他抽样的结果。结果的影响，也不影响其他抽样的结果。随机性：随机性：抽样应随机地进行，每个个体被抽取得机会抽样应随机地进行，每个个体被抽取得机会均等。均等。对于有限总体，采取的是放回抽样；对于无限总体对于有限总体，采取的是放回抽样；对于无限总体或大总体，采取的是不放回抽样。今后，凡提到抽样或大总体，采取的是不放回抽样。今后，凡提到抽样及样本，都是指简单随机样本。及样本，都是指简单随机样本。从总

5、体从总体X抽取容量为抽取容量为n的简单随机样本的简单随机样本,是指是指对总体对总体X进行进行 n 次观察次观察,第第 i 次观察次观察Xi是一个随机是一个随机变量，其取值为变量，其取值为xi,都都已已发发生生。个个事事件件我我们们就就认认为为值值，这这时时维维随随机机变变量量的的一一组组观观察察是是同同分分布布，其其取取值值都都与与它它们们相相互互独独立立，每每个个维维随随机机变变量量构构成成一一个个于于是是nninxXx,XxXn)(XXnX,XX ,nx,x ,x,)(,2211n2121根据定义根据定义:若总体若总体X是离散型是离散型r.v.,其分布律为其分布律为pk=X=ak,k=1,

6、2,则样本则样本X1,X2,Xn的联合分布的联合分布:PX1=ai1,X2=ai2,Xn=ain=pi1pi2pin.)F(x)x,x ,x(F :X,XX,FX,XXr.v.Xn1iin21*n21n21 的的联联合合分分布布函函数数为为则则的的一一个个样样本本为为是是连连续续型型若若 )f(x)x,x ,(xf ,X,f,Xn1iin21*21 密密度度为为的的联联合合概概率率则则具具有有概概率率密密度度又又若若nXX二、小结二、小结研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.nXFFX,X,XFX,X,XFXnn为为的的简简单单随随机机样样本

7、本）得得到到的的容容量量、或或总总体体（或或总总体体为为从从分分布布函函数数变变量量，则则称称的的、相相互互独独立立的的随随机机是是具具有有同同一一分分布布函函数数的的随随机机变变量量，若若是是具具有有分分布布函函数数设设2121.简称样本简称样本第二节第二节 样本及抽样分布样本及抽样分布统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数几种常用的统计分布几种常用的统计分布正态总体的样本均值与样本方差正态总体的样本均值与样本方差的分布的分布小结小结 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,样本含有样本含有总体的各种信息，但是如果不对样本进行进一步加工处总体的各种信息，但是如果不对

8、样本进行进一步加工处理，总体的各种信息仍分布在每个样本中，这样的样本理，总体的各种信息仍分布在每个样本中，这样的样本就没有充分利用。就没有充分利用。为了充分利用样本所包含的各种信息，常把样本加工为了充分利用样本所包含的各种信息，常把样本加工成一个或几个连续函数成一个或几个连续函数f(X1,X2,Xn),g(X1,X2,Xn),并且函数不含总体并且函数不含总体X的未知参数，各种不同的函数集中的未知参数，各种不同的函数集中反映出总体不同侧面的信息。反映出总体不同侧面的信息。一一.统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数1.统计量定义统计量定义定义定义 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一

9、个样本的一个样本,又设又设g(X1,X2,Xn)是一个连续函数是一个连续函数,如果如果g,则称则称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量.由定义可知由定义可知,统计量也是一个随机变量统计量也是一个随机变量,如如 果果x1,x2,xn是一组样本值是一组样本值,则则g(x1,x2,xn)是统计量是统计量g(X1,X2,Xn)的一个观察值的一个观察值.g ,g,)-(Xn1)X,X,g(X),N(X:n1i2in212不不是是统统计计量量则则未未知知若若为为统统计计量量则则已已知知若若考考虑虑设设总总体体例例子子 2、常用的统计量、常用的统计量；反映了总体均值的信息反映了总体均值的信息样本均值样本均

10、值 n1iiXn1X 1.；反映了总体方差的性质反映了总体方差的性质样本方差样本方差 n1i22in1i2i2n-X1-n1)(X1-n1S 2.XX ;)X(X1-n1S 3.2n1ii 标准样本方差标准样本方差 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,x1,x2,xn是样本的观察值，是样本的观察值，;2,1,k ,Xn1 Ak 4.n1ikik 阶原点矩阶原点矩样本样本.3,2,k ,)X(Xn1B k 5.n1ikik 阶中心矩阶中心矩样本样本反映总体最小值信息；最小顺序统计量)X,X,Xmin(X 6.n21(1)反映总体最大值信息。最大顺序统计量)X,X,Xm

11、ax(X 7.n21(n)(1)(n)X XR 8.样本极差样本极差统计量是样本的函数统计量是样本的函数,它是一个随机它是一个随机变量变量.统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布.2222)E(S,)()XE(,)(E(X)X:1 ，则则，方差，方差的均值的均值若总体若总体定理定理nXDXD)1,0(X),0(X),(X),N(X:22222NnnNnN 样本均值样本均值则则若总体若总体定理定理3、常见统计量的性质、常见统计量的性质 .X1 A,n,)E(XkX:3kPn1kkk ikin时时则当则当存在存在阶矩阶矩的的若总体若总体定理定理证明：证明：,X,X,Xn21独独立立且且同

12、同分分布布,XX,X,X kknk2k1同分布同分布独立且与独立且与故故,)X(E )E(X)E(Xkknk2k1 故有故有 2,1,k ,Xn1kPn1iki 由辛钦大数定理得由辛钦大数定理得 ).(g ),g()A,A,g(A k21Pk21数数为连续函为连续函序列的性质知序列的性质知进一步由依概率收敛的进一步由依概率收敛的 4.经验分布函数经验分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2,121,321,0)()(2

13、1133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例)1,2,1(,1,0)()(.,)()1()()1()()2()1(21 nkxxxxxnkxxxFxFxxxnxxxnkknnnn若若若若若若的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数如下：如下：将它们按大小次序排列将它们按大小次序排列值值的样本的样本是总体的一个容量为是总体的一个容量为一般，设一般，设二、二、几种常用的统计分布几种常用的统计分布的的概概率率密密度度为为)n(2 (n).,n X XX,)1 ,0(N X,X,X:1.2222n2221

14、2n21 记记作作布布分分的的服服从从自自由由度度为为统统计计量量则则称称的的样样本本来来自自总总体体设设定定义义 0y 0,0 ,ey)2(21f(y)2y-12n2ynn)0()(01dxexx其中伽玛函数分布一2)(2).,2/1(X 1),N(0,X(2)2则设2).,2/(n),2,2n(n).0,0 x,ex)(1f(x):(1)22x-1-n即分布时的分布就是分布的概率密度知由其它分布的概率密度为:.22分分布布的的可可加加性性分分布布的的可可加加性性易易得得由由 ).n(n ,),(n),(n2122221222122221221 有有独立独立并且并且若若2n.)D(n,)E(

15、n),3.2222 则有则有若若 1),N(0,X(i 1,)D(X)E(Xi2i n.1,2,i 2,1-3)(E(X-)E(X)D(X22i4i2i n,)E(X)X(E)E(n1i2in1i2i2 于是有于是有 )2n.)D(X)X(D)D(n1i2in1i2i2 :.42分分位位点点分分布布的的上上 0yf(y)n(2 .)n()n(dy)y(f)n(P 1,0 ,22)n(222分分位位点点分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件对对于于给给定定的的正正数数 .)1-2n(Z21)(,n 45),(n522 n充分大时充分大时当当给出给出其值可由附表其值可由附表(二二)t-分

16、布分布 tt(n).t ,Y/nXt ,Y X,(n),Y 1),N(0,X:1.2分布又称学生氏分布记作分布的服从自由度为则称相互独立并且设定义tn.t,-)nt(1)2n(n)21n(h(t)t(n)2.21n-2 分布的概率密度函数分布的概率密度函数 .1)N(0,-t,n,e21h(t)lim 2t-n2分分布布分分布布近近似似有有充充分分大大时时即即当当函函数数的的性性质质可可得得利利用用 :t3.分位点分布的上h(t)t)n(t 0 .t(n)(n)t dth(t)(n)tPt :1,0 ,)n(t分分位位点点分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件对对于于给给定定的的 (

17、n).-t(n)t h(t)t 1.-1 的的对对称称性性知知分分位位点点的的定定义义及及分分布布的的上上由由 .Z(n)t,45n,4t 2.时时在在查出查出分位点可由附表分位点可由附表分布的上分布的上(三三)F分布分布 ).n ,F(nF,F )n ,(n/U/nF ,V U,),(nV),(nU :1.2121212212记作记作分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设定义定义nV :F 2.分分布布的的概概率率密密度度函函数数.0,0,y ,)(1)2()2n(y)n(n2)n(n(y)2)(21211-)2n(2n21212111其它nnnynn

18、:3.性性质质:-F 4.分分位位点点分分布布的的上上:-F 5.分分位位点点的的性性质质分分布布的的上上 y0)n,n(F21)y().n ,F(nF1),n ,F(nF1221则则若若.F)n ,(nF dy(y)n ,(nFPF :1,0 ,21)n,n(F2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 .)n,n(F1)n,n(F 1221-1 403.048.21)15,12(F1)12,15(F F 05.00.95 ：分布表中没有列出的值分布表中没有列出的值上式可用来求上式可用来求三三.正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值

19、与样本方差的分布则则总总有有的的一一个个样样本本是是方方差差为为的的均均值值为为和和方方差差存存在在只只要要均均值值不不管管服服从从什什么么样样的的分分布布设设总总体体,X X,X,X,),X(n212 ,n)XD(,)XE(2 ).n,(NXn1X),(NX,2n1ii2 则则若若进一步进一步:,S),(N22几几个个定定理理我我们们有有以以下下的的样样本本方方差差对对于于正正态态总总体体 .2 1),-(n1)-(n .1 :,),(X,X,X.20222022n21独立与则方差分别是样本均值和样本的一个样本是总体设定理二SXSSXN 1).-t(nX :,),(X,X,X.22n21nS

20、SXN则方差分别是样本均值和样本的一个样本是总体设定理三:,)(11,)(11,1,1.,),(),(Y,Y,YX,X,X .21212112222121211211222211n21n21则有分别为两样本方差两样本均值分别为设个样本相互独立且这两的样本两个正态总体分别是来自与设定理四niiniiniiniiYYnSXXnSYnYXnXNN.,)2()1()1(),2(11S)-(-)Y-X(,2)1,1(1221222211221212122221021222122210SSnnSnSnSnntnnnnFSS其中时当。这这一一基基本本假假设设下下得得到到的的它它们们都都是是在在总总体体为为正

21、正态态要要作作用用，应应注注意意，在在下下面面各各章章中中都都起起着着重重以以及及三三个个定定理理，本本节节所所介介绍绍的的几几个个分分布布之之间间的的概概率率。到到落落在在样样本本，求求样样本本平平均均值值的的中中随随机机抽抽一一容容量量为为，：在在总总体体例例8.538.5036)3.652(12XN)3.6,52(,361X2361NXXiii 解：解：22)63.6(,52X,63.6X,52XNDE所以所以 8.53X8.501,063.652X PN求求所以所以 63.6528.5363.652X63.6528.50P 71263.652X78P8239.078712 四、小结四、小结 在这一节中我们学习了统计量的概念在这一节中我们学习了统计量的概念,几几个重要的统计量及其分布个重要的统计量及其分布,即抽样分布即抽样分布.要求大要求大家熟练地掌握它们家熟练地掌握它们.