小升初22次课程18-抽屉原理-教师版.docx

1、小升初抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果，由此得到充分可靠的结论。【例1】一副扑克牌共张，其中有张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块种花色的牌各张。那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？【难度】【答案】42【解析】由最不

2、利原则，先摸出张王牌、张红心、张草花、张方块，然后无论模出哪一张必是黑桃；所以至少从中摸出张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃。【例2】一根电缆包括根缆线，每种相同颜色的缆线有根。如果在黑暗中，你至少要抓住根缆线才能保证每种颜色都至少抓到了根。【难度】【答案】17【解析】缆线的颜色种类有种；由最不利原则，至少要抓住根缆线才能保证每种颜色都至少抓到了根。【例3】会议室某排有个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻，那么小宇就座之前，这一排至少已坐了人。【难度】【答案】5【解析】当两端各有一个空位，任意两人之间有两个空位时满足小宇无论坐在何处都要与已坐的人相邻；小宇就座之前

3、，这一排至少已坐了人。【例4】五班共有人，要从甲、乙、丙三人中投票选举出一人担任班长。已知每个人都投了一票给三人中的一人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到票，乙得到票，丙得到票。如果得票数比其他两人都多的候选人将成为班长，那么甲最少再得票就能够保证当选。【难度】【答案】5【解析】最不利原则。现在还剩下张选票没有统计。如果甲再得张，乙再得张，则乙当选为班长；如果甲再得张选票，则无论剩余张选票投给谁，甲必定当选为班长；所以甲最少再得票就能够保证当选。抽屉原理：如果把多于件物品任意放到个抽屉中，那么必有个抽屉至少有件物品。抽屉原理：如果把多于件物品任意放到个抽屉中，那么必有个抽屉至少有件物品。【例

4、5】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【难度】【答案】9【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把“小兔子”当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把只小兔放进个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔。【例6】班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于三本书？【难度】【答案】101【解析】把名小朋友当作个“抽屉”，书作为物品。把书放在个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有三本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于，所以至少要拿本书。【例7】要想保证至少有个人的属相相同，但不能

5、保证有个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？【难度】【答案】【解析】要保证有至少个人的属相相同，总人数最少为人；不能保证有个人属相相同的最多人数为人；所以总人数应该在人之间。比较复杂的问题需要构造抽屉，常见的构造抽屉方法有“数的分组法”“剩余类法”“图形分割法”等。【例8】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得分，不做得分，做错得分。老师说：“可以肯定全班同学中至少有名同学各题的得分都相同。”那么，这个班至少有多少名同学？【难度】【答案】46【解析】以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，由于两道题各有三种得分情况，所以共有种得分情况，那么共有个抽屉，学生数量即“苹果”数为人。【例9】证明

6、：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。【难度】【答案】任意6个自然数除以5所得的余数只能为0、1、2、3、4 五个数中的一个,现有6个数,除以5所得余数也有6个,其中必有两个数除以5所得的余数相同,这两个数的差必为5的倍数.根据抽屉原理,把除以5所得余数不同的5个自然数看做5个抽屉,把6个数看做6个物体,即有：6除以5等于1余1,1+1=2 所以任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。【例10】在一条长50米的小路的一旁种51棵树。证明：不管怎么种，至少有两棵树间的距离不超过1米。【难度】【答案】把50米的线段50等分，每条线段长度是1米，将每条线段看作一个抽屉。 51棵树放在50个抽

7、屉里，至少有一个抽屉中有两棵或两棵以上的树，它们之间的距离不大于1米。【习题1】有一个布袋中有种不同颜色的球，每种都有个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有个小球的颜色相同？【难度】【答案】6【解析】根据最不利原则，至少需要取个球。【习题2】口袋里有蓝色球个，红色球个，黄色球个，至少要取多少个小球才能保证至少有个小球同色？【难度】【答案】11【解析】考虑最不利情况先取个红球，个蓝球，个黄球，然后无论取哪个球都能保证至少有个小球同色；所以至少要取个小球才能保证至少有个小球同色。【习题3】证明：任意个人中，至少有个人的属相相同。要想保证至少有个人的属相相同，至少要有几个人？【难度】【

8、答案】12【解析】把种属相看作个抽屉，根据抽屉原理，至少有个人的属相相同。要保证至少有个人的属相相同，总人数最少为人。【习题4】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【难度】【答案】8【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共种情况，即有个抽屉，即至少有名同学所拿球的种类是一样的。【习题5】一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有个，黄色的有个，蓝色的有个，绿色的有个。请问：一次至少要取出多少个球，才能保证取出

9、的球至少有三种颜色？一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【难度】【答案】19；15【解析】由最不利原则，先取红色的木球有个，黄色的木球有个，然后无论取哪个球都能保证有三种颜色的球；所以一次至少要取出个球，才能保证取出的球至少有三种颜色。由最不利原则，先取蓝色的木球有个，绿色的木球有个，再取红色的木球个，然后无论取哪个球都能保证必有红球和黄球；所以一次至少要取出个球，才能保证其中必有红球和黄球。【习题6】有一排椅子有30个座位，为了方便后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐 人【难度】【答案】10【解析】每三个人看成一个抽屉，303=10【习题7】全班有30人，每人

10、都有书，共有450本书，证明至少有两人有相同数量的书。【难度】【答案】如果30个人本数各不相同至少有1+2+3+.+30=465本书，现在有450本书，450465，由抽屉原理，至少有两人有相同数量的书。【习题8】从1到36的数整数中，最多可以取出_个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数【难度】【答案】5【解析】按被5除的余数将36个数分为5组：余0：5、10、15、20、25、30、35余1：1、6、11、16、21、26、31、36余2：2、7、12、17、22、27、32余3：3、8、13、18、23、28、33余4：4、9、14、19、24、29、34从以上5组中各取出一个数来,则这

11、5个数中两两之差必然不会是5的倍数.如果再取数的话,则不管从哪组中取数,必然会与之前在这个抽屉中取出的数之差为5的倍数.所以满足题意的数目最多为5【作业1】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同。【难度】【答案】五种颜色最多只能涂个不同颜色的面，因为正方体有个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，根据抽屉原理，一定有一个颜色有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同。【作业2】一个小组中没有相同月份出生的同学，这个小组最多有几人？【难度】【答案】12【解析】一共12个月，根据抽屉原理，小组最多有121=12人【作业3】袋中有外形完全一样

12、的红、黄、蓝三种颜色的小球各个，每个小朋友只能从中摸出个小球。至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人模的球的颜色一样。【难度】【答案】7【解析】摸出个球颜色相同有种情况（红红、黄黄、蓝蓝）；摸出个球颜色不同有3种情况（红黄、红蓝、黄蓝）；所以摸出个小球有种可能；所以至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人模的球的颜色一样。【作业4】今有乒乓球盒个，每个盒子内最多可放六个球，试说明这些盒子中，至少有四个盒子里所放球数相同。【难度】【答案】每个盒子中放的球数可以为、之一，共有种情况，相当于个抽屉，根据抽屉原理，至少有个盒子里所放球数相同。【作业5】学校买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同

13、学可以借阅其中两本，现有位小朋友前来借阅，每人都借了本。请问：你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【难度】【答案】每个小朋友都借本有种可能：数数，英英，数英。第个小朋友无论借什么书，都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类。【作业6】一个口袋里分别有红、黄、黑球4，7，8个，为使取出的球中有6个同色，则至少要取小球 个【难度】【答案】15【解析】使取出的球中有6个同色，至少要取4+5+5+1=15（个）【作业7】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋

14、友才能保证有两人选的玩具是相同的？【难度】【答案】4【解析】根据题意列下表：小汽车小火车小飞机第一个小朋友第二个小朋友第三个小朋友第四个小朋友 即使前三个小朋友选择的情况各不相同，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同，所以至少要有个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的。【作业8】在长度是厘米的线段上任意取个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于厘米？【难度】【答案】把长度厘米的线段等分，那么每段线段的长度是厘米。将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有个抽屉。现在将这个点放到这个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离不大于厘米。所以，在长度是厘米的线段上任意取个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于厘米。【作业9】若干名小朋友购买单价为元和元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同。问：至少有多少名小朋友？【难度】【答案】不超过元可购买商品的方法有如下种：元件数元件数总钱数至少有名小朋友。 11 / 12