小升初22次课程01-数的整除（教师版）.doc

1、小升初 数的整除（1）内容分析-（）数的整除是六年级数学上学期所学内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，对我们后期学习公因数和公倍数提供依据；分解素因数主要包括素数、合数的概念以及分解素因数与合数的概念以及分解素因数，重点是能被2、3、5整除的数的特点。完全平方数要简单了解。知识结构 整数与整除的意义整数与整除常见数的整除性素数、合数与分解素因数素数、合数与分解素因数模块一：整数与整除的意义知识精讲1、整除整数除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被b整除；或者说b能整除。注意：（1）整除的条件（两个必须同时满足）：2、因数和倍数整数能被整数b整除，就叫做b的倍数，b就叫做

2、的因数（也称为约数）。注意：在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。3、因数和倍数的性质（规律总结）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数。4、求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数。5、求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘

3、，所得之数就是这个数的倍数。例题解析【例1】把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数【难度】【答案】12、2005、9； 12、0、2005、9； 12、-6、0、2005、9【解析】（1）最小的自然数是0；没有最大的自然数 （2）没有最大的整数，也没有最小的整数 （3）最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没有最小的负整数【例2】已知下列除法算式： 233=72 246=4 213=7 2.13=0.7 52=2.5 021=0 哪些算式中被除数能被除数整除？ 【难度】【答案】整除：【解析】整除的概念【例3】下面哪些

4、数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？ 35、85、60、108、321、1234、2010【难度】【答案】能被2整除： 60、108、1234、2010能被5整除： 35、85、60、2010能同时被2和5整除： 60、2010【解析】能被2、5整除数的特点【例4】如果5678，那么_能整除_，_能被_整除，_是_的因数，_ 是 _ 的倍数。【难度】【答案】 7，56；56，7； 7和8是56的因数；56是7和8的倍数【解析】整除，因数，倍数的概念。模块二 常见数的整除性知识精讲1、能被2、3、5整除的数的特征 1）个位上是0、2 、4、6、8的整数能被2整除2）一个整数的各

5、个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除3）个位上是0或5的整数能被5整除观察下列算式，总结能被2整除的数的特征 1 2 2 6 2 122 4 7 143 6 8 164 8 9 185 10 10 20特征：个位上是0、2 、4、6、8的数能被2整除数观察下列算式，总结能被3整除的数的特征。 能 不能个位 51 54 57 52 53 55 56 58十位 12 42 72 22 32 52 62 82 交换位置 15 45 57 25 35 55 56 85各个数位和 1+2=3 4+2=6 2+2=4 3+2=5特征：一个整数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除观察

6、下列算式，总结能被5整除的数的特征。1 5 52 103 154 20特征：个位上是0或5的数能被5整除 个位上是0的整数能同时被2、5整除。2、能被4、6、25、8、125、9、11的整除性质如果一个数的末两位数能被4或25整除，那个这个数就一定能被4或25整除后三位数字如果是125的倍数，那么这个数就是125的倍数能被9整除的数的特征：各位数字的和能被9整除能被11整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位之和的差能被11整除。3、奇数与偶数在自然数中，能被2整除的数，叫做偶数0、2、4、6、8、10是偶数不能被2整除的数，叫做奇数1、3、5、7、9是奇数。偶数和奇数有如下运算性质：偶数偶数=

7、偶数， 奇数奇数=偶数， 奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数， 奇数偶数=偶数， 奇数奇数=奇数经典例题【例5】有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 （ )A. 11 B. 9 C.12 D. 8【难度】【答案】D【解析】考查质数的概念【例6】列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是 ( ) A. 1.5和0.5 B.15和5 C. 4和4 D. 10和2【难度】【答案】A【解析】考查整除的概念【例7】六位数257a38能被3整除，数字a=？【难度】【答案】2或5或8【解析】本题主要考察能被3整除的数的特点.【例8】小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数，这个五位

8、数的中间三位都是8，未位不是0，小丽最多拨多少次就一定能接通小芳家的电话。【难度】【答案】 27【解析】中间三个8之和能3整除,只考虑首尾数字和被3整除即可.9*3=27次【例9】商店里有6只不同的货箱，分别装有15，16，18，20，31，34千克的货物，两个顾客买走了其中5箱货物，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？【难度】【答案】20千克【解析】15、16、18、19、20、31 被3除分别余0、 1、 0、 1、 2、 1总数被3除余2两个顾客买走的货物总重量是3的倍数,则剩余一箱必被3除余2,即剩余20那箱.【例10】下列哪项能被11整除：937

9、845678 235789453 436728839 867392267【难度】【答案】937845678【解析】奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除的，该数能被11整除【例11】一个五位数，方格中的数未知。请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？【难度】【答案】86256； 85250【解析】因为72=8*9，所以8+2+5=15+2*能被9整除，符合条件的只有6，而256恰好能被8整除，所以这个五位数为86256；因为55=5*11，所以能被5整除，末尾只能是5和0，8+2-（5+）=5+-能被11整除，当末尾是5时，没有答案，当

10、末尾是0时，这个五位数为85250模块三：素数、合数与分解素因数知识精讲1、素数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。2是素数，也是质数中唯一的偶数,其他的是奇数，要特别记住：0和1不是素数，也不是合数。常用的100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的素数都是奇数；除了2和5，其余的素数个位数字只能是1，3，7或9。2、素因数与分解素因数素因数：每个合数都可以写成几个

11、素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。分解素因数的方法：短除法例如：，（是短除法的符号） 所以；唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成素数的连乘积，并且这种表示是唯一的.部分特殊数的分解：；例题解析【例12】24的因数有？【难度】【答案】1、2、3、4、6、8、12、24 .【解析】准确理解因数的概念。【例13】一个整数既是54的因数，又是9的倍数，求这个数。【难度】【答案】9、18、27、54【解析】先求54的因数(1、3、6、9、18、27、54)，再把其中是9的倍数(9、18、27

12、、54)的数取出即可。【例14】将1到20中满足条件的数填入适当的圈内。4的倍数但非100的因数100的因数但非4的倍数4的倍数又是100的因数【难度】【答案】8、12、16；1、2、5、10；4、20。【解析】准确理解因数、倍数的概念【例15】把330分解素因数。【难度】【答案】【解析】【例16】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。解析：210=2357 可知这三个数是5、6和7。【难度】【答案】5、6和7。【解析】210=2357 可知这三个数是5、6和7。【例17】2431是三个素数的乘积，这三个素数是？【 难度】【答案】11、13、17【解析】2431=111317从最小的素数开

13、始除，利用能被2、3、5整除的数的特点来判断不能整除。随堂检测【习题1】在自然数中，2是（ ） A.最小的素数 B.最小的偶数 C.最小的合数 D.最小的自然数【难度】【答案】A【解析】考查素数的概念【习题2】在自然数4，5，6，7，9中，两个数是互素的有（ ）对A.5 B.6 C.7 D.8【难度】【答案】D【解析】考查互素的概念【习题3】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。【难度】【答案】79【解析】1、这个数字大于662、5122如果减少66就能被这个数字整除第一步,将多余的去掉5122-66=5056第二部,因为5056尾数是6是偶数,可以被2整除,所以不断除以2,直

14、到得出的数是2位数5056=2*2*2*2*2*2*795056=64*79综合以上条件 这个数是79而不是64【习题4】在自然数1至200中，共有多少个能被3或5整除的数？【难度】【答案】93【解析】能被3整除的数有：2003=662，有66个；能被5整除的数有：2005=40，有40个；能被15整除的数有：20015=135，有13个。所以能被3或5整除的数共有66+40-13=93个。【习题5】四位数6能被2、3、5整除，求所有符合条件的四位数。【难度】【答案】6240、6540、6840.【解析】要使这个四位数能同时被2和5整除， b只能为0。要使这个四位数能被3整除，6+a+4+b=

15、6+a+4+0=10+a的和要能被3整除。只有当a=2、5、8时，数字和为12、15、18，能被3整除。所以满足条件的四位数有6240、6540、6840.【习题6】在4，6，8，24，l5，42，48，324，8468这些数中能被2整除的数有 _ 能被4整除的数有 _ ，能被6整除的数有 _ 【难度】【答案】4，6，8，24，48，324，8468；4，8，24，48，324，8648【解析】能被2、4、6整除的数的特点【习题7】在3，9，4671，243，796，51，345这些数中能被3整除的数有_， 能被9整除的数有_【难度】【答案】3，9，4671，243，51，345；9，4671

16、，243【解析】能被3、9整除的数的特点【习题8】某年的10月有5个星期六，4个星期天，问这年的10月1日是星期几？【难度】【答案】星期四【解析】10月有31天，317=4（周）3（天），也就是说，10月31日前28天是10月3日，应是星期六，10月里才会有5个星期六，4个星期日，所以10月2日是星期五，10月1日则是星期四【习题9】从0、1、2、4、7这五个数字中，任意取出三个组成不同的三位数，其中能被3整除的三位数有多少个？【难度】【答案】18【解析】组成能被3整除三位数，数字的选择有四种，分别计算出每种选择方法能组成的三位数的个数。0，1，2：能组成221=4（个）0，2，4：能组成22

17、1=4（个）0，2，7：能组成221=4（个）1，4，7：能组成321=6（个）首先被3整除选出的三个数之和应该是被3整除,所以有4组分别为012、024、027、147.再每组排列组合得012有120、102、210、201四个三位数,依上排列024,027同样有4个,147有6个,这样算下来一共有43+6=18个【习题10】 在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【难度】【答案】53【解析】采用试除法.所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意课后作业【作业1】 在自然数1至200中，共有多少个能被3或5整除的数？【难度

18、】【答案】93【解析】能被3整除的数有：2003=662，有66个；能被5整除的数有：2005=40，有40个；能被15整除的数有：20015=135，有13个。所以能被3或5整除的数共有66+40-13=93个。【作业2】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【难度】【答案】865020【解析】能被4、5整除，这个数的个位上一定是0，能被4整除的数，末尾两位那个被4整除，因此十位上一定是偶数，能被3整除的数，各位上数字的和能被3整除，8+6+5=19，最少差2就能被3整除，所以这个数最小是865020【作业3】 7和11都是（ ）A.素

19、数 B.互素数 C.素因数 D.因数【难度】【答案】A【解析】考查素数的概念【作业4】 一个三位数，它的百位上是最小的素数，十位上是最小的合数，个位上是最小的自然数，这个三位数是？【难度】【答案】240【解析】考查素数、合数的概念【作业5】 如果两个素数的和是33，那么两个素数的积为？【难度】【答案】62【解析】考查素数、合数的概念【作业6】 小于30的既是素数，又是偶数的数是哪几个？【难度】【答案】2【解析】小于30的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29而其中又是偶数的数只有2。通过这道题的解答，我们知道：所有的素数（除2外）都是奇数。【作业7】 用短除法分解素因数：1

20、02 136 84 256【难度】【答案】102=2317 136=22217 84=2237 256=22222222【解析】102的因数有1、2、3、6、17、34、51、102 136的因数有2、1784的因数有2、3、7 256的因数有2【作业8】 已知已知九位数2007122既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？【难度】【答案】200731212【解析】根据数和差同奇偶【作业9】 下列分解素因数正确的是（ ）A.18=233 B.18=1233 C.18=29 D.233=18【难度】【答案】A【解析】考查分解素因数 【作业10】 在1、3、5、15中，互素的对数有(

21、 )A.2对 B.3对 C. 4对 D. 5对【难度】【答案】C【解析】考查互素的概念【作业11】 100以内，同时只含有素因数2、3、5的合数一共有（ ）A、一个 B、两个 C、三个 D、四个【难度】【答案】C【解析】 考查合数的概念 【作业12】 三个素数的和为50，请写出一组这样的素数。【难度】【答案】2、31、17或2、11、37或2、7、41【解析】 偶数+奇数+奇数=偶数，所以一定要有素偶数2【作业13】 12和60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的10倍：1260=720，12+60=72满足这个条件的正整数还有哪些？【难度】【答案】（11，110）、（14，35

22、）、（15，30）、（20，20）【解析】设满足条件的正整数对是a和b（ab），根据题意，得：因为a是正整数，所以b是大于10的正整数，并且（b-10）是100的约束，推出b=11，12，14，15，20；相应地得到a=110，60，35，30，20即正整数对还有（11，110）、（14，35）、（15，30）、（20，20）【作业14】 某校师生为贫困地区捐款1995元这个学校共有35名教师，14个教学班各班学生人数相同且多于30人不超过45人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【难度】【答案】3【解析】这个学校最少有35+1430=455名师生，最多有35+1445=665名师生，并且师生总人数能整除19951995=35133，在455665之间的约数只有5133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995665=3元 13 / 14 13 / /14