高中数学专题知识框架及应用结构图1—7（彩色版）（集合与简易逻辑 函数 三角函数平面向量和解三角形 数列 圆锥曲线 ）.doc

1、一、集合概 念概 念指定的某些对象的全体称为集合元素与集合元素与集合的关系有且仅有两种：属于（）或不属于（）.元素特性确定性、互异性、无序性常用数集实数集R；有理数集Q；整数集Z；自然数集N；正整数集N*(或N)表示方法列举法、描述法基本关系子 集AB空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.若AB，BC，则AC.ABAB且BA.有限集合的子集个数：n个元素的集合有2n个子集；其中有2n1个真子集；有2n1个非空子集；有2n2个非空真子集.真子集AB相等集合AB基本运算交 集ABABx|xA且xBABAABBA并 集ABABx|xA或xBBABAABAA补 集UAUAx|xU且xAA(

2、UA)UA(UA)U(UA)A二、简易逻辑命 题概 念能够判断真假的语句四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若p，则q逆否命题：若q，则p充要条件充分条件pq，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则：pq等价于AB；pq且qp等价于AB.必要条件pq，q是p的必要条件充要条件pq且qp，p、q互为充要条件逻辑联结词且命题“pq”：一假则假，同真为真.类比集合的“交”或命题“pq”：一真则真，同假为假.类比集合的“并”非命题“p”：真假相反类比集合的“补”量 词全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题.存在量词，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为

3、全称命题.一、函数三要素题 型典 例求定义域f(x)为整式：定义域为R在求定义域时，一个函数中可能包含有多种形式，此时应把式子拆分开来，分别对各部分列关系式，最终再把各部分所得结果求交集.f(x)为分式：定义域为分母不为0f(x)为偶次根式：定义域为根号下0f(x)x0：定义域为x0求值域一般型（函数性质）求函数f(x)2x24x2的值域.双绝对值型（去绝对值法）求函数f(x)|x1|x2|的值域.分式型（分离常量法）求函数f(x)(x3)的值域.根式型（换元法）求函数f(x)2x的值域.求解析式已知f(x)、g(x)，求fg(x)型（代入法）已知f(x)2x1，求f(x5).已知fg(x)、

4、g(x)，求f(x)型（换元法）已知f(1)x2，求f(x).函数形式确定型（待定系数法）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x).函数自变量对称出现型（函数方程法）已知函数yf(x)满足2f(x)4f()3x，求f(x).二、函数三性质单调性定义满足当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，就说函数单调递增；满足当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，就说函数单调递减.常用性质函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反；函数y与函数yf(x)的单调性相反(f(x)恒为正或恒为负)；增函数增函数增函数，减函数减函数减函数.奇偶性定义满足f(x)f(x)，叫做

5、奇函数；满足f(x)f(x)，叫做偶函数常用性质奇、偶函数的定义域关于原点对称.（前提条件）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反若奇函数f(x)在x0处有定义，则必有f(0)0；偶函数则不一定.周期性定义满足f(xT)f(x)，就称函数f(x)为周期函数， 常用性质推论1：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(xa)f(x)，则函数f(x)为周期函数，且T2a是它的一个周期.推论2：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(xa)，则函数f(x)为周期函数，且T2a是它的一个周期

6、.推论3：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(xa)，则函数f(x)为周期函数，且T2a是它的一个周期.推论4：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(xa)f(xb) (ab)则函数f(x)为周期函数，且T|ab|是它的一个周期.推论5：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(xa)，则函数f(x)为周期函数，且T4a是它的一个周期.推论6：在函数f(x)中，若x取定义域内的每一个值都有f(x)f(xa)f(xa)，则函数f(x)为周期函数，且T6a是它的一个周期.三、指数和对数运算指数运算同底数幂的运算 幂的乘方与积的乘方 零指数幂与负指数幂 分数指数幂对

7、数运算两个重要恒等式 对数的运算性质 换底公式倒数公式四、函数图象变换平移变换对称变换翻折变换yf(|x|) y|f(x)|五、一元二次方程根的分布方程ax2bxc0 (a0)分布与数值的位置关系与区间的位置关系两根同小于m两根同大于m一根大于m一根小于m一根在(m，n)内两根在(m，n)内一根在(m，n)内一根在(n，p)内形式x1x2mmx1x2x1mx2mx1nmx1x2nmx1nx2p图象满足条件f(m)0或f(m)f(n)0一、一次函数函数形式f(x)kxb (k0)k的正负k0k0b的正负b0b0b0b0图 象图象位置一、二、三象限一、三、四象限一、二、四象限二、三、四象限单 调

8、性单调递增单调递减二、反比例函数函数形式f(x) (k0)k的正负k0k0图 象oyxyxo图象位置一、三象限二、四象限单 调 性单调递减单调递增三、二次函数函数形式f(x)ax2bxc (a0)a的正负 a0（开口向上） a0（开口向下）图 象对 称 轴x顶 点单 调 性对称轴左侧单调递减；对称轴右侧单调递增.对称轴左侧单调递增；对称轴右侧单调递减.最 值在x处取最小值无最大值在x处取最大值无最小值 四、指数函数和对数函数指数函数对数函数函数形式f(x)ax (a0，a1)f(x)loga x (a0，a1)a的取值0a1a10a1a1图 象定 义 域R(0，)值 域(0，)R过 定 点(0

9、，1)(1，0)取值特征当x0时，0y1；当x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0单 调 性在R上递减在R上是递增在(0,)上递减在(0,)上递增判 底 线x1y1 五、幂函数函数形式f(x)xa主要形式f(x)xf(x)x2f(x)x3f(x)f(x)x1图 象定 义 域RRR0，)xR，x0值 域R0，)R0，)yR，y0单 调 性增减，增增增减，减奇 偶 性奇偶奇非奇非偶奇过 定 点(0，0)，(1，1)(1，1)其他性质(1)所有幂函数都在(0，)上有定义，并且图像都过点(1，1).(2)图像一定会出现在第一象限，一

10、定不会出现在第四象限，并且最多只能出现在两个象限.(3)当幂函数的指数为奇数时，函数为奇函数；当幂函数的指数为偶数时，函数为偶函数.(4)幂函数分类(如右图)当a0时，幂函数图象经过(0，0)点和(1，1)点，且在第一象限是增函数.当0a1时，曲线上凸；当a1时，曲线下凹；当a1时，表示过(0，0)点和(1，1)点的直线.当a0时，幂函数图象总经过(1，1)点，且在第一象限是减函数当a0时，表示过(1，1)点平行于x轴的直线(除去(0，1)点)(5)在(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴(“指大图低”)一、任意角的三角函数基本关系式诱 导公 式公式一公式二公式三函数名不变符号看象

11、限二、两角和与差的三角函数两 角和与差公 式正弦：（异名同号）余弦：（同名异号）正切：（子同母异）二倍角公 式正弦：余弦：正切：辅助角公 式 （其中）三、三角函数的图象和性质线性关系坐标关系a(x1，y1)，b(x2，y2)向量运算加 法“平行四边形法则”和“三角形法则”ab(x1x2，y1y2)减 法“三角形法则”ab(x1x2，y1y2)数 乘(a)()a()aaa(ab)aba(x1，y1)相等向量长度相等，方向相同x1x2，y1y2平行向量ab(b0)x1y2x2y10垂直向量ab0x1x2y1y20向量的数量积ab|a| |b|cos abx1x2y1y2向量模公式|a|向量夹角公式

12、cos cos 三、解三角形的多解分析已知两边和其中一边的对角解三角形时，应分析解的情况：如已知a，b，A，则当A为锐角时当A为钝角或直角时图 示关 系 式absin Aabsin Absin Aabababab解的情况无解一解两解一解一解无解一、正弦定理和余弦定理正弦定理余弦定理内容ka2b2c22bccos Ab2a2c22accos Bc2a2b22abcos C变形a:b:csin A:sin B:sin Cak sin A，bk sin B，ck sin Csin A，sin B，sin Ccos Acos Bcos C应用（1）已知两角和一边，求解三角形；（2）已知两边和对角，求解

13、三角形.（3）已知两边和夹角，求解三角形；（4）已知三边，求解三角形.二、解三角形的四种模型已知两角和一边(A，B，b)求解三角形步骤：C180(AB)；用正弦定理a；用正弦定理b.已知两边和夹角(a，b，C)求解三角形步骤：用余弦定理c；用正弦定理求a，b中较小边所对锐角；用内角和定理求第三角.已知两边和对角(a，b，A)求解三角形步骤：先判定解的情况；用正弦定理sin Bsin A；C180(AB)；用正弦定理c.已知三边(a，b，c)求解三角形步骤：用余弦定理求最大边所对的角；用正弦定理求出一个锐角；用内角和定理求第三角.一、数列基本性质等差数列等比数列概 念一般地，如果一个数列从第2项

14、起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.即：an1and (d为常数)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为0），那么这个数列叫做等比数列.即：q (q为非零常数)通 项公 式ana1(n1)d拓展公式：anam(nm)dana1qn1拓展公式：anamqnm数 列判 定定义法：an1and中项法：an1an12an 函数法：anknb前n项和公式法：SnAn2Bn定义法：q中项法：an1an1a函数法：ankqn前n项和公式法：Snkqnk数 列性 质（1）单调性：d0 递增数列；d0 递减数列；d0 常数列.（2）对偶性：若m

15、+n=p+q，则am+an=ap+aq（3）等差中项：若a，b，c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，满足关系ac2b.（1）单调性：或 递增数列；或 递减数列； q1 常数列.（2）对偶性：若m+n=p+q，则aman=apaq（3）等比中项：若a，b，c成等比数列，则b叫做a与c的等比中项，满足关系acb2前n项和公式Snna1d Sn等距连续性质“Sm，S2mSm，S3mS2m，”成等差数列“Sm，S2mSm，S3mS2m，”成等比数列等距间隔性质“ak，akm，ak2m，”成等差数列“ak，akm，ak2m，”成等比数列二、求数列通项公式 1.前n项和型 已知数列an的前n项和公式S

16、n，求an的步骤：第一步：当n1时，a1S1；第二步：当n2时，anSnSn1；第三步：检验a1是否适合当n2时得到的an：若适合，则将an用一个式子表示；若不适合，则将an用分段形式表示. 2.递推公式型 模 型方 法详 细an1anf(n)叠加法由形式写出n1个迭代式，所有式子相加即可得.an1anf(n)叠乘法由形式写出n1个迭代式，所有式子相乘即可得.an1panq构造等比数列法形式简单可直接构造，形式复杂可用此转化公式：由an1panq得an1tp(ant)，其中t.an1panqn消幂法等式两边同除以qn1，根据形式再利用模型.an1倒数构造法等式两边同时变成倒数形式，根据形式再利

17、用模型.an2pan1anf(n)减法构造法通过拆中间项构造出两个形式相同的差的迭代式an1anpan1an0除法构造法通过各项同除构造出两个形式相同的比的迭代式可因式分解型因式分解法对已知关系式进行因式分解，化简后可得一般形式.anan1f(n)(一次式)anan1f(n)(指数式)迭代构造法对已知关系式进行一次迭代变换，可得一般形式.三、数列求和模 型方 法详 细“可拆分”“奇偶分组”分组求和法将数列进行基本拆分或按奇偶项分组，各组分别求和即可.an(1)nf(n)并项求和法正负相间排列的数列求和，须对数列项数奇偶性的讨论.anbncn错位相减法bn为等差数列且cn为等比数列，为错位相减法

18、标准模型.anf(n1)f(n)裂项相消法设法构造成差的形式后再求和.常见的两种可构造形式为“分母以积的形式出现”或“分母以无理式和的形式出现”此两种对应的裂项公式为：()；()一、椭圆定 义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a (2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.标准方程 1(ab0) 1(ab0)图 形几何性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴，y轴； 对称中心：原点焦 点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶 点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴

19、长轴长|A1A2|2a，短轴长|B1B2|2b焦 距|F1F2|2c离心率e(0e1)a、b、c关系a2b2c2二、双曲线定 义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a (2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.标准方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)图 形几何性质范围xa或xa；yRxR；ya或ya对称性对称轴：x轴，y轴； 对称中心：原点焦 点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶 点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b焦 距|F1F2|2c离心率e(e1)渐近线yxyxa、

20、b、c关系c2a2b2三、抛物线定 义平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在直线l上).标准方程 y22px(p0)y22px(p0) x22py(p0)x22py(p0)图 形几何性质范 围x0；yRx0；yRxR；y0xR；y0对称性对称轴：x轴对称轴：y轴焦 点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)顶 点O(0，0)通 径过焦点且垂直于对称轴的弦：2p焦准距焦点到准线的距离：p离心率e1准 线xxyy焦点弦性质若线段AB为抛物线y22px(p0)的过焦点的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有性质：(1)焦半径|AF|x1；(2)弦长|AB|x1x2p；(3)x1x2.四、圆锥曲线的常用性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的弦长问题若直线ykxm与圆锥曲线相交于两点A，B，且x1，x2分别为A，B两点横坐标，可联立两式，即：得：ax2bxc0(a0)则弦长|AB|x1x2| （注：|x2x1|）焦点三角形问题焦点三角形问题中常用的“31”公式：(1)曲线定义：椭圆|PF1|PF2|2a；双曲线|PF1|PF2|2a(2)余弦定理：(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(3)完全平方式：(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|附加公式：三角形面积公式S|PF1|PF2|sin