数学模型第七章(第五版)课件.ppt
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- 数学模型 第七 第五 课件
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1、案例主要取自案例主要取自决策、排序、分配决策、排序、分配等方面的问题等方面的问题.第七章 离散模型连续模型连续模型离散模型离散模型微分方程微分方程线性线性、非线性、非线性规划规划差分方程差分方程整数规划整数规划经济、社会等领域经济、社会等领域科学科学、技术技术等领域等领域从应用角度只涉及从应用角度只涉及代数、几何和图代数、几何和图的一点知识的一点知识.7.1汽车选购汽车选购7.2职员晋升职员晋升7.3厂房新建还是改建厂房新建还是改建7.4循环比赛的名次循环比赛的名次7.5公平的席位分配公平的席位分配7.6存在公平的选举吗存在公平的选举吗7.7价格指数价格指数7.8钢管的订购和运输钢管的订购和运
2、输 第七章离散模型 对待选汽车作出对待选汽车作出综合评价综合评价,为选购确定为选购确定决策决策.考虑的考虑的因素因素:经济适用、性能良好、款式新颖经济适用、性能良好、款式新颖.对对3个因素个因素在汽车选购中的在汽车选购中的重要性重要性有大致比较有大致比较.对对待选汽车待选汽车在在每一因素每一因素中中的的优劣程度优劣程度有基本判断有基本判断.7.1 汽车选购汽车选购 人们人们在日常生活中在日常生活中常常碰到常常碰到类似的决策问题类似的决策问题:选择旅游选择旅游目的地目的地,选择,选择学校上学,学校上学,选择选择工作工作岗位岗位.从事各种职业的人在工作中经常面对决策:从事各种职业的人在工作中经常面
3、对决策:购买哪种设备;选择研究课题;选拔秘书;对经购买哪种设备;选择研究课题;选拔秘书;对经济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划.汽车选购汽车选购等等决策问题的共同特点决策问题的共同特点什么是多属性决策什么是多属性决策为一特定目的在为一特定目的在备选方案备选方案中确定一个中确定一个最优最优的的(或或给出优劣给出优劣排序排序、优劣、优劣数值数值),而方案的优劣由若干而方案的优劣由若干属性属性(准则、特征、性能准则、特征、性能)给以给以定量定量或或定性定性的表述的表述.考虑的因素考虑的因素常常涉及经济、社会等领域,对它们的涉及经济、社会等领域,对它们的重
4、要性、影响力作比较、评价时重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的标准缺乏客观的标准.待选对象对于这些因素的待选对象对于这些因素的优劣程度优劣程度常常难以量化难以量化.多属性多属性决策决策是处理这类是处理这类决策问题的常用决策问题的常用方法方法.要素:要素:1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合 2.决策矩阵决策矩阵 3.属性属性权重权重 4.综合方法综合方法.1.确定确定属性集合属性集合的一般原则:的一般原则:全面全面考虑考虑,选取选取影响力影响力(或重要性或重要性)强强的的.属性间尽量属性间尽量独立独立(至少至少相关性不太相关性不太强强)不选不选难以辨别难以辨别方案优劣
5、方案优劣的的(即使即使影响力很影响力很强强).若数量太若数量太多多(如如大于大于7个个),应应将它们分层将它们分层.尽量选可尽量选可量化量化的的,定性定性的也要能明确区分档次的也要能明确区分档次.多属性决策的多属性决策的要素要素2.决策决策矩阵矩阵 以方案为行、属性为列以方案为行、属性为列、每一每一方案对方案对每一每一属性的取值属性的取值为元素为元素构成的矩阵构成的矩阵.表示表示方案对属性的优劣方案对属性的优劣(或偏好或偏好)程度程度.可以可以定量定量的的属性属性只能只能定性定性的的属性属性3.属性属性权重权重 对目标对目标影响力影响力(或重要性或重要性)的权重分配的权重分配 将将决策矩阵决策
6、矩阵与与属性权重属性权重加以加以综合综合,得到最终决策的数学方法得到最终决策的数学方法.4.综合综合方法方法 要素:要素:1.决策决策目标、目标、备选方案备选方案与与属性集合属性集合 2.决策矩阵决策矩阵 3.属性属性权重权重 4.综合方法综合方法.3个个属性属性为为选购选购准则准则 价格价格X1,性能性能X2,款式款式X33个个方案方案供供决策决策 选购选购的的汽车汽车型号型号A1,A2,A3 dij X1 X2 X3 A12597A21877A31255dijAi对对Xj的取值的取值 (原始权重原始权重)3种汽车种汽车价格价格(万元万元):25,18,123种汽车种汽车性能性能(打分打分,
7、10分满分分满分):9,7,53种汽车种汽车款式款式:7,7,5 以以汽车选购汽车选购为例为例说明说明如何确定如何确定决策矩阵决策矩阵、属性权重属性权重以及利用以及利用综合方法综合方法得到决策得到决策结果结果.1)决策矩阵及其标准化)决策矩阵及其标准化m个备选方案个备选方案 A1,A2,Am0,)(ijnmijddD决策矩阵决策矩阵dij Ai对对Xj的取值的取值决策矩阵的获取决策矩阵的获取 调查、量测各方案对属性的取值调查、量测各方案对属性的取值(定量定量,偏于客观偏于客观).决策者决策者打分评定打分评定或用层次分析法的或用层次分析法的成对比较得到成对比较得到 (定性定性,偏于主观偏于主观)
8、.n个属性个属性 X1,X2,Xn 551277187925D汽车汽车选购选购 1)决策矩阵及其标准化)决策矩阵及其标准化551277187925D决策矩阵决策矩阵D的列的列各方案对各方案对某某属性的取值属性的取值(属性值属性值).各属性物理意义各属性物理意义(包括量纲包括量纲)不同不同效益型属性效益型属性对费用型的属性值对费用型的属性值dij作作倒数变换倒数变换将全部属性将全部属性统一为效益型统一为效益型.5512/17718/17925/1D性能性能X2,款式款式X3费用型属性费用型属性标准化标准化第第1步:区分步:区分价格价格X1决策矩阵标准化决策矩阵标准化ijmiijijddr,2,1
9、maxmiijijijddr1miijijijddr1210,)(ijnmijrrRR的列最大值的列最大值为为1最大化最大化R的列和为的列和为1 归一化归一化R的列模为的列模为1 模一化模一化1)决策矩阵及其标准化)决策矩阵及其标准化标准化标准化第第2步:对步:对dij作作比例比例尺度变换尺度变换 当且仅当当且仅当dij=0时才有时才有rij=0R标准化标准化的的决策矩阵决策矩阵比例变换假定比例变换假定:属性的重要性随属性的重要性随属性值线性属性值线性变化变化.2)属性权重的确定)属性权重的确定w1,w2,wn属性属性X1,X2,Xn的权重的权重,njjw11 用层次分析法的用层次分析法的成对
10、比较得到成对比较得到.偏于主观偏于主观 根据决策目的和经验先验地给出根据决策目的和经验先验地给出.信息熵法信息熵法偏于客观偏于客观熵熵 信息论中信息论中衡量不确定性衡量不确定性的指标,信息量的的指标,信息量的(概率概率)分布越一致,不确定性越大分布越一致,不确定性越大.R归一化归一化的每一列的每一列 ),(21mjjjrrr 各方案对各方案对Xj信息量的信息量的(概率概率)分布分布.2)属性权重的确定)属性权重的确定mkrrkEmiijijjln1,ln1方案关于属性方案关于属性Xj的熵的熵 rij=1/m时时Ej=1.属性属性Xj对于方案的对于方案的区分度区分度 rij只有一个只有一个1其余
11、为其余为0时时Ej=0rij(i=1,2,m)相相差越大差越大,Ej越小越小,Xj越能辨别优劣越能辨别优劣.10,1jjjFEFnjFFwnjjjj,2,1,1Xj的的权重权重(归一化的区分度归一化的区分度)Xj对于辨别对于辨别方案优劣方案优劣不不起作用起作用.Xj最能辨别最能辨别方案优劣方案优劣.汽车选购汽车选购 2)属性权重的确定)属性权重的确定5512/17718/17925/1D X1X2X3 0.22360.42860.3684rij0.31060.33330.3684 0.46580.23810.26323种汽车价格种汽车价格X1取值相差取值相差最最大大,款式款式X3取值相差取值相
12、差最最小小.w1最最大大rij(i=1,2,m)的的均方差均方差可可作为作为区分度区分度Fj(m较大较大时时).归归一一化化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最最小小方案对目标的权重方案对目标的权重(综合取值)(综合取值)综合方法综合方法决策矩阵决策矩阵属性权重属性权重+1.简单加权和法简单加权和法(SAW,Simple Additive Weighting)njjijnjijimiwrvv11,2,1,nmijrR)(Tnwwww),(21方案方案Ai 对对n个属性的综合取值为个属性的综合取值为对决策矩
13、阵采用对决策矩阵采用不同的标准化不同的标准化,得到的结果会不同得到的结果会不同.3)主要的综合方法)主要的综合方法2.加权积法(加权积法(WP,Weighted Product)njwijimidvj1,2,1,可直接用方案对属性的原始值可直接用方案对属性的原始值dij,不需要标准化不需要标准化.若效益型属性的权重取若效益型属性的权重取正正值,则费用型属性的值,则费用型属性的权重应取权重应取负负值值.将将SAW的算术加权平均改为的算术加权平均改为几何加权平均几何加权平均:3.接近理想解的接近理想解的偏好排序法偏好排序法 (TOPSIS,Technique for Order Preferenc
14、e by Similarity to Ideal Solution)n个属性、个属性、m个方案视为个方案视为n维空间中维空间中m个点的几何系统个点的几何系统 每个点的每个点的坐标坐标由由各方案标准化的各方案标准化的加权属性值加权属性值确定确定.决策矩阵决策矩阵模一化模一化,以便在空间定义以便在空间定义欧氏距离欧氏距离.正理想解正理想解(最优方案最优方案)由所有最优加权属性值构成由所有最优加权属性值构成.负理想解负理想解由所有最劣加权属性值构成由所有最劣加权属性值构成.定义距正、负理想解距离的数量指标定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度相对接近度.按照相对接近度确定备选方案的按照相对接近
15、度确定备选方案的优劣顺序优劣顺序.汽车选购汽车选购 5512/17718/17925/1D统一为效益型统一为效益型的的决策矩阵决策矩阵用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序4508.04016.07727.06312.05623.05151.06312.07229.03709.0,7143.05556.00000.10000.17778.06667.00000.10000.14800.0,2632.02381.04658.03684.03333.03106.03684.04286.02236.0RRRR最大化最大化R归一化归一化R模一化模一化属性权重取信息熵法结果
16、属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T1.简单加权和法简单加权和法(SAW)Rwv v=(0.3110,0.3260,0.3629)TR归一化归一化R最大化最大化v=(0.7228,0.7492,0.8143)T2.加权积法加权积法(WP)v=(0.3162,0.3277,0.3562)Tv归一化归一化njwijijdv1v=(0.4847,0.5316,0.5639)Tv=(0.3067,0.3364,0.3569)Tv归一化归一化汽车选购汽车选购 用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序3.理想解理想解法法 (TOPSIS)0
17、621.01323.04118.00869.01852.02746.00869.02381.01977.0)(ijvVR模一化模一化vij=rij wj)0869.0,2381.0,4118.0(v)0621.0,1323.0,1977.0(v正理想解正理想解负理想负理想解解312)(jjijivvS312)(jjijivvSAi与与v+距离距离Ai与与v-距离距离iiiiSSSCS+=(0.2141,0.1470,0.1087)S-=(0.1087,0.0966,0.2141)相对接近度相对接近度C+=(0.3368,0.3966,0.6633)C+=(0.2411,0.2840,0.474
18、9)归一化归一化 方法方法方案方案SAW(R归一化归一化)SAW(R最大化最大化)WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购汽车选购 用用3种综合方法确定种综合方法确定3种汽车种汽车的优劣顺序的优劣顺序SAW(R归一化归一化,最大化最大化),WP结果结果差别很差别很小小,TOPSIS结果结果差别稍差别稍大大.优劣顺序均为优劣顺序均为A3,A2,A1简单、直观的加权和简单、直观的加权和法法(SAW)是是人们的人们的首选首选.SAW的的前提前提属性属性之间相互之
19、间相互独立独立,并且并且具有具有互补性互补性.多属性决策应用的步骤多属性决策应用的步骤1.确定确定决策目标、备选方案与属性集合决策目标、备选方案与属性集合;2.用用量测、调查等手段确定量测、调查等手段确定决策矩阵和属性权重决策矩阵和属性权重,推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重;推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重;3.将全部属性统一将全部属性统一(如效益型如效益型),并,并采用归一化、采用归一化、最大化或模一化对最大化或模一化对决策矩阵标准化决策矩阵标准化;4.选用加权和、加权积、选用加权和、加权积、TOPSIS等等综合方法综合方法 计算方案对目标的权重计算方案对目标的权重,作为决策的依据,
20、作为决策的依据.1.比例尺度变换的归一化和最大化比例尺度变换的归一化和最大化归一化归一化 分配模式分配模式(Distributive Mode)某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之改变改变.最大化最大化 理想模式理想模式(Ideal Mode)任一方案的属性值任一方案的属性值独立独立于最优方案外的其他方案于最优方案外的其他方案.列最大值为列最大值为1:各方案与占资源各方案与占资源1的最优方案比较的最优方案比较.列和为列和为1:各方案分配总量固定各方案分配总量固定(1单位单位)的资源的资源.多属性决策应用中的几个问题多属性决策应用中的几个问题方案的优劣
21、方案的优劣排序排序大体上大体上一致一致(方案数量不多方案数量不多时时).两种模式计算的两种模式计算的结果结果数值数值上一般上一般不会相同不会相同.在实际应用中究竟应该采用哪种模式在实际应用中究竟应该采用哪种模式?分配分配模式模式决策者关心每个决策者关心每个方案方案相对相对于于其他其他方案方案的占优的占优程度程度;需要需要对候选方案的优劣给出定量对候选方案的优劣给出定量评评价价;特别用于资源特别用于资源分配问题分配问题.理想模式理想模式决策者关心每个方案决策者关心每个方案相对于基准指标相对于基准指标的的优劣优劣;从众多候选方案中只选一个最优者从众多候选方案中只选一个最优者.比例尺度变换的理想模式
22、和分配模式比例尺度变换的理想模式和分配模式2.区间尺度变换使用中的问题区间尺度变换使用中的问题ijmiijmiijmiijijddddr,2,1,2,1,2,1minmaxmin但但区间尺度变换区间尺度变换dij最最小小值值(对每个对每个j)都都变为变为rij=0.区间尺度变换区间尺度变换 对原始权重对原始权重dij作作伸缩与平移伸缩与平移变换变换ijmiijijddr,2,1max两种变换两种变换dij最大值最大值(对每个对每个j)都变为都变为rij=1.对比对比比例尺度比例尺度变换的最大化变换的最大化虚拟一个极端的例子说明虚拟一个极端的例子说明,某些实际某些实际问题问题适于采适于采用比例尺
23、度变换用比例尺度变换归一化归一化,用用最大化最大化会出现较大谬会出现较大谬误误,而用而用区间尺度变换将得到极不合理的结果区间尺度变换将得到极不合理的结果.74.026.05.05.099.049.001.051.098.0505.05.05.0196.001.01常识:教学常识:教学0.5万万平分平分,科研科研0.5万万给给B.67.033.0与与常识常识一致一致与常识有别与常识有别5.05.05.05.0100110019949151区间尺度区间尺度严重不妥严重不妥!区间尺度变换使用中的问题区间尺度变换使用中的问题得分得分 教学教学X1(w1=0.5)科研科研X2(w2=0.5)教师教师A5
24、11教师教师B4999例例.奖金奖金1万元按教学和万元按教学和科研并重原则分配给科研并重原则分配给A,B.理想模式理想模式(最大化最大化)分配分配模式模式(归一化归一化)A0.25万元万元,B0.75万元万元 把非常接近的教学原始分把非常接近的教学原始分51和和49分别变成分别变成1和和0为什么?为什么?3.方案的排序保持与排序逆转方案的排序保持与排序逆转 若若各准则对目标的权重各准则对目标的权重和原有方案对属性的和原有方案对属性的权重都权重都不变不变,当当有有新方案加入或旧方案退出时新方案加入或旧方案退出时,原有方案原有方案的优劣的优劣排序是保持还是会逆转排序是保持还是会逆转?用理想模式和分
25、配模式可能会得到不同的结果用理想模式和分配模式可能会得到不同的结果.例例.工作选择工作选择(训练题训练题15)原始分原始分 X1(w1=0.6)X2(w2=0.4)A141A215A322A441A4 61两种两种模式模式排序排序都是都是A1,A2,A3理想模式保持排序理想模式保持排序A1,A2,分配模式逆转分配模式逆转.在一定条件下在一定条件下理想模理想模式保持排序式保持排序A1,A2.新新方案加入方案加入时时,只要只要它对每个准则的权重都不它对每个准则的权重都不超过原超过原方案方案,用用理想模式理想模式计算原计算原方案的排序保持方案的排序保持不变不变,用用分配模式分配模式计算原计算原方案的
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