苏教版高中数学选择性必修一第5章习题课《含参数的函数的最大(小)值》教案及课件.zip
习题课含参数的函数的最大习题课含参数的函数的最大(小小)值值学习目标 1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题一、求含参数的函数的最值例 1已知函数 f(x)x3ax2a2x.求函数 f(x)在0，)上的最小值解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.当 a0 时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数所以 f(x)minf(a)a3.当 a0 时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以 f(x)minf(0)0.当 a0 时，f(x)的最小值为a3；当 a0 时，f(x)的最小值为 0；当 a0 时，求函数 f(x)x3ax2a2x 在a,2a上的最值解f(x)(3xa)(xa)(a0)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.所以 f(x)在a，a3上是增函数，在(a3，a)上是减函数，在a,2a上是增函数因为 f(a)a3，f(a3)527a3，f(a)a3，f(2a)2a3.所以 f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于 0、小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练 1已知 aR，函数 f(x)x2(13xa)，求 f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)13x3ax2，则 f(x)x22ax.令 f(x)0，解得 x10，x22a.令 g(a)f(x)max，当 2a0，即 a0 时，f(x)在0,2上是增函数，从而 g(a)f(x)maxf(2)834a.当 2a2，即 a1 时，f(x)在0,2上是减函数，从而 g(a)f(x)maxf(0)0.当 02a2，即 0a0，且当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得 a2.当 af(1)，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题跟踪训练 2已知函数 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令 h(x)0，得 x13，x21，当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当 x3 时，h(x)取极大值 28；当 x1 时，h(x)取极小值4.而 h(2)3h(3)28，如果 h(x)在区间k,2上的最大值为 28，则 k3.所以 k 的取值范围为(，3三、与最值有关的探究性问题例 3已知 f(x)axln x，aR.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数 a，使 f(x)在区间(0，e上的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解(1)当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11xx1x，所求切线的斜率为 f(2)12，切点为(2,2ln 2)，所求切线的方程为 y(2ln 2)12(x2)，即 x2y22ln 20.(2)假设存在实数 a，使 f(x)axln x 在区间(0，e上的最小值是 3，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)在(0，e上是减函数，故 f(x)minf(e)ae13，解得 a4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数 a；当 01a1e时，f(x)在(0，1a)上是减函数，在(1a，e上是增函数，故 f(x)minf(1a)1ln a3，解得 ae2，满足条件；当1ae，即 00 时，令 f(x)0，得 xa3或 x0，令 f(x)0，得 0 xa3，即函数 f(x)在(，0)和(a3，)上是增函数，在(0，a3)上是减函数；当 a0，得 x0 或 xa3，令 f(x)0，得a3x0 时，函数 f(x)在(，0)和(a3，)上是增函数，在(0，a3)上是减函数；当 a0 时，函数 f(x)在0，a3上是减函数，在(a3，)上是增函数；当a31，即 a3 时，函数 f(x)在0，1 上是减函数，f(x)的最大值为 f(0)1，最小值为 f(1)2a11，解得 a4，满足题意；当 0a31，即 0a3，不符合题意综上可得，a 的值为 4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值(2)由最值求参数的值或取值范围(3)与最值有关的探究性问题2.方法归纳：转化法、分类讨论3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏1 已知函数 f(x)ax3c，且 f(1)6，函数在1,2上的最大值为 20，则 c 的值为()A1 B4 C1 D0答案B解析由题意得，f(x)3ax2，则 f(1)3a6，解得 a2，所以 f(x)6x20，故 f(x)在1,2上是增函数，则 f(2)223c20，解得 c4.2函数 f(x)xaex的最大值为()Aa B.(a1)e Ce1a Dea1答案D解析f(x)xaex，则 f(x)1xaex，所以当 x0，当 x1a 时，f(x)0)在1，)上的最大值为33，则 a 的值为()A.31 B.34 C.43 D.31答案A解析由 f(x)xx2a，得 f(x)ax2(x2a)2，当 a1 时，若 xa，则 f(x)0，f(x)单调递减，若 1x0，f(x)单调递增，故当 xa时，函数 f(x)有最大值12a33，解得 a341，不符合题意当 a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数，最大值为 f(1)12，不符合题意当 0a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数此时最大值为 f(1)1a133，解得 a31，符合题意故 a 的值为31.4 已知函数 f(x)2x36x2a 在2,2上有最小值37，则 a 的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_答案33解析f(x)6x212x6x(x2)由 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值 a8a所以当 x2 时，f(x)min40a37，所以 a3.所以当 x0 时，f(x)取得最大值 3.课时对点练课时对点练1若函数 f(x)asin x13sin 3x 在 x3处有最值，则 a 等于()A2 B1 C.233 D0答案A解析f(x)在 x3处有最值，x3是函数 f(x)的极值点又 f(x)acos xcos 3x，f(3)acos 3cos 0，解得 a2.2若函数 yx332x2m 在2,1上的最大值为92，则 m 等于()A0 B1 C2 D.52答案C解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0 时，y0，当2x1 或 0 x0，所以函数 yx332x2m 在(2，1)，(0,1)上是增函数，在(1,0)上是减函数，又当 x1时，ym12，当 x1 时，ym52，所以最大值为 m5292，解得 m2.3函数 f(x)3xx3在0，m上的最大值为 2，最小值为 0，则实数 m 的取值范围为()A1，3 B1，)C(1，3 D(1，)答案A解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令 f(x)0，则 x1 或 x1(舍去)，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故函数 f(x)单调递增，不存在最大值；当 a0 时，令 f(x)0,得 x1a，当 x(0，1a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(1a，)时，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B(，1)C1，)D(，1答案A解析f(x)ex1，令 f(x)0，解得 x0，令 f(x)0，解得 x0 恒成立，则 1a0，解得 a1，故选 A.6(多选)函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的值可以为()A0 B.13 C.12 D1答案BC解析f(x)3x23a，且 f(x)0 有解，ax2.又x(0,1)，0a0，则令 f(x)0，解得 xa.因为 x0,1，所以只考虑 xa的情况若 0a1，即 0a1，则当 xa时，f(x)有最大值 f(a)2aa.(如下表所示)x0(0，a)a(a，1)1f(x)0f(x)02aa3a1若a1，即 a1，则当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0,1上是增函数，当 x1 时，f(x)有最大值 f(1)3a1.综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0，当 0a3)上的最小值解(1)f(x)2ex(x2)，由 f(x)0，得 x2；由 f(x)0，得 x3，t12.当3t2 时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)minf(2)2e2.当 t2 时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1)f(x)minError!Error!11 若存在 x1e，e，使得不等式 2xln xx2mx30 成立，则实数 m 的最大值为()A.1e3e2 B.3ee2C4 De21答案A解析2xln xx2mx30，m2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x，则 h(x)2x13x2(x3)(x1)x2，当1ex1 时，h(x)0，h(x)单调递减，当 10，h(x)单调递增存在 x1e，e，m2ln xx3x成立，mh(x)max，h(1e)21e3e，h(e)2e3e，h(1e)h(e).m1e3e2.12已知函数 f(x)sin(2x6)x22mx 在0，6上是减函数，则实数 m 的最小值是()A3 B32 C.32 D.3答案D解析由 f(x)sin(2x6)x22mx 在0，6上是减函数，得 f(x)2cos(2x6)xm0(x 0，6)，即 2cos(2x6)xm(x 0，6)，令 g(x)2cos(2x6)x(x 0，6)，则 g(x)4sin(2x6)1(x 0，6)，当 x0，6时，62x62，则 24sin(2x6)4，所以54sin(2x6)13，即 g(x)0，则x00，即 ln x1，解得 xe，令 h(x)0，即 ln x1，解得 0 x12)，当 x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值为_答案1解析由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a，当 0 x0；当1ax2 时，f(x)1)，若对于任意的 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a的值为_答案4解析由题意得，f(x)3ax23，当 a1 时，令 f(x)3ax230，解得 xaa，aa1,1当1x0，f(x)单调递增；当aaxaa时，f(x)0，f(x)单调递减；当aa0，f(x)单调递增所以只需 f(aa)0，且 f(1)0 即可，由 f(aa)0，得 a(aa)33aa10，解得 a4，由 f(1)0，可得 a4，综上可得 a4.16已知函数 f(x)ln xax.(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，e上的最小值是32，求 a 的值解函数 f(x)ln xax的定义域为(0，)，f(x)1xax2xax2，(1)a0，故函数在(0，)上是增函数f(x)的增区间为(0，)，无减区间(2)当 x1，e时，分如下情况讨论：当 a1 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是32相矛盾；当 1ae 时，函数 f(x)在1，a)上有 f(x)0，f(x)单调递增，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a132，得 ae；当 ae 时，显然函数 f(x)在1，e上是减函数，其最小值为 f(e)1ae2，与最小值是32相矛盾综上所述，a 的值为e.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件含参数的函数的最大含参数的函数的最大(小小)值值一、求含参数的函数的最值一、求含参数的函数的最值例1已知函数f(x)x3ax2a2x.求函数f(x)在0，)上的最小值.解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，当a0时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数.所以f(x)minf(a)a3.当a0时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以f(x)minf(0)0.综上所述，当a0时，f(x)的最小值为a3；当a0时，f(x)的最小值为0；延伸探究当a0时，求函数f(x)x3ax2a2x在a,2a上的最值.解f(x)(3xa)(xa)(a0)，在a,2a上是增函数.f(a)a3，f(2a)2a3.所以f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练1已知aR，函数f(x)，求f(x)在区间0,2上的最大值.令f(x)0，解得x10，x22a.令g(a)f(x)max，当2a0，即a0时，f(x)在0,2上是增函数，当2a2，即a1时，f(x)在0,2上是减函数，从而g(a)f(x)maxf(0)0.当02a2，即0a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟跟踪踪训训练练2已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，h(x)取极大值28；当x1时，h(x)取极小值4.而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.所以k的取值范围为(，3.三、与最值有关的探究性问题三、与最值有关的探究性问题解当a1时，f(x)xlnx，即x2y22ln20.例3已知f(x)axlnx，aR.(1)当a1时，求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解假设存在实数a，使f(x)axlnx在区间(0，e上的最小值是3，当a0时，f(x)在(0，e上是减函数，故f(x)minf(e)ae13，所以此时不存在符合题意的实数a.综上，存在实数ae2，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练跟踪训练3已知函数f(x)2x3ax21.(1)讨论f(x)的单调性；当a0时，f(x)6x20恒成立，函数f(x)在R上是增函数；综上所述，当a0时，函数f(x)在R上是增函数；(2)是否存在a，使得f(x)在区间0,1上的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.解存在，理由如下：由(1)可得，当a0时，函数f(x)在0,1上是增函数.解得a4，满足题意；综上可得，a的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值.(2)由最值求参数的值或取值范围.(3)与最值有关的探究性问题.2.方法归纳：转化法、分类讨论.3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知函数f(x)ax3c，且f 6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为A.1B.4C.1D.0解析由题意得，f(x)3ax2，则f(1)3a6，解得a2，所以f(x)6x20，故f(x)在1,2上是增函数，则f(2)223c20，解得c4.1234所以当x0，当x1a时，f(x)0，所以f(x)在(，1a)上是增函数，在(1a，)上是减函数，1234123412341234当a1时，函数f(x)在1，)上是减函数，当0a1时，函数f(x)在1，)上是减函数.12344.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，则a的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_.331234解析f(x)6x212x6x(x2).由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取得最大值3.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又f(x)acosxcos3x，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0时，y0，当2x1或0 x0，12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)3xx3在0，m上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令f(x)0，则x1或x1(舍去)，当0 x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.已知函数f(x)exxa，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是A.(1，)B.(，1)C.1，)D.(，1解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的值可以为解析f(x)3x23a，且f(x)0有解，ax2.又x(0,1)，0a0，得x2；由f(x)0，得x3)上的最小值.解由(1)，知f(x)在(2，)上是增函数，在(，2)上是减函数.t3，t12.当3t2时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)minf(2)2e2.当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用解析2xlnxx2mx30，当10，h(x)单调递增.12345678910 11 12 13 14 15 16mh(x)max，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即g(x)0，则x00，即lnx1，解得xe，令h(x)0，即lnx1，解得0 x1)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.412345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意得，f(x)3ax23，当a1时，令f(x)3ax230，12345678910 11 12 13 14 15 16由f(1)0，可得a4，综上可得a4.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；a0，故函数在(0，)上是增函数.f(x)的增区间为(0，)，无减区间.12345678910 11 12 13 14 15 16解当x1，e时，分如下情况讨论：当a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，函数f(x)的最小值为f(a)lna1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当ae时，显然函数f(x)在1，e上是减函数，
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习题课含参数的函数的最大习题课含参数的函数的最大(小小)值值学习目标 1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题一、求含参数的函数的最值例 1已知函数 f(x)x3ax2a2x.求函数 f(x)在0，)上的最小值解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.当 a0 时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数所以 f(x)minf(a)a3.当 a0 时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以 f(x)minf(0)0.当 a0 时，f(x)的最小值为a3；当 a0 时，f(x)的最小值为 0；当 a0 时，求函数 f(x)x3ax2a2x 在a,2a上的最值解f(x)(3xa)(xa)(a0)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.所以 f(x)在a，a3上是增函数，在(a3，a)上是减函数，在a,2a上是增函数因为 f(a)a3，f(a3)527a3，f(a)a3，f(2a)2a3.所以 f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于 0、小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练 1已知 aR，函数 f(x)x2(13xa)，求 f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)13x3ax2，则 f(x)x22ax.令 f(x)0，解得 x10，x22a.令 g(a)f(x)max，当 2a0，即 a0 时，f(x)在0,2上是增函数，从而 g(a)f(x)maxf(2)834a.当 2a2，即 a1 时，f(x)在0,2上是减函数，从而 g(a)f(x)maxf(0)0.当 02a2，即 0a0，且当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得 a2.当 af(1)，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题跟踪训练 2已知函数 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令 h(x)0，得 x13，x21，当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当 x3 时，h(x)取极大值 28；当 x1 时，h(x)取极小值4.而 h(2)3h(3)28，如果 h(x)在区间k,2上的最大值为 28，则 k3.所以 k 的取值范围为(，3三、与最值有关的探究性问题例 3已知 f(x)axln x，aR.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数 a，使 f(x)在区间(0，e上的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解(1)当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11xx1x，所求切线的斜率为 f(2)12，切点为(2,2ln 2)，所求切线的方程为 y(2ln 2)12(x2)，即 x2y22ln 20.(2)假设存在实数 a，使 f(x)axln x 在区间(0，e上的最小值是 3，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)在(0，e上是减函数，故 f(x)minf(e)ae13，解得 a4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数 a；当 01a1e时，f(x)在(0，1a)上是减函数，在(1a，e上是增函数，故 f(x)minf(1a)1ln a3，解得 ae2，满足条件；当1ae，即 00 时，令 f(x)0，得 xa3或 x0，令 f(x)0，得 0 xa3，即函数 f(x)在(，0)和(a3，)上是增函数，在(0，a3)上是减函数；当 a0，得 x0 或 xa3，令 f(x)0，得a3x0 时，函数 f(x)在(，0)和(a3，)上是增函数，在(0，a3)上是减函数；当 a0 时，函数 f(x)在0，a3上是减函数，在(a3，)上是增函数；当a31，即 a3 时，函数 f(x)在0，1 上是减函数，f(x)的最大值为 f(0)1，最小值为 f(1)2a11，解得 a4，满足题意；当 0a31，即 0a3，不符合题意综上可得，a 的值为 4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值(2)由最值求参数的值或取值范围(3)与最值有关的探究性问题2.方法归纳：转化法、分类讨论3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏1 已知函数 f(x)ax3c，且 f(1)6，函数在1,2上的最大值为 20，则 c 的值为()A1 B4 C1 D0答案B解析由题意得，f(x)3ax2，则 f(1)3a6，解得 a2，所以 f(x)6x20，故 f(x)在1,2上是增函数，则 f(2)223c20，解得 c4.2函数 f(x)xaex的最大值为()Aa B.(a1)e Ce1a Dea1答案D解析f(x)xaex，则 f(x)1xaex，所以当 x0，当 x1a 时，f(x)0)在1，)上的最大值为33，则 a 的值为()A.31 B.34 C.43 D.31答案A解析由 f(x)xx2a，得 f(x)ax2(x2a)2，当 a1 时，若 xa，则 f(x)0，f(x)单调递减，若 1x0，f(x)单调递增，故当 xa时，函数 f(x)有最大值12a33，解得 a341，不符合题意当 a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数，最大值为 f(1)12，不符合题意当 0a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数此时最大值为 f(1)1a133，解得 a31，符合题意故 a 的值为31.4 已知函数 f(x)2x36x2a 在2,2上有最小值37，则 a 的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_答案33解析f(x)6x212x6x(x2)由 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值 a8a所以当 x2 时，f(x)min40a37，所以 a3.所以当 x0 时，f(x)取得最大值 3.课时对点练课时对点练1若函数 f(x)asin x13sin 3x 在 x3处有最值，则 a 等于()A2 B1 C.233 D0答案A解析f(x)在 x3处有最值，x3是函数 f(x)的极值点又 f(x)acos xcos 3x，f(3)acos 3cos 0，解得 a2.2若函数 yx332x2m 在2,1上的最大值为92，则 m 等于()A0 B1 C2 D.52答案C解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0 时，y0，当2x1 或 0 x0，所以函数 yx332x2m 在(2，1)，(0,1)上是增函数，在(1,0)上是减函数，又当 x1时，ym12，当 x1 时，ym52，所以最大值为 m5292，解得 m2.3函数 f(x)3xx3在0，m上的最大值为 2，最小值为 0，则实数 m 的取值范围为()A1，3 B1，)C(1，3 D(1，)答案A解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令 f(x)0，则 x1 或 x1(舍去)，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故函数 f(x)单调递增，不存在最大值；当 a0 时，令 f(x)0,得 x1a，当 x(0，1a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(1a，)时，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B(，1)C1，)D(，1答案A解析f(x)ex1，令 f(x)0，解得 x0，令 f(x)0，解得 x0 恒成立，则 1a0，解得 a1，故选 A.6(多选)函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的值可以为()A0 B.13 C.12 D1答案BC解析f(x)3x23a，且 f(x)0 有解，ax2.又x(0,1)，0a0，则令 f(x)0，解得 xa.因为 x0,1，所以只考虑 xa的情况若 0a1，即 0a1，则当 xa时，f(x)有最大值 f(a)2aa.(如下表所示)x0(0，a)a(a，1)1f(x)0f(x)02aa3a1若a1，即 a1，则当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0,1上是增函数，当 x1 时，f(x)有最大值 f(1)3a1.综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0，当 0a3)上的最小值解(1)f(x)2ex(x2)，由 f(x)0，得 x2；由 f(x)0，得 x3，t12.当3t2 时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)minf(2)2e2.当 t2 时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1)f(x)minError!Error!11 若存在 x1e，e，使得不等式 2xln xx2mx30 成立，则实数 m 的最大值为()A.1e3e2 B.3ee2C4 De21答案A解析2xln xx2mx30，m2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x，则 h(x)2x13x2(x3)(x1)x2，当1ex1 时，h(x)0，h(x)单调递减，当 10，h(x)单调递增存在 x1e，e，m2ln xx3x成立，mh(x)max，h(1e)21e3e，h(e)2e3e，h(1e)h(e).m1e3e2.12已知函数 f(x)sin(2x6)x22mx 在0，6上是减函数，则实数 m 的最小值是()A3 B32 C.32 D.3答案D解析由 f(x)sin(2x6)x22mx 在0，6上是减函数，得 f(x)2cos(2x6)xm0(x 0，6)，即 2cos(2x6)xm(x 0，6)，令 g(x)2cos(2x6)x(x 0，6)，则 g(x)4sin(2x6)1(x 0，6)，当 x0，6时，62x62，则 24sin(2x6)4，所以54sin(2x6)13，即 g(x)0，则x00，即 ln x1，解得 xe，令 h(x)0，即 ln x1，解得 0 x12)，当 x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值为_答案1解析由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a，当 0 x0；当1ax2 时，f(x)1)，若对于任意的 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a的值为_答案4解析由题意得，f(x)3ax23，当 a1 时，令 f(x)3ax230，解得 xaa，aa1,1当1x0，f(x)单调递增；当aaxaa时，f(x)0，f(x)单调递减；当aa0，f(x)单调递增所以只需 f(aa)0，且 f(1)0 即可，由 f(aa)0，得 a(aa)33aa10，解得 a4，由 f(1)0，可得 a4，综上可得 a4.16已知函数 f(x)ln xax.(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，e上的最小值是32，求 a 的值解函数 f(x)ln xax的定义域为(0，)，f(x)1xax2xax2，(1)a0，故函数在(0，)上是增函数f(x)的增区间为(0，)，无减区间(2)当 x1，e时，分如下情况讨论：当 a1 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是32相矛盾；当 1ae 时，函数 f(x)在1，a)上有 f(x)0，f(x)单调递增，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a132，得 ae；当 ae 时，显然函数 f(x)在1，e上是减函数，其最小值为 f(e)1ae2，与最小值是32相矛盾综上所述，a 的值为e.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件含参数的函数的最大含参数的函数的最大(小小)值值一、求含参数的函数的最值一、求含参数的函数的最值例1已知函数f(x)x3ax2a2x.求函数f(x)在0，)上的最小值.解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，当a0时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数.所以f(x)minf(a)a3.当a0时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以f(x)minf(0)0.综上所述，当a0时，f(x)的最小值为a3；当a0时，f(x)的最小值为0；延伸探究当a0时，求函数f(x)x3ax2a2x在a,2a上的最值.解f(x)(3xa)(xa)(a0)，在a,2a上是增函数.f(a)a3，f(2a)2a3.所以f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练1已知aR，函数f(x)，求f(x)在区间0,2上的最大值.令f(x)0，解得x10，x22a.令g(a)f(x)max，当2a0，即a0时，f(x)在0,2上是增函数，当2a2，即a1时，f(x)在0,2上是减函数，从而g(a)f(x)maxf(0)0.当02a2，即0a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟跟踪踪训训练练2已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，h(x)取极大值28；当x1时，h(x)取极小值4.而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.所以k的取值范围为(，3.三、与最值有关的探究性问题三、与最值有关的探究性问题解当a1时，f(x)xlnx，即x2y22ln20.例3已知f(x)axlnx，aR.(1)当a1时，求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解假设存在实数a，使f(x)axlnx在区间(0，e上的最小值是3，当a0时，f(x)在(0，e上是减函数，故f(x)minf(e)ae13，所以此时不存在符合题意的实数a.综上，存在实数ae2，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练跟踪训练3已知函数f(x)2x3ax21.(1)讨论f(x)的单调性；当a0时，f(x)6x20恒成立，函数f(x)在R上是增函数；综上所述，当a0时，函数f(x)在R上是增函数；(2)是否存在a，使得f(x)在区间0,1上的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.解存在，理由如下：由(1)可得，当a0时，函数f(x)在0,1上是增函数.解得a4，满足题意；综上可得，a的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值.(2)由最值求参数的值或取值范围.(3)与最值有关的探究性问题.2.方法归纳：转化法、分类讨论.3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知函数f(x)ax3c，且f 6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为A.1B.4C.1D.0解析由题意得，f(x)3ax2，则f(1)3a6，解得a2，所以f(x)6x20，故f(x)在1,2上是增函数，则f(2)223c20，解得c4.1234所以当x0，当x1a时，f(x)0，所以f(x)在(，1a)上是增函数，在(1a，)上是减函数，1234123412341234当a1时，函数f(x)在1，)上是减函数，当0a1时，函数f(x)在1，)上是减函数.12344.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，则a的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_.331234解析f(x)6x212x6x(x2).由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取得最大值3.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又f(x)acosxcos3x，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0时，y0，当2x1或0 x0，12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)3xx3在0，m上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令f(x)0，则x1或x1(舍去)，当0 x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.已知函数f(x)exxa，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是A.(1，)B.(，1)C.1，)D.(，1解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的值可以为解析f(x)3x23a，且f(x)0有解，ax2.又x(0,1)，0a0，得x2；由f(x)0，得x3)上的最小值.解由(1)，知f(x)在(2，)上是增函数，在(，2)上是减函数.t3，t12.当3t2时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)minf(2)2e2.当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用解析2xlnxx2mx30，当10，h(x)单调递增.12345678910 11 12 13 14 15 16mh(x)max，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即g(x)0，则x00，即lnx1，解得xe，令h(x)0，即lnx1，解得0 x1)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.412345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意得，f(x)3ax23，当a1时，令f(x)3ax230，12345678910 11 12 13 14 15 16由f(1)0，可得a4，综上可得a4.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；a0，故函数在(0，)上是增函数.f(x)的增区间为(0，)，无减区间.12345678910 11 12 13 14 15 16解当x1，e时，分如下情况讨论：当a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，函数f(x)的最小值为f(a)lna1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当ae时，显然函数f(x)在1，e上是减函数，
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