苏教版高中数学选择性必修一第5章习题课《函数的存在性问题与恒成立问题》教案及课件.zip

习题课函数的存在性问题与恒成立问题习题课函数的存在性问题与恒成立问题学习目标 1.了解利用导数研究函数的存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决有关的存在性问题和恒成立问题一、函数的恒成立问题例 1设函数 f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)2tm 对 t(0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当 xt 时，f(x)取最小值 f(t)t3t1，即 h(t)t3t1.(2)令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由 g(t)3t230，得 t1 或 t1(舍去)当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如表所示：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对 t(0,2)，当 t1 时，g(t)max1m，h(t)2tm 对 t(0,2)恒成立，等价于 g(t)0 对 t(0,2)恒成立，只需 g(t)max1m1.故实数 m 的取值范围是(1，)反思感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练 1设函数 f(x)2x39x212x8c.(1)若对任意的 x0,3，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值范围；(2)若对任意的 x(0,3)，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值范围解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2)，当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(2,3)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x1 时，f(x)取极大值 f(1)58c.又 f(3)98cf(1)，当 x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c.对任意的 x0,3，有 f(x)c2恒成立，98cc2，即 c1 或 c9，c 的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知 f(x)f(3)98c，98cc2，即 c1 或 c9，c 的取值范围为(，19，)二、函数的存在性问题例 2已知函数 f(x)ln xx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(x)f(x)x，求证：g(x)1；(3)设 h(x)f(x)x22ax4a21，若存在 x0使得 h(x0)0，求 a 的最大值(1)解因为 f(x)ln xx，所以 f(x)1ln xx2.令 f(x)0，即 1ln x0，解得 0 xe；令 f(x)0，即 1ln xe，所以 f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，)(2)证明因为 f(x)ln xx，所以 g(x)ln xxx，所以 g(x)1ln xx211ln xx2x2，令 t(x)1ln xx2，则 t(x)1x2x0，g(x)0；当 x(1，)时，t(x)0，g(x)12时，由(2)可知，ln xxx1，即ln xxx1.所以 h(x)xx22ax4a2(x2a12)2(2a12)24a23a2a142a16a140，h(x)0，即不存在 x0使得 h(x0)0.综上所述，a 的最大值为12.反思感悟存在性问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化，若存在 x，使得 f(x)成立f(x)min；若存在 x，使得 f(x)成立f(x)max.跟踪训练 2已知函数 f(x)xln xaxb(a，bR)在点(1，f(1)处的切线为 3xy20.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若存在实数 m，使得 m2m10，故 h(x)在1x1,4上是增函数，h(x)h(1)1.要存在实数 m，使得 m2m1fxx在 x14，1时成立，只要 m2m1fxxmax1 即可，解得1m0 在1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围是()Aa1 Ba1Ca4答案D解析由题意知，不等式 x32xax32x，令 g(x)x32x，则 g(x)3x220 在1,2上恒成立，因此 g(x)maxg(2)4，故 a4.3已知函数 f(x)x22ln x，若关于 x 的不等式 f(x)m0 在1，e上有实数解，则实数 m的取值范围是()A(，e22)B(，e22C(，1 D(，1)答案B解析由题意可知，存在 x1，e，使得 mf(x)，则 mf(x)max.f(x)x22ln x，f(x)2x2x2x22x2x1x1x，当 x1，e时，f(x)0，函数 f(x)在区间1，e上是增函数，则 f(x)maxf(e)e22，me22，因此实数 m 的取值范围是(，e224(多选)定义在(0，)上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，且(x1)f(x)f(x)5B若 f(1)2，x1，则 f(x)x212x12Cf(3)2f(1)7D若 f(1)2,0 xx212x12答案CD解析设函数 g(x)fxx2x1，则 g(x)fx2xx1fxx2x12x1fxfxx22xx12，因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以 g(x)g(2)g(3)，整理得 2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故 A 错误，C 正确；当 0 xg(1)12，即fxx2x112，即 f(x)x212x12，故 D 正确，B 不正确二、填空题5若不等式 exkx 对任意实数 x 恒成立，则实数 k 的最大值为_答案e解析不等式 exkx 对任意实数 x 恒成立，即 f(x)exkx0 恒成立，即 f(x)min0.f(x)exk，当 k0 时，可得 f(x)0 恒成立，f(x)单调递增，无最小值当 k0 时，xln k 时，f(x)0，f(x)单调递增；xln k 时，f(x)0，f(x)单调递减即当 xln k 时，f(x)取得最小值，最小值为 kkln k，由 kkln k0，解得 01 在区间(1，)内恒成立，则实数 a 的取值范围为_答案1，)解析由 f(x)1，得 axln x1，x1，原不等式转化为 a1ln xx，设 g(x)ln x1x，得 g(x)ln xx2，当 x(1，)时，g(x)0，则 g(x)在(1，)上是减函数，则 g(x)1ln xx在(1，)上恒成立，a1.三、解答题7已知函数 f(x)xaex，其中 aR，e 是自然对数的底数(1)当 a1 时，求函数 f(x)在区间0，)上的零点个数；(2)若 f(x)2 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)x1ex，则 f(x)11ex0，f(x)在0，)上是增函数，又 f(0)10，故x0(0,1)，使得 f(x0)0，函数 f(x)在区间0，)上有 1 个零点(2)若 f(x)2 对任意的实数 x 恒成立，即 aex(2x)恒成立，令 g(x)ex(2x)，则 g(x)ex(1x)，令 g(x)0，得 x1；令 g(x)1，g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，g(x)maxg(1)e，a 的取值范围为(e，)8已知函数 f(x)ex2ax(aR)(1)若 a12，求函数 f(x)的单调区间；(2)当 x2,3时，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)当 a12时，f(x)exx，f(x)ex1，令 f(x)0，得 x0；令 f(x)0，得 x0；令 f(x)0，得 x0 恒成立g(x)在2,3上是增函数，g(x)ming(2)e22，2ae22，即 ae24，故实数 a 的取值范围为(，e24.9已知函数 f(x)(xa)ex，其中 a 为常数(1)若函数 f(x)在区间1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)e3xex在 x0,1时恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)由 f(x)(xa)ex，得 f(x)(xa1)ex，函数 f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)(xa1)ex0 在区间1，)上恒成立，即 ax1 在区间1，)上恒成立，当 x1，)时，x1(，0，a0.即实数 a 的取值范围是0，)(2)f(x)e3xex在 x0,1时恒成立，等价于 ae3x2x 在 x0,1时恒成立，令 g(x)e3x2x，则 ag(x)max，g(x)e3x20，g(x)在0,1上是减函数，g(x)在区间0,1上的最大值 g(x)maxg(0)e3，ae3，即实数 a 的取值范围是e3，)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件函数的存在性问题与恒成立函数的存在性问题与恒成立问题问题一、函数的恒成立问题一、函数的恒成立问题例1设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0).(1)求f(x)的最小值h(t)；解f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(舍去).当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如表所示：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，等价于g(t)0对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，).反思感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.跟踪训练1设函数f(x)2x39x212x8c.(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；解f(x)6x218x126(x1)(x2)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2,3)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，1)(9，).(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).二、函数的存在性问题二、函数的存在性问题(1)求函数f(x)的单调区间；令f(x)0，即1ln x0，解得0 xe；令f(x)0，即1ln xe，所以f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，).(2)设g(x)f(x)x，求证：g(x)1；所以t(x)1ln xx2在(0，)上是减函数，因为t(1)1ln 1120，所以当x(0,1)时，t(x)0，g(x)0；当x(1，)时，t(x)0，g(x)0，h(x)0，故m的取值范围为(1,2).1.知识清单：(1)函数中的存在性问题.(2)函数中的恒成立问题.2.方法归纳：转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区：分离参数后检验等号是否能成立.课堂小结课堂小结课时对点练课时对点练一、选择题1.若函数f(x)x24xbln x在(0，)上是减函数，则b的取值范围是A.(，2 B.(，2)C.(2，)D.2，)解析f(x)x24xbln x在(0，)上是减函数，f(x)0在(0，)上恒成立，2x24x2(x1)222，b2.123456789123456789A.a1 B.a1C.a4解析由题意知，不等式x32xax32x，令g(x)x32x，则g(x)3x220在1,2上恒成立，因此g(x)maxg(2)4，故a4.1234567893.已知函数f(x)x22ln x，若关于x的不等式f(x)m0在1，e上有实数解，则实数m的取值范围是A.(，e22)B.(，e22C.(，1 D.(，1)123456789解析由题意可知，存在x1，e，使得mf(x)，则mf(x)max.f(x)x22ln x，当x1，e时，f(x)0，函数f(x)在区间1，e上是增函数，则f(x)maxf(e)e22，me22，因此实数m的取值范围是(，e22.1234567894.(多选)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)5C.f(3)2f(1)7123456789因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以g(x)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正确；当0 x0恒成立，f(x)单调递增，无最小值.当k0时，xln k时，f(x)0，f(x)单调递增；xln k时，f(x)0，f(x)单调递减.即当xln k时，f(x)取得最小值，最小值为kkln k，由kkln k0，解得01在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_.1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(1，)上是减函数，则g(x)2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.解若f(x)2对任意的实数x恒成立，即aex(2x)恒成立，令g(x)ex(2x)，则g(x)ex(1x)，令g(x)0，得x1；令g(x)1，g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，g(x)maxg(1)e，a的取值范围为(e，).1234567898.已知函数f(x)ex2ax(aR).令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0，所以函数f(x)exx的增区间为(0，)，减区间为(，0).123456789(2)当x2,3时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解当x2,3时，f(x)ex2ax0恒成立，1234567899.已知函数f(x)(xa)ex，其中a为常数.(1)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；解由f(x)(xa)ex，得f(x)(xa1)ex，函数f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)(xa1)ex0在区间1，)上恒成立，即ax1在区间1，)上恒成立，当x1，)时，x1(，0，a0.即实数a的取值范围是0，).123456789(2)若f(x)e3xex在x0,1时恒成立，求实数a的取值范围.解f(x)e3xex在x0,1时恒成立，等价于ae3x2x在x0,1时恒成立，令g(x)e3x2x，则ag(x)max，g(x)e3x20，g(x)在0,1上是减函数，g(x)在区间0,1上的最大值g(x)maxg(0)e3，ae3，即实数a的取值范围是e3，).123456789