苏教版高中数学选择性必修一第5章5.3.1第1课时《单调性》教案及课件.zip

5.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用5.3.1单调性单调性第第 1 课时单调性课时单调性学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间导语我们知道 f(x)刻画了函数 f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容一、函数的单调性与导数的关系问题观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系提示(1)函数 yx 的定义域为 R，并且在定义域上是增函数，其导数 y10；(2)函数 yx2的定义域为 R，在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数而 y2x，当 x0 时，其导数 y0 时，其导数 y0；当 x0 时，其导数 y0.(3)函数 yx3的定义域为 R，在定义域上为增函数而 y3x2，当 x0 时，其导数 3x20；当 x0 时，其导数 3x20；(4)函数 y1x的定义域为(，0)(0，)，在(，0)上为减函数，在(0，)上为减函数，而 y1x2，因为 x0，所以 y0增函数f(x)0)解(1)因为 f(x)13x3x22x5，所以 f(x)x22x2(x1)210，所以函数 f(x)13x3x22x5 在 R 上是增函数(2)因为 f(x)x1xln x，x(0，)，所以 f(x)11x21xx2x1x2(x12)234x20，所以 f(x)x1xln x 在(0，)上是增函数(3)因为 f(x)xex，x(0，)，所以 f(x)1ex12)；(2)f(x)ln xx(xe)解(1)因为 f(x)x22xaln x，x(0，)，所以 f(x)2x2ax2x22xax，对于 y2x22xa，a12，48a8(12a)0 恒成立，即 f(x)0，所以 f(x)x22xaln x 在 x(0，)上是增函数(2)因为 f(x)ln xx，xe，所以 f(x)xln xxln xx21ln xx20，解得 x33，由 f(x)0，解得 0 x0 得 6x26x360，解得 x2；由 f(x)0 得 6x26x360，解得 3x0，函数在解集与定义域的交集上为增函数(4)解不等式 f(x)0，则 0 x2，令 f(x)0，则 x2，f(x)的减区间为(，0)和(2，)，增区间为(0,2)(2)易知函数的定义域为(，0)(0，)f(x)11x2x21x2x1x1x2，令 f(x)0，则 x1，令 f(x)0，则1x0或 0 x1，函数 f(x)的减区间为(1,0)和(0,1)，增区间为(，1)和(1，)三、由导数的信息画函数的大致图象例 3已知导函数 f(x)的下列信息：当 x7 时，f(x)0；当 0 x7 时，f(x)0；当 x0 或 x7 时，f(x)0，试画出函数 f(x)的大致图象解当 x7 时，f(x)0，可知函数 f(x)在区间(，0)和(7，)上都是增函数；当 0 x7 时，f(x)0，则 f(x)是增函数，f(x)0，则 f(x)是减函数；由原函数图象画导函数图象的依据：若 f(x)是增函数，则 f(x)的图象一定在 x 轴的上方；若f(x)是减函数，则 f(x)的图象一定在 x 轴的下方；若 f(x)是常函数，则 f(x)0.跟踪训练 3(1)已知 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的图象最有可能是图中的()答案D解析由题图可知，当 x2 时，导函数 f(x)0，函数 f(x)是增函数，故函数 f(x)的图象如图 D.(2)若函数 yf(x)图象如图所示，则 yf(x)图象可能是()答案C解析由 yf(x)图象可得：在(，b)上 f(x)0，在(b，)上 f(x)0)，令 f(x)0，即 ln x10，得 x1e.故函数 f(x)的增区间为(1e，).4函数 f(x)x2cos x，x(0，)的减区间是_答案(6，56)解析由 f(x)12sin x12，又 x(0，)，x(6，56).课时对点练课时对点练1已知 f(x)在 R 上是可导函数，yf(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(2，)C(，1)(1，)D(2，1)(1,2)答案C解析因为 f(x)在(，1)，(1，)上是增函数，所以在区间(，1)和(1，)上 f(x)0.2(多选)如图是函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上，f(x)是增函数B在(1,2)上，f(x)是增函数C在(4,5)上，f(x)是增函数D在(3，2)上，f(x)是增函数答案BC解析由题图知当 x(1,2)，x(4,5)时，f(x)0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是增函数，当x(3，2)时，f(x)0，所以在(3，2)上，f(x)是减函数3函数 f(x)x33x21 的减区间为()A(2，)B(，2)C(，0)D(0,2)答案D解析f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 0 x0，f(x)1x414xx，当 f(x)0 时，解得 0 x0)由 f(x)0，可得 x1e；由f(x)0，可得 0 x1e.所以函数 f(x)在(0，1e)上是减函数，在(1e，)上是增函数故选AC.7函数 f(x)(x2x1)ex的减区间为_答案(2，1)解析f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令 f(x)0，解得2x1，所以函数 f(x)的减区间为(2，1)8函数 yf(x)的图象如图所示，f(x)为函数 f(x)的导函数，则不等式fxx0 的解集为_答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当 x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式fxx0；当 x(1,0)时，f(x)0.故 f(x)在(，1)和(0，)上是增函数，在(1,0)上是减函数10已知函数 f(x)ax6x2b的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50.(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的单调区间解(1)因为 f(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程为 x2y50.所以 f(1)12，且12f(1)50，即 f(1)2，即a61b2，又 f(x)ax2b2xax6x2b2，所以a1b2a61b212.由得 a2，b3.(因为 b10，所以 b1 舍去)所以所求函数的解析式是 f(x)2x6x23.(2)由(1)知，f(x)2x212x6x232.令2x212x60，解得 x132 3，x232 3，则当 x32 3时，f(x)0；当 32 3x0.所以 f(x)2x6x23的增区间是(32 3，32 3)；减区间是(，32 3)和(32 3，)11函数 f(x)xcos x 的导函数 f(x)在区间，上的图象大致是()答案A解析因为 f(x)xcos x，所以 f(x)cos xxsin x.因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数，所以函数图象关于 y 轴对称由 f(0)1 可排除 C，D.而 f(1)cos 1sin 10，yxex在(0，)内为增函数13.(多选)已知函数 f(x)的定义域为 R，其导函数 yf(x)的图象如图所示，则对于任意 x1，x2R(x1 x2)，下列结论正确的是()A.(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(x1x22)f(x1)f(x2)2Df(x1x22)f(x1)f(x2)2答案AD解析由题图可知，函数 yf(x)的大致图象如图所示A 选项表示 x1x2与 f(x1)f(x2)异号，即 f(x)图象的割线斜率f(x1)f(x2)x1x2为负，故 A 正确；B 选项表示 x1x2与 f(x1)f(x2)同号，即 f(x)图象的割线斜率f(x1)f(x2)x1x2为正，故 B 不正确；f(x1x22)表示x1x22对应的函数值，即图中点 B 的纵坐标，f(x1)f(x2)2表示当 xx1和 xx2时所对应的函数值的平均值，即图中点 A 的纵坐标，显然有 f(x1x22)0，若 f(1)0，则关于 x 的不等式 xf(x)0，所以 f(x)在(0，)上是增函数，又 f(x)为偶函数，所以 f(1)f(1)0，且 f(x)在(，0)上是减函数，f(x)的草图如图所示，所以 xf(x)0，所以 g(x)在定义域 R 上是增函数，故 B 正确；对于 C，g(x)ex3x(e3)x在定义域 R 上是减函数，C 不正确；对于 D，g(x)excos x，则 g(x)2excos(x4)，g(x)0 在定义域 R 上不恒成立，D 不正确16已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e 为自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求实数 k 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解(1)由 f(x)ln xkex，可得 f(x)1xkln xex.曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，f(1)0，即1ke0，解得 k1.(2)由(1)知，f(x)1xln x1ex(x0)，设 h(x)1xln x1(x0)，则 h(x)1x21x0.可知 h(x)在(0，)上为减函数，由 h(1)0 知，当 0 xh(1)0，故 f(x)0；当 x1 时，h(x)h(1)0，故 f(x)0.综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件单调性单调性我们知道f(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容.导导 语语一、函数的单调性与导数的关系一、函数的单调性与导数的关系问题观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.提示(1)函数yx的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y10；(2)函数yx2的定义域为R，在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数.而y2x，当x0时，其导数y0时，其导数y0；当x0时，其导数y0.(3)函数yx3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y3x2，当x0时，其导数3x20；当x0时，其导数3x20；(4)函数y 的定义域为(，0)(0，)，在(，0)上为减函数，在(0，)上为减函数，而y ，因为x0，所以y0增函数f(x)0，(3)f(x)xex(x0).解因为f(x)xex，x(0，)，所以f(x)1ex0恒成立，即f(x)0，所以f(x)x22xaln x在x(0，)上是增函数.跟踪训练1利用导数判断下列函数的单调性：二、利用导数求函数的单调区间二、利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间.(1)f(x)3x22ln x；解易知函数的定义域为(0，)，(2)f(x)2x33x236x1.解f(x)6x26x36.由f(x)0得6x26x360，解得x2；由f(x)0得6x26x360，解得 3x0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.(4)解不等式f(x)0，则0 x2，令f(x)0，则x2，f(x)的减区间为(，0)和(2，)，增区间为(0,2).令f(x)0，则x1，令f(x)0，则1x0或0 x1，函数f(x)的减区间为(1,0)和(0,1)，增区间为(，1)和(1，).解易知函数的定义域为(，0)(0，).三、由导数的信息画函数的大致图象三、由导数的信息画函数的大致图象例3已知导函数f(x)的下列信息：当x7时，f(x)0；当0 x7时，f(x)0；当x0或x7时，f(x)0，试画出函数f(x)的大致图象.解当x7时，f(x)0，可知函数f(x)在区间(，0)和(7，)上都是增函数；当0 x7时，f(x)0，则f(x)是增函数，f(x)0，则f(x)是减函数；由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)是增函数，则f(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)是减函数，则f(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f(x)0.跟跟踪踪训训练练3(1)已知f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的解析由题图可知，当x2时，导函数f(x)0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.(2)若函数yf(x)图象如图所示，则yf(x)图象可能是解析由yf(x)图象可得：在(，b)上f(x)0，在(b，)上f(x)0)，令f(x)0，123412344.函数f(x)x2cos x，x(0，)的减区间是_.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知f(x)在R上是可导函数，yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为A.(2,0)(2，)B.(，2)(2，)C.(，1)(1，)D.(2，1)(1,2)解析因为f(x)在(，1)，(1，)上是增函数，所以在区间(，1)和(1，)上f(x)0.12345678910 11 12 13 14 15 162.(多选)如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(2,1)上，f(x)是增函数B.在(1,2)上，f(x)是增函数C.在(4,5)上，f(x)是增函数D.在(3，2)上，f(x)是增函数解析由题图知当x(1,2)，x(4,5)时，f(x)0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是增函数，当x(3，2)时，f(x)0，所以在(3，2)上，f(x)是减函数.12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)x33x21的减区间为A.(2，)B.(，2)C.(，0)D.(0,2)解析f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得0 x0，12345678910 11 12 13 14 15 165.已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是解析由yf(x)的图象知，yf(x)为增函数，且在区间(1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)函数f(x)xln x12345678910 11 12 13 14 15 16解析由f(x)xln x，12345678910 11 12 13 14 15 167.函数f(x)(x2x1)ex的减区间为_.解析f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令f(x)0，解得2x1，所以函数f(x)的减区间为(2，1).(2，1)8.函数yf(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_.解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，(3，1)(0,1)12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.判断函数f(x)2x(ex1)x2的单调性.解函数f(x)的定义域为R，f(x)2(ex1xexx)2(ex1)(x1).当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)和(0，)上是增函数，在(1,0)上是减函数.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.(1)求函数yf(x)的解析式；解因为f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.由得a2，b3.(因为b10，所以b1舍去)12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)的单调区间.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为f(x)xcos x，所以f(x)cos xxsin x.因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.由f(0)1可排除C，D.而f(1)cos 1sin 10，yxex在(0，)内为增函数.12345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数yf(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2R ，下列结论正确的是12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题图可知，函数yf(x)的大致图象如图所示.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上是减函数，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确.16.已知函数f(x)(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)的单调区间.可知h(x)在(0，)上为减函数，由h(1)0知，当0 xh(1)0，故f(x)0；当x1时，h(x)h(1)0，故f(x)0.综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，).12345678910 11 12 13 14 15 16