苏教版高中数学选择性必修一第5章5.1.2第1课时《曲线上一点处的切线》教案及课件.zip
5.1.2瞬时变化率瞬时变化率导数导数第第 1 课时曲线上一点处的切线课时曲线上一点处的切线学习目标 1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质一、以直代曲问题 1如图，我们把一条曲线上的任意一点 P 附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点 P 附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想例 1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为 1 尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_答案3 32解析S正六边形6343 32.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想跟踪训练 1已知函数 f(x)的部分图象如图所示若把曲线 AB 近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为_答案32解析若把曲线 AB 近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积 S121332.二、曲线的割线和切线问题 2如图，过 P 作割线 PQ，当点 Q 逐渐向 P 靠近时，有何现象出现？提示割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近该曲线，当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，此时称这条直线 l 为曲线在点 P 处的切线知识梳理名称割线切线斜率设曲线 C 上一点 P(x，f(x)，另一点 Q(xx，f(xx)，则割线 PQ的斜率为 kPQfxxfxx当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，并无限靠近点P 时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率，即当 x 无限趋近于 0 时，fxxfxx无限趋近于点 P(x，f(x)处的切线的斜率例 2已知曲线 yx21 上两点 A(2,3)，B(2x,3y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率是_；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率是_答案54.1解析当 x1 时，割线 AB 的斜率k1yx2x21221x2122215；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率k2yx20.1212210.14.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线跟踪训练 2过曲线 y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_，过两点(0,1)，(12，2)的割线的斜率为_答案12 22解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为 k21101.同理，过两点(0,1)，(12，2)的割线的斜率为 k211202 22.三、切线的斜率例 3已知曲线 y13x343.求曲线在点 P(2,4)处的切线方程解点 P(2,4)在曲线 y13x343上，yx132x34313 2343x4x2x213x3x42x13(x)2，当 x 无限趋近于 0，yx无限趋近于 4，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 4，曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近的常数跟踪训练 3(1)已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则点 P 坐标为_答案(3,30)解析设点 P 坐标为(x0，y0)，则fx0 xfx0 x0 xx02x24x0 x4xx4x042x.当 x 无限趋近于 0 时，4x042x 无限趋近于 4x04，因此 4x0416，即 x03，所以 y023243181230.即点 P 坐标为(3,30)(2)已知曲线 yf(x)3x2x，求曲线在点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程解设 A(1,2)，B(1x，f(1x)，则 kAB31x21x2x53x，当 x 无限趋近于 0 时，53x 无限趋近于 5，所以曲线 y3x2x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5.切线方程为 y25(x1)，即 5xy30.1知识清单：(1)以直代曲(2)曲线的割线和切线(3)求曲线在一点处的切线2方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想3常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想1函数 yf(x)1x在 x1 处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2答案B解析因为 yf(1x)f(1)11x11x1x，所以yx11x，所以当 x 趋近于 0 时，yx趋近于1.故函数 f(x)在 x1 处的切线斜率为1.2抛物线 yx2在点 M(12，14)处的切线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90答案B解析点 M(12，14)在抛物线 yx2上，yx(12x)2(12)2x1x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 1，在点 M(12，14)处的切线的斜率为 1，故倾斜角为 45.3已知曲线 yx3在点(2,8)处的切线斜率为 12a，则实数 a 的值是()A1 B1 C2 D2答案B解析yxfxxfxxxx3x3x3x23xx(x)2，因为当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 3x2，所以曲线在点(2,8)处切线的斜率 k12，所以 12a12，即 a1.4已知曲线 y1x1 上两点 A(2，12)，B(2x，12y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率为_答案16解析由函数的解析式有y(12x1)(121)12x12x22x，则yxx22xx122x.当 x1 时，割线 AB 的斜率为 k122x122116.课时对点练课时对点练1已知函数 f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x02,2x且 x 无限趋近于 0，则在 A 点处的切线斜率近似为()Af(2)Bf(2x)C.f2xf2x Df(x0)答案C解析由两点割线的斜率，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x)在 A 点处的切线斜率近似为f2xf2x.2已知抛物线 y14x2，抛物线上有一点 P(1，14)，Q 是抛物线上点 P 附近的一点，则点 Q的坐标为()A.(1x，14(x)2)B.(x，14(x)2)C.(1x，14(x1)2)D.(x，14(1x)2)答案C解析当 x1x 时，y14(1x)2.3已知函数 f(x)x24 上两点 A，B，xA1，xB1.3，则割线 AB 的斜率为()A2 B2.3 C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kABf1.3f11.315.6950.32.3.4近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间 T 内完成房产供应量任务 Q.已知房产供应量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的5已知点 P(1，1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当 x 无限趋近于 0 时，若 kPQ无限趋近于2，则在点 P 处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案B解析根据题意可知，在点 P 处切线的斜率为2，所以在点 P 处的切线方程为 y12(x1)，整理可得 y2x1.6曲线 y1x在点(12，2)处的切线方程是()Ayx2 Byx12Cy4x4 Dy4x2答案C解析因为 y1xx1xxxxx，所以yx1xxx，当 x 无限接近于 0 时，yx无限接近于1x2，所以函数在点(12，2)处的切线斜率是 k4，所以切线方程为 y24(x12)，即 y4x4.7当 h 无限趋近于 0 时，4h242h无限趋近于_，4h 4h无限趋近于_答案814解析4h242h8hh2h8h，当 h 无限趋近于 0 时，8h 无限趋近于 8.4h 4h4h4h4h 414h 4，当 h 无限趋近于 0 时，14h 4无限趋近于14.8过曲线 yx2上两点 A(2，4)和 B(2x，4y)作割线，当 x0.1 时，割线 AB 的斜率为_答案4.1解析kAByx(x2)222x(x)24xxx4，所以当 x0.1 时，AB 的斜率为 4.1.9求函数 f(x)x2x 的图象在点 A(2，f(2)处切线的方程解设点 B(2x，f(2x)，则割线 AB 的斜率为yxf2xf2x2x22x42x4xxx2x3x，当 x 无限接近于 0 时，函数 f(x)x2x 的图象在点 A(2，f(2)处切线的斜率为 k3，又 f(2)2222，所以切线的方程为 y(2)3(x2)，即 3xy40.10求曲线 y x在点(1,1)处的切线方程解点(1,1)在曲线 y x上，yx1x 1x11x1，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于12，在点(1,1)处切线的斜率为12，在点(1,1)处的切线方程为 y112(x1)，即 x2y10.11已知函数 f(x)x2图象上四点 A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割线 AB，BC，CD 的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk2k1k3Ck3k2k1 Dk1k3k2答案A解析k1f2f121413，k2f3f232945，k3f4f3431697，k1k2k3.12若曲线 yax2在 xa 处的切线与直线 2xy10 平行，则 a 等于()A1 B1 C1 或 1 D12或 1答案A解析根据题意得yxaax2aa2x2a2ax，当 x 无限接近于 0 时，2a22，a1，当 a1 时，yx2，切点是(1,1)，切线的斜率 k2，故切线方程是 y12(x1)，即 2xy10 和直线 2xy10 重合，故 a1.13曲线 yx23x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为()A(2,2)B(2，2)C(2,2)D(2，2)答案B解析设切点坐标为(x0，y0)，yxx0 x23x0 xx2 03x0 xx22x0 x3xxx2x03，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2x03，即 k2x031，解得 x02，y0 x2 03x0462.故切点坐标为(2，2)14曲线 yx33x26x10 的切线中，斜率最小的切线方程为_答案3xy110解析设切点为 P(x0，y0)，在点 P 处的切线斜率为 k，yxx0 x33x0 x26x0 x10 x3 03x2 06x010 x3x2 06x06(x)2(3x03)x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 3x2 06x063(x01)23.所以 k3(x01)23.当 x01 时，k 有最小值 3，此时点 P 的坐标为(1，14)，其切线方程为 3xy110.15若函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a_.答案14解析根据题意，yxaxx21ax21x2axxax2x2axax，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2ax，设切点为(x0，y0)，则 2ax01，且 y0ax2 01，y0 x0，解得 a14.16已知直线 l1为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且 l1l2.(1)求直线 l2的方程；(2)求直线 l1，l2与 x 轴所围成的三角形的面积解(1)yxxx2xx2x2x2x2x1x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2x1，直线 l1的斜率 k13，直线 l1的方程为 y3(x1)，即 y3x3.设直线 l2与曲线 yx2x2 相切于点 P(x0，x2 0 x02)，则直线 l2的方程为 y(x2 0 x02)(2x01)(xx0)l1l2，3(2x01)1，解得 x023.直线 l2的方程为 y13x229，即 3x9y220.(2)解方程组Error!得Error!又直线 l1，l2与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(223，0)，所求三角形的面积为 S12|52|(1223)12512.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质.导导 语语一、以直代曲一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想.例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想.跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为_.解析若把曲线AB近似看成线段，二、曲线的割线和切线二、曲线的割线和切线问题2如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？提示割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.知识梳理知识梳理名称割线切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x)，另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率例2已知曲线yx21上两点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是_；当x0.1时，割线AB的斜率是_.解析当x1时，54.1当x0.1时，反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.跟踪训练跟踪训练2过曲线y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_，过两点(0,1)，的割线的斜率为_.解析由平均变化率的计算公式及几何意义，1三、切线的斜率三、切线的斜率在点P(2,4)处的切线的斜率为4，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数.跟跟踪踪训训练练3(1)已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为_.解析设点P坐标为(x0，y0)，(3,30)当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即点P坐标为(3,30).(2)已知曲线yf(x)3x2x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.解设A(1,2)，B(1x，f(1x)，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.1.知识清单：(1)以直代曲.(2)曲线的割线和切线.(3)求曲线在一点处的切线.2.方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想.3.常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练A.2 B.1 C.1 D.2故函数f(x)在x1处的切线斜率为1.1234A.30 B.45 C.60 D.90123412343.已知曲线yx3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是A.1 B.1 C.2 D.2所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k12，所以12a12，即a1.1234课时对点练课时对点练基础巩固1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x02,2x且x无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为解析由两点割线的斜率，当x无限趋近于0时，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 163.已知函数f(x)x24上两点A，B，xA1，xB1.3，则割线AB的斜率为A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1解析f(1)5，f(1.3)5.69.12345678910 11 12 13 14 15 164.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是12345678910 11 12 13 14 15 16解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知点P 为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于2，则在点P处的切线方程为A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析根据题意可知，在点P处切线的斜率为2，所以在点P处的切线方程为y12(x1)，整理可得y2x1.12345678910 11 12 13 14 15 16C.y4x4 D.y4x212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16812345678910 11 12 13 14 15 16当h无限趋近于0时，8h无限趋近于8.12345678910 11 12 13 14 15 168.过曲线yx2上两点A 和B 作割线，当x0.1时，割线AB的斜率为_.所以当x0.1时，AB的斜率为4.1.4.112345678910 11 12 13 14 15 169.求函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解设点B(2x，f(2x)，当x无限接近于0时，函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的斜率为k3，又f(2)2222，所以切线的方程为y(2)3(x2)，即3xy40.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知函数f(x)x2图象上四点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1k2k3 B.k2k1k3C.k3k2k1 D.k1k3k212345678910 11 12 13 14 15 16k1k2k3.12345678910 11 12 13 14 15 1612.若曲线yax2在xa处的切线与直线2xy10平行，则a等于A.1 B.1 C.1或1 D.或112345678910 11 12 13 14 15 16当x无限接近于0时，2a22，a1，当a1时，yx2，切点是(1,1)，切线的斜率k2，故切线方程是y12(x1)，即2xy10和直线2xy10重合，故a1.13.曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为A.(2,2)B.(2，2)C.(2,2)D.(2，2)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点坐标为(x0，y0)，即k2x031，12345678910 11 12 13 14 15 16故切点坐标为(2，2).12345678910 11 12 13 14 15 1614.曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_.3xy11012345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，3(x01)23.所以k3(x01)23.当x01时，k有最小值3，此时点P的坐标为(1，14)，其切线方程为3xy110.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.若函数yax21的图象与直线yx相切，则a_.解析根据题意，12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；直线l1的斜率k13，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积.
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5.1.2瞬时变化率瞬时变化率导数导数第第 1 课时曲线上一点处的切线课时曲线上一点处的切线学习目标 1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质一、以直代曲问题 1如图，我们把一条曲线上的任意一点 P 附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点 P 附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想例 1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为 1 尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_答案3 32解析S正六边形6343 32.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想跟踪训练 1已知函数 f(x)的部分图象如图所示若把曲线 AB 近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为_答案32解析若把曲线 AB 近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积 S121332.二、曲线的割线和切线问题 2如图，过 P 作割线 PQ，当点 Q 逐渐向 P 靠近时，有何现象出现？提示割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近该曲线，当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，此时称这条直线 l 为曲线在点 P 处的切线知识梳理名称割线切线斜率设曲线 C 上一点 P(x，f(x)，另一点 Q(xx，f(xx)，则割线 PQ的斜率为 kPQfxxfxx当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，并无限靠近点P 时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率，即当 x 无限趋近于 0 时，fxxfxx无限趋近于点 P(x，f(x)处的切线的斜率例 2已知曲线 yx21 上两点 A(2,3)，B(2x,3y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率是_；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率是_答案54.1解析当 x1 时，割线 AB 的斜率k1yx2x21221x2122215；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率k2yx20.1212210.14.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线跟踪训练 2过曲线 y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_，过两点(0,1)，(12，2)的割线的斜率为_答案12 22解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为 k21101.同理，过两点(0,1)，(12，2)的割线的斜率为 k211202 22.三、切线的斜率例 3已知曲线 y13x343.求曲线在点 P(2,4)处的切线方程解点 P(2,4)在曲线 y13x343上，yx132x34313 2343x4x2x213x3x42x13(x)2，当 x 无限趋近于 0，yx无限趋近于 4，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 4，曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近的常数跟踪训练 3(1)已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则点 P 坐标为_答案(3,30)解析设点 P 坐标为(x0，y0)，则fx0 xfx0 x0 xx02x24x0 x4xx4x042x.当 x 无限趋近于 0 时，4x042x 无限趋近于 4x04，因此 4x0416，即 x03，所以 y023243181230.即点 P 坐标为(3,30)(2)已知曲线 yf(x)3x2x，求曲线在点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程解设 A(1,2)，B(1x，f(1x)，则 kAB31x21x2x53x，当 x 无限趋近于 0 时，53x 无限趋近于 5，所以曲线 y3x2x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5.切线方程为 y25(x1)，即 5xy30.1知识清单：(1)以直代曲(2)曲线的割线和切线(3)求曲线在一点处的切线2方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想3常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想1函数 yf(x)1x在 x1 处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2答案B解析因为 yf(1x)f(1)11x11x1x，所以yx11x，所以当 x 趋近于 0 时，yx趋近于1.故函数 f(x)在 x1 处的切线斜率为1.2抛物线 yx2在点 M(12，14)处的切线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90答案B解析点 M(12，14)在抛物线 yx2上，yx(12x)2(12)2x1x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 1，在点 M(12，14)处的切线的斜率为 1，故倾斜角为 45.3已知曲线 yx3在点(2,8)处的切线斜率为 12a，则实数 a 的值是()A1 B1 C2 D2答案B解析yxfxxfxxxx3x3x3x23xx(x)2，因为当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 3x2，所以曲线在点(2,8)处切线的斜率 k12，所以 12a12，即 a1.4已知曲线 y1x1 上两点 A(2，12)，B(2x，12y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率为_答案16解析由函数的解析式有y(12x1)(121)12x12x22x，则yxx22xx122x.当 x1 时，割线 AB 的斜率为 k122x122116.课时对点练课时对点练1已知函数 f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x02,2x且 x 无限趋近于 0，则在 A 点处的切线斜率近似为()Af(2)Bf(2x)C.f2xf2x Df(x0)答案C解析由两点割线的斜率，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x)在 A 点处的切线斜率近似为f2xf2x.2已知抛物线 y14x2，抛物线上有一点 P(1，14)，Q 是抛物线上点 P 附近的一点，则点 Q的坐标为()A.(1x，14(x)2)B.(x，14(x)2)C.(1x，14(x1)2)D.(x，14(1x)2)答案C解析当 x1x 时，y14(1x)2.3已知函数 f(x)x24 上两点 A，B，xA1，xB1.3，则割线 AB 的斜率为()A2 B2.3 C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kABf1.3f11.315.6950.32.3.4近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间 T 内完成房产供应量任务 Q.已知房产供应量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的5已知点 P(1，1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当 x 无限趋近于 0 时，若 kPQ无限趋近于2，则在点 P 处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案B解析根据题意可知，在点 P 处切线的斜率为2，所以在点 P 处的切线方程为 y12(x1)，整理可得 y2x1.6曲线 y1x在点(12，2)处的切线方程是()Ayx2 Byx12Cy4x4 Dy4x2答案C解析因为 y1xx1xxxxx，所以yx1xxx，当 x 无限接近于 0 时，yx无限接近于1x2，所以函数在点(12，2)处的切线斜率是 k4，所以切线方程为 y24(x12)，即 y4x4.7当 h 无限趋近于 0 时，4h242h无限趋近于_，4h 4h无限趋近于_答案814解析4h242h8hh2h8h，当 h 无限趋近于 0 时，8h 无限趋近于 8.4h 4h4h4h4h 414h 4，当 h 无限趋近于 0 时，14h 4无限趋近于14.8过曲线 yx2上两点 A(2，4)和 B(2x，4y)作割线，当 x0.1 时，割线 AB 的斜率为_答案4.1解析kAByx(x2)222x(x)24xxx4，所以当 x0.1 时，AB 的斜率为 4.1.9求函数 f(x)x2x 的图象在点 A(2，f(2)处切线的方程解设点 B(2x，f(2x)，则割线 AB 的斜率为yxf2xf2x2x22x42x4xxx2x3x，当 x 无限接近于 0 时，函数 f(x)x2x 的图象在点 A(2，f(2)处切线的斜率为 k3，又 f(2)2222，所以切线的方程为 y(2)3(x2)，即 3xy40.10求曲线 y x在点(1,1)处的切线方程解点(1,1)在曲线 y x上，yx1x 1x11x1，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于12，在点(1,1)处切线的斜率为12，在点(1,1)处的切线方程为 y112(x1)，即 x2y10.11已知函数 f(x)x2图象上四点 A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割线 AB，BC，CD 的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk2k1k3Ck3k2k1 Dk1k3k2答案A解析k1f2f121413，k2f3f232945，k3f4f3431697，k1k2k3.12若曲线 yax2在 xa 处的切线与直线 2xy10 平行，则 a 等于()A1 B1 C1 或 1 D12或 1答案A解析根据题意得yxaax2aa2x2a2ax，当 x 无限接近于 0 时，2a22，a1，当 a1 时，yx2，切点是(1,1)，切线的斜率 k2，故切线方程是 y12(x1)，即 2xy10 和直线 2xy10 重合，故 a1.13曲线 yx23x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为()A(2,2)B(2，2)C(2,2)D(2，2)答案B解析设切点坐标为(x0，y0)，yxx0 x23x0 xx2 03x0 xx22x0 x3xxx2x03，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2x03，即 k2x031，解得 x02，y0 x2 03x0462.故切点坐标为(2，2)14曲线 yx33x26x10 的切线中，斜率最小的切线方程为_答案3xy110解析设切点为 P(x0，y0)，在点 P 处的切线斜率为 k，yxx0 x33x0 x26x0 x10 x3 03x2 06x010 x3x2 06x06(x)2(3x03)x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 3x2 06x063(x01)23.所以 k3(x01)23.当 x01 时，k 有最小值 3，此时点 P 的坐标为(1，14)，其切线方程为 3xy110.15若函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a_.答案14解析根据题意，yxaxx21ax21x2axxax2x2axax，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2ax，设切点为(x0，y0)，则 2ax01，且 y0ax2 01，y0 x0，解得 a14.16已知直线 l1为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且 l1l2.(1)求直线 l2的方程；(2)求直线 l1，l2与 x 轴所围成的三角形的面积解(1)yxxx2xx2x2x2x2x1x，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于 2x1，直线 l1的斜率 k13，直线 l1的方程为 y3(x1)，即 y3x3.设直线 l2与曲线 yx2x2 相切于点 P(x0，x2 0 x02)，则直线 l2的方程为 y(x2 0 x02)(2x01)(xx0)l1l2，3(2x01)1，解得 x023.直线 l2的方程为 y13x229，即 3x9y220.(2)解方程组Error!得Error!又直线 l1，l2与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(223，0)，所求三角形的面积为 S12|52|(1223)12512.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质.导导 语语一、以直代曲一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想.例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想.跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为_.解析若把曲线AB近似看成线段，二、曲线的割线和切线二、曲线的割线和切线问题2如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？提示割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.知识梳理知识梳理名称割线切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x)，另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率例2已知曲线yx21上两点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是_；当x0.1时，割线AB的斜率是_.解析当x1时，54.1当x0.1时，反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.跟踪训练跟踪训练2过曲线y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_，过两点(0,1)，的割线的斜率为_.解析由平均变化率的计算公式及几何意义，1三、切线的斜率三、切线的斜率在点P(2,4)处的切线的斜率为4，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数.跟跟踪踪训训练练3(1)已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为_.解析设点P坐标为(x0，y0)，(3,30)当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即点P坐标为(3,30).(2)已知曲线yf(x)3x2x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.解设A(1,2)，B(1x，f(1x)，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.1.知识清单：(1)以直代曲.(2)曲线的割线和切线.(3)求曲线在一点处的切线.2.方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想.3.常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练A.2 B.1 C.1 D.2故函数f(x)在x1处的切线斜率为1.1234A.30 B.45 C.60 D.90123412343.已知曲线yx3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是A.1 B.1 C.2 D.2所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k12，所以12a12，即a1.1234课时对点练课时对点练基础巩固1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x02,2x且x无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为解析由两点割线的斜率，当x无限趋近于0时，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 163.已知函数f(x)x24上两点A，B，xA1，xB1.3，则割线AB的斜率为A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1解析f(1)5，f(1.3)5.69.12345678910 11 12 13 14 15 164.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是12345678910 11 12 13 14 15 16解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知点P 为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于2，则在点P处的切线方程为A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析根据题意可知，在点P处切线的斜率为2，所以在点P处的切线方程为y12(x1)，整理可得y2x1.12345678910 11 12 13 14 15 16C.y4x4 D.y4x212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16812345678910 11 12 13 14 15 16当h无限趋近于0时，8h无限趋近于8.12345678910 11 12 13 14 15 168.过曲线yx2上两点A 和B 作割线，当x0.1时，割线AB的斜率为_.所以当x0.1时，AB的斜率为4.1.4.112345678910 11 12 13 14 15 169.求函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解设点B(2x，f(2x)，当x无限接近于0时，函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的斜率为k3，又f(2)2222，所以切线的方程为y(2)3(x2)，即3xy40.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知函数f(x)x2图象上四点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1k2k3 B.k2k1k3C.k3k2k1 D.k1k3k212345678910 11 12 13 14 15 16k1k2k3.12345678910 11 12 13 14 15 1612.若曲线yax2在xa处的切线与直线2xy10平行，则a等于A.1 B.1 C.1或1 D.或112345678910 11 12 13 14 15 16当x无限接近于0时，2a22，a1，当a1时，yx2，切点是(1,1)，切线的斜率k2，故切线方程是y12(x1)，即2xy10和直线2xy10重合，故a1.13.曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为A.(2,2)B.(2，2)C.(2,2)D.(2，2)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点坐标为(x0，y0)，即k2x031，12345678910 11 12 13 14 15 16故切点坐标为(2，2).12345678910 11 12 13 14 15 1614.曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_.3xy11012345678910 11 12 13 14 15 16解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，3(x01)23.所以k3(x01)23.当x01时，k有最小值3，此时点P的坐标为(1，14)，其切线方程为3xy110.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.若函数yax21的图象与直线yx相切，则a_.解析根据题意，12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；直线l1的斜率k13，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积.
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