苏教版高中数学选择性必修一第5章5.2.3《简单复合函数的导数》教案及课件.zip

5.2.3简单复合函数的导数简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数一、复合函数概念的理解问题 1函数 yln(2x1)是如何构成的？提示yln(2x1)，其中的 2x1“占据”了对数函数 yln x 中 x 的位置，f(x)ln x，而 f(2x1)ln(2x1)，这里有代入、代换的思想，则函数 yln(2x1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)注意点：内、外层函数通常为基本初等函数例 1(多选)下列哪些函数是复合函数()Ayxln x By(3x6)2Cyesin x Dysin(12x3)答案BCD解析A 不是复合函数；BCD 都是复合函数反思感悟若 f(x)与 g(x)均为基本初等函数，则函数 yf(g(x)或函数 yg(f(x)均为复合函数，而 f(x)，g(x)不是复合函数跟踪训练 1(多选)下列哪些函数是复合函数()Aylog2(2x1)By2x21xCy2ln x Dycos(3x6)答案ACD二、求复合函数的导数问题 2如何求函数 ysin 2x 的导数？提示y2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y2cos2x2sin2x2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数 ysin u，它的导数 ycos u，内层函数是幂函数的线性组合 u2x，它的导数是 u2，发现 yxyuux.知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若 yf(u)，uaxb，则 yxyuux，即 yxyua.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导例 2求下列函数的导数：(1)y113x4；(2)ycos(2x3)；(3)ylog2(2x1)；(4)ye3x2.解(1)令 u13x，则 y1u4u4，所以 yu4u5，ux3.所以 yxyuux12u51213x5.(2)令 u2x3，则 ycos u，所以 yxyuuxsin u22sin(2x3).(3)设 ylog2u，u2x1，则 yxyuux2uln 222x1ln 2.(4)设 yeu，u3x2，则 yx(eu)(3x2)3eu3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练 2求下列函数的导数：(1)y112x；(2)y5log2(1x)；(3)ysin(4x6).解(1)y121 2()x，设 y12u，u12x，则 yx12(1)2(ux3221()2u 321 2()x.(2)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数，所以 yxyuux5(log2u)(1x)5uln 25x1ln 2.(3)设 ysin u，u4x6，则 yx(sin u)(4x6)cos u44cos(4x6).三、复合函数的导数的应用例 3已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线为 l，若 l 与圆 C：x2y214相切，求 a 的值解f(x)a(x2)212x(2x)2ax22x，f(1)2a2，又 f(1)a2ln 1a，切线 l 的方程为 ya2(a1)(x1)，即 2(a1)xya20.直线 l 与圆 C：x2y214相切，圆心(0,0)到直线 l 的距离为12，|2a|4a12112，解得 a118.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键跟踪训练 3曲线 yf(x)e2xcos 3x 在点(0,1)处的切线与平行直线 l 的距离为5，求直线 l的方程解ye2xcos 3x 的导数为 y2e2xcos 3x(3sin 3x)e2xe2x(2cos 3x3sin 3x)曲线在点(0,1)处的切线斜率为 e0(2cos 03sin 0)2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为 y2x1，设直线 l：y2xt，由 d|t1|145，解得 t6 或4.则直线 l 的方程为 y2x6 或 y2x4.1.知识清单：(1)复合函数的概念(2)复合函数的求导法则(3)复合函数的导数的应用2.方法归纳：转化法3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化1(多选)函数 y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n D.tx21,ytn答案AD2已知函数 f(x)ln(ax1)的导函数是 f(x)，且 f(2)2，则实数 a 的值为()A.12 B.23 C.34 D1答案B解析求导得 f(x)aax1，则 f(2)a2a12，解得 a23.3设 f(x)ln(3x2)3x2，则 f(0)等于()A1 B.32 C1 D2答案B解析f(x)33x26x，故 f(0)32032.4设曲线 yeax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_.答案2解析易知 yaeax，kae0a，故 a(12)1，则 a2.课时对点练课时对点练1(多选)下列函数是复合函数的是()Ayx31x1 Bycos(x4)Cy1ln x Dy(2x3)4答案BCD解析A 不是复合函数，B，C，D 均是复合函数，其中 B 由 ycos u，ux4复合而成；C 由 y1u，uln x 复合而成；D 由 yu4，u2x3 复合而成2设 f(x)log3(x1)，则 f(2)等于()Aln 3 Bln 3 C.1ln 3 D1ln 3答案C解析f(x)1x1ln 3，故 f(2)1ln 3.3函数 yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5)x2x5 Bln(2x5)2x2x5C2xln(2x5)D.x2x5答案B解析yxln(2x5)，yln(2x5)2x2x5.4函数 yf(x)x(1ax)2(a0)，且 f(2)5，则 a 等于()A1 B1 C2 D2答案A解析y(1ax)22ax(1ax)，则 f(2)12a28a15(a0)，解得 a1(舍负)5曲线 y2xex2在点(2,4)处切线的斜率等于()A2e Be C6 D2答案C解析y2xex2，y2ex22xex2，k2e04e06，故选 C.6(多选)下列结论中不正确的是()A若 ycos 1x，则 y1xsin 1xB若 ysin x2，则 y2xcos x2C若 ycos 5x，则 ysin 5xD若 y12xsin 2x，则 yxsin 2x答案ACD解析对于 A，ycos 1x，则 y1x2sin 1x，故错误；对于 B，ysin x2，则 y2xcos x2，故正确；对于 C，ycos 5x，则 y5sin 5x，故错误；对于 D，y12xsin 2x，则 y12sin 2xxcos 2x，故错误7已知 f(x)xln x，若 f(x0)f(x0)1，则 x0的值为_答案1解析因为 f(x)ln x1.所以由 f(x0)f(x0)1，得 ln x01x0ln x01.解得 x01.8已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为_答案2解析设直线 yx1 切曲线 yln(xa)于点(x0，y0)，则 y01x0，y0ln(x0a)，又曲线的导数为 y1xa，k1x0a1，即 x0a1.又 y0ln(x0a)，y00，x01，a2.9求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；(2)y102x3；(3)y11x2；(4)ysin 2xcos 3x.解(1)令 uexx2，则 yln u.yxyuux1u(exx2)1exx2(ex2x)ex2xexx2.(2)令 u2x3，则 y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.(3)设 y12u，u1x2，则 yx122()1)ux223321()21().2uxxx(4)ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.10曲线 ye2x1在点(12，1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为5，求直线 l 的方程解因为 ye2x1，所以 y2e2x1，所以 k2，故曲线在点(12，1)处的切线方程为 2xy20，设直线 l 的方程为 2xym0(m2)，由|m2|55得，m7 或3，所以直线 l 的方程为 2xy70 或 2xy30.11曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为()A.13 B.12C.23 D1答案A解析依题意得ye2x(2)2e2x，k2e202.所以曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线方程是 y22x，即 y2x2.在平面直角坐标系中作出直线 y2x2，y0 与 yx 的图象，如图所示因为直线 y2x2 与 yx 的交点坐标是(23，23)，直线 y2x2 与 x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为1212313.12曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是()A.5 B25 C35 D0答案A解析设曲线 yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线 2xy30 平行y22x1，k22x012，解得 x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线 2xy30 的距离为 d|203|415，即曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是5.13(多选)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值可以是()A.4 B.2 C.34 D.78答案CD解析因为 y4ex1，所以 y4exex124exe2x2ex14ex1ex2.因为 ex0，所以 ex1ex2(当且仅当 x0 时取等号)，所以 y1,0)，所以 tan 1,0)又因为 0，)，所以 34，).14设函数 f(x)cos(3x)(0)，若 f(x)f(x)是奇函数，则 _.答案6解析f(x)3sin(3x)，f(x)f(x)cos(3x)3sin(3x)，令 g(x)cos(3x)3sin(3x)，其为奇函数，g(0)0，即 cos 3sin 0，tan 33，又 0，6.15若曲线 y14sin 2x32cos2x 在 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为()A.3 B.2 C.23 D答案B解析y14sin 2x32cos2x14sin 2x321cos 2x212sin(2x3)34，ycos(2x3)，曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是 1，一个是1.不妨设在 A 点处切线的斜率为 1，则有 2x132k1(k1Z)，2x232k2(k2Z)，则可得 x1x2(k1k2)2k2(kZ)，所以|x1x2|min2.16(1)已知 f(x)exsin x，求 f(x)及 f(12)；(2)在曲线 y11x2上求一点，使在该点的切线平行于 x 轴，并求切线方程解(1)f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)f(12)2e(sin 2cos 2)2e.(2)设切点坐标为 P(x0，y0)，由题意可知 k0.又 y2x1x22，k2x01x2 020.解得 x00，此时 y01.即切点坐标为 P(0,1)，切线方程为 y10.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件简单复合函数的导数简单复合函数的导数同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.导导 语语一、复合函数概念的理解一、复合函数概念的理解问题1函数yln(2x1)是如何构成的？提示yln(2x1)，其中的2x1“占据”了对数函数ylnx中x的位置，f(x)lnx，而f(2x1)ln(2x1)，这里有代入、代换的思想，则函数yln(2x1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.知识梳理知识梳理例1(多选)下列哪些函数是复合函数A.yxlnxB.y(3x6)2解析A不是复合函数；BCD都是复合函数.反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数yf(g(x)或函数yg(f(x)均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数.跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数二、求复合函数的导数二、求复合函数的导数问题2如何求函数ysin2x的导数？提示y2sinxcosx，由两个函数相乘的求导法则可知：y2cos2x2sin2x2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数ysinu，它的导数ycosu，内层函数是幂函数的线性组合u2x，它的导数是u2，发现yxyuux.复合函数的求导法则一般地，我们有，若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yx_.注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.知识梳理知识梳理yua例2求下列函数的导数：所以yu4u5，ux3.(3)ylog2(2x1)；解设ylog2u，u2x1，(4)ye3x2.解设yeu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3eu3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.跟踪训练跟踪训练2求下列函数的导数：解y，设y，u12x，则yx(2)y5log2(1x)；解函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x)三、复合函数的导数的应用三、复合函数的导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值.f(1)2a2，又f(1)a2ln1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即2(a1)xya20.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟跟踪踪训训练练3曲线yf(x)e2xcos3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为，求直线l的方程.解ye2xcos3x的导数为y2e2xcos3x(3sin3x)e2xe2x(2cos3x3sin3x).曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0(2cos03sin0)2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y2x1，解得t6或4.则直线l的方程为y2x6或y2x4.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是A.yun，ux21B.y(u1)n，ux2C.ytn，t(x21)nD.tx21,ytn123412342.已知函数 f(x)ln(ax1)的导函数是 f(x)，且 f(2)2，则实数 a的值为12343.设f(x)ln(3x2)3x2，则f(0)等于12344.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析易知yaeax，kae0a，2课时对点练课时对点练基础巩固1.(多选)下列函数是复合函数的是解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，D由yu4，u2x3复合而成.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.设f(x)log3(x1)，则f(2)等于12345678910 11 12 13 14 15 163.函数yxln(2x5)的导数为12345678910 11 12 13 14 15 164.函数yf(x)x(1ax)2(a0)，且f(2)5，则a等于A.1B.1C.2D.2解析y(1ax)22ax(1ax)，则f(2)12a28a15(a0)，解得a1(舍负).12345678910 11 12 13 14 15 165.曲线y2xex2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2eB.eC.6D.2解析y2xex2，y2ex22xex2，k2e04e06，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)下列结论中不正确的是12345678910 11 12 13 14 15 16对于B，ysinx2，则y2xcosx2，故正确；对于C，ycos5x，则y5sin5x，故错误；12345678910 11 12 13 14 15 167.已知f(x)xlnx，若f(x0)f(x0)1，则x0的值为_.解析因为f(x)lnx1.所以由f(x0)f(x0)1，得lnx01x0lnx01.解得x01.112345678910 11 12 13 14 15 168.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，2又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.12345678910 11 12 13 14 15 169.求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；解令uexx2，则ylnu.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)y102x3；解令u2x3，则y10u，yxyuux10uln10(2x3)2ln10102x3.12345678910 11 12 13 14 15 16解设y，u1x2，则yx12345678910 11 12 13 14 15 16解ysin2xcos3x，y(sin2x)cos3xsin2x(cos3x)2cos2xcos3x3sin2xsin3x.(4)ysin2xcos3x.12345678910 11 12 13 14 15 1610.曲线ye2x1在点处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程.解因为ye2x1，所以y2e2x1，所以k2，设直线l的方程为2xym0(m2)，所以直线l的方程为2xy70或2xy30.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为解析依题意得ye2x(2)2e2x，k2e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在平面直角坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示.直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是解析设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行.解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是因为ex0，所以y1,0)，所以tan1,0).又因为0，)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.其为奇函数，又0，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.若曲线y在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为12345678910 11 12 13 14 15 16曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是1.不妨设在A点处切线的斜率为1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)exsinx，f(x)exsinxexcosxex(sinxcosx).解设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知k0.解得x00，此时y01.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y10.12345678910 11 12 13 14 15 16