MathsSPA19 2019年全国高中数学联合竞赛试题（B卷）.docx

1、2019 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分1. 已知实数集合1, 2, 3, x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的 值为rrr2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m+1 ) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模为 3. 设 a, b (0, p) ，cosa, cos b 是方程 5x2 -3x -1= 0 的两根，则 sin a sin b 的 值为4. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为

2、5. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为 6. 设整数 n 4 ，的展开式中 xn-4 与 xy 两项的系数相等,则 n的值为 7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点(a, b) 满足 b2 4a ，则 r 的最小值为8. 设等差数列an的各项均为整数，首项 a1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 a1+ a2 +L+ an = am 这样的数列an 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文

3、字说明、证明过 程或演算步骤9.（本题满分 16 分）在椭圆 G 中， F 为一个焦点， A, B 为两个顶点若FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值10. （本题满分 20 分）设 a, b, c 均大于 1，满足lg a + logb c = 3, lg b + loga c = 4.求 lg a lg c 的最大值11. （本题满分 20 分）设复数数列zn 满足： z1 = 1 ，且对任意正整数 n ，n+1n n+1n均有 4z2 + 2z z+ z2 = 0 证明：对任意正整数 m ，均有2 3z1 + z2 +L+ zm 32019 年全国高中数学联合竞赛加试（B

4、 卷） 一、（本题满分 40 分）设正实数 a1, a2 , L, a100 满足 ai a101-i (i = 1, 2, L, 50) 记 .证明：.二、（本题满分 40 分）求满足以下条件的所有正整数 n ：(1)n 至少有 4 个正约数；(2) 若 d1 d2 L dk 是 n 的所有正约数，则 d2 - d1, d3 - d2 , L, dk - dk -1 构 成等比数列三、（本题满分 50 分）如图，点 A, B, C, D, E 在一条直线上顺次排列，满足 BC=CD=点 P 在该直线外，满足 PB = PD 点 K, L 分别在线段PB, PD 上，满足 KC 平分 BKE ， LC 平分 ALD 证明： A, K, L, E 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）PKLABCDE四、（本题满分 50 分）将一个凸 2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三 种颜色之一，每种颜色的边各 673 条证明：可作这个凸 2019 边形的 2016 条在 内部互不相交的对角线将其剖分成 2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者 颜色互不相同