MathsSPA13 2013年全国高中数学联合竞赛试题.docx

1、2013年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设集合,集合，则集合中所有元素的和为 2、在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点，则与的面积之比为 3、在中，已知，则的值为 4、已知正三棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径为 5、设为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 6、从中任取个不同的数，其中至少有个是相邻数的概率为 7、若实数满足，则实数的取值范围为 8、已知数列共有项，其中，且对每个，均有则这样的数列的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）给定正数数

2、列满足，这里，证明：存在常数，使得，10、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上不同于的任意一点.若平面中有两个点满足,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明。11、（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意的实数均有。2013年全国高中数学联合竞赛二试一、（本题满分40分）如图所示，是圆的一条弦，为弧内一点，为线段上两点，满足.连接并延长，与圆分别相交于点.求证：（解题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）给定正整数，数列的定义如下：，对整数，记（），证明：数列中有无穷多项完全平方数。三、（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为，求的最大可能值。四、（本题满分50分）设为大于的整数，证明：存在个不被整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除。