MathsSPA16 2016年全国高中数学联合竞赛试题.docx

1、2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设实数满足，则实数的取值范围为 2、设复数，满足，其中是虚数单位，分别表示复数，的共轭复数，则的模为 3、正实数，均不等于，若，则的值为 4、袋子中装有张元纸币和张元纸币，袋子中装有张元纸币和张元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则中剩下的纸币面值之和大于中剩下的纸币面值之和的概率为 5、设为圆锥曲线的顶点，是其地面圆周上的三点，满足，为线段的中点。若，则二面角的大小为 6、设函数，其中是一个正整数。若对任意实数，均有，则的最小值为 7、双曲线的方程为，左右焦点分别为、，过点作一直线与双曲线

2、的右半支交于点、，使得，则的内切圆半径是 8、设是中的个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）在中，已知，求的最大值。10、（本题满分20分）已知是上的奇函数，且对任意，均有。求的值。11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的一个动点。设为焦点，为顶点作抛物线。设是第一象限内抛物线上的一点，是轴负半轴上的一点，使得为抛物线的切线，且，圆，均与直线相切于点，且均与轴相切。求点的坐标，使得圆与的面积之和取到最小值。2016年全国高中数学联合竞赛二试（A卷）一、（本题满分40分）设实数满足（）.求的最大值。二、（本题满分40分）如图所示，在中，是直线上两点（顺序排列），使得,设，的外心分别为,，直线与，分别交于点.证明：是等腰三角形。三、（本题满分50分）给定空间个点，其中任意四点不在一个平面上。将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。四、（本题满分50分）设与均是素数，数列定义为，这里表示不小于实数的最小整数。证明：对，均有成立