MathsSPA17 2017年全国高中数学联合竞赛试题（A卷）.docx

1、2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设是定义在上函数，对任意的实数有，又当时，则的值为 2、若实数满足，则的取值范围为 3、在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，是的焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积最大值为 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是 5、正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 6、在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为的概率为 7、在中，为边的中点，是线段的中点，若，的面积为，则的最小值为 8、设

2、两个严格递增的正整数数列，满足，对任意正整数，有， ，则的所有可能值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明：。10、（本题满分20分）设是非负实数，满足，求的最小值和最大值。11、（本题满分20分）设复数满足，且，（其中表示复数的实部）求的最小值；求的最小值。2017年全国高中数学联合竞赛二试（A卷）一、（本题满分40分）如图所示，在中，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与、分别交于点、（不同于点）。设与交于点。证明：（答题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）设数列定义为，求满足的正整数的个数三、（本题满分50分）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不同，则称他们的公共边为“分割边”。试求分割边条数的最小值。四、（本题满分50分）。设均是大于的整数，是个不超过的互不相同的正整数，且互素。证明：对任意实数，均存在一个（），使得，这里表示实数到它最近的整数的距离。