MathsSPA14 2014年全国高中数学联合竞赛试题.docx

1、2014年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、若正数、满足，则的值为 2、设集合中最大元素与最小元素分别为，则的值为 3、若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 4、数列满足，（）则 5、正四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离为 6、设椭圆的两个焦点、，过点的直线与交于点，若且，则椭圆的短轴与长轴的比值为 7、设等边三角形的内切圆半径为，圆心为。若点满足，则与的面积之比最大值为 8、设是空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连

2、接的概率为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上的一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与直线，轴的交点分别为。证明：是一个定点；求的最小值。10、（本题满分20分）数列满足，（）求正整数，使得。11、（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意的复数（，）均有。2014年全国高中数学联合竞赛二试一、（本题满分40分）设实数满足，.证明：。二、（本题满分40分）如图所示，锐角中，过点分别作的外接圆的切线，且满足。直线与的延长线分别交于点，设与交于点,与交于点，证明：。三、（本题满分50分）设，求最大的整数，使得有个互不相同的非空子集，具有性质：对这个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。四、（本题满分50分）设整数模互不同余，若整数模也互不同余，证明：可将重新排列为，使得：模互不同余。