苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.2第2课时《等比数列的判定与简单应用》教案及课件.zip

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第第 2 课时等比数列的判定与简单应用课时等比数列的判定与简单应用学习目标 1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法一、等比数列的通项公式与函数的关系问题 1观察等比数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?提示由 ana1qn1a1qqn可知,当 q0 且 q1 时,等比数列an的第 n 项 an是指数型函数 f(x)a1qqx(xR)当 xn 时的函数值,即 anf(n)知识梳理 等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当 q0 且 q1 时,等比数列an的第 n 项 an是指数型函数 f(x)a1qqx(xR)当 xn 时的函数值,即 anf(n)(2)任意指数型函数 f(x)kax(k,a 是常数,k0,a0 且 a1),则 f(1)ka,f(2)ka2,f(n)kan,构成一个等比数列kan,其首项为 ka,公比为 a.注意点:(1)a10,q1 时,数列an为正项的递增等比数列;(2)a10,0q1 时,数列an为正项的递减等比数列;(3)a11 时,数列an为负项的递减等比数列;(4)a10,0q1时,数列an为负项的递增等比数列;(5)q1 时,数列an为常数列;(6)q1”是“数列an是递增数列”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析当 a11 时,数列an为递减数列,即充分性不成立;当“数列an是递增数列”时,可能是 a10,0q1”是“数列an是递增数列”的既不充分又不必要条件延伸探究1.若an为等比数列,则“a1a3a5”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若等比数列an是递增数列,可得 a1a3a5一定成立;反之:例如数列1n12n,此时满足 a1a3a5,但数列an不是递增数列,所以“a1a3a5”是“数列an是递增数列”的必要不充分条件2设an是等比数列,则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析设等比数列an的公比为 q,则 a10,解得Error!Error!或Error!Error!此时数列an不一定是递增数列;若数列an为递增数列,可得Error!Error!或Error!Error!所以“a11,a10 或 0q1,a11,a10 或 0q0 时,an是递减数列(3)当 q1 时,an是常数列;当 qan1,a43,a172,Error!Error!q13a17a423,则a5a18a1q4a1q171q1332.二、等比数列的判定与证明问题 2若数列an的前三项成等比数列,能说明这个数列是等比数列吗?提示不能,要证明一个数列是等比数列,一定要体现出任意性知识梳理 证明等比数列的方法1定义法:anan1q(nN*且 n2,q 为不为 0 的常数);2等比中项法:a2 nan1an1(nN*且 n2 且 an0);3通项公式法:ana1qn1.注意点:用定义法证明时,anan1和an1an中的 n 的范围不同例 2已知数列an的前 n 项和为 Sn,Sn13(an1)(nN*)(1)求 a1,a2;(2)求证:数列an是等比数列(1)解由 S113(a11),得 a113(a11),a112.又 S213(a21),即 a1a213(a21),得 a214.(2)证明当 n2 时,anSnSn113(an1)13(an11),得anan112.又 a112,所以an是首项为12,公比为12的等比数列反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法:若数列an满足an1anq(nN*,q 为常数且不为零)或anan1q(n2,且 nN*,q为常数且不为零),则数列an是等比数列(2)通项公式法:若数列an的通项公式为 ana1qn1(a10,q0),则数列an是等比数列(3)等比中项法:若 a2n1anan2(nN*且 an0),则数列an为等比数列跟踪训练 2数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 a11,an1n2nSn(n1,2,3,)证明:数列Snn是等比数列证明由 a11,an1n2nSn,得 an0,Sn0.由 an1n2nSn,an1Sn1Sn,得(n2)Snn(Sn1Sn),整理,得 nSn12(n1)Sn,所以Sn1n12Snn,则Sn1n1Snn2.因为S11a111,所以数列Snn是以 1 为首项,2 为公比的等比数列三、等比数列中项的设法例 3有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为 216,后三个数成等差数列,且它们的和为 12,求这四个数解方法一设前三个数分别为aq,a,aq,则aqaaq216,所以 a3216.所以 a6.因此前三个数为6q,6,6q.由题意知第 4 个数为 12q6.所以 66q12q612,解得 q23.故所求的四个数为 9,6,4,2.方法二设后三个数为 4d,4,4d,则第一个数为14(4d)2,由题意知14(4d)2(4d)4216,解得 4d6.所以 d2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.反思感悟几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq,a,aq.推广到一般:奇数个数成等比数列设为,aq2,aq,a,aq,aq2,(2)四个符号相同的数成等比数列设为aq3,aq,aq,aq3.推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为,aq5,aq3,aq,aq,aq3,aq5,(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为 a,aq,aq2,aq3.跟踪训练 3有四个数成等比数列,将这四个数分别减去 1,1,4,13 成等差数列,则这四个数的和是_答案45解析设这四个数分别为 a,aq,aq2,aq3,则 a1,aq1,aq24,aq313 成等差数列即Error!Error!整理得Error!Error!解得 a3,q2.因此这四个数分别是 3,6,12,24,其和为 45.1知识清单:(1)等比数列与函数的关系(2)等比数列的判定与证明(3)等比数列中项的设法2方法归纳:定义法、分类讨论3常见误区:四个数成等比数列时设成aq3,aq,aq,aq3,未考虑公比为负的情况1已知等比数列an的公比为 q,首项 a10,则“q1”是“等比数列an为递减数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若 q0.若 a10,则 ana1qn10,由 an1an,所以 q0,等比数列an为递减数列0q0,“q1”是“等比数列an为递减数列”的必要不充分条件2在数列an中,如果 an32n(n1,2,3,),那么这个数列是()A公比为 2 的等比数列 B公差为 3 的等差数列C首项为 3 的等比数列 D首项为 3 的等差数列答案C解析因为 an32n(n1,2,3,),所以 a13,a21,an133n(n 2),则有anan1a2a113(n 2),所以an为等比数列,且公比 q13,首项 a13.3在等比数列an中,|a1|1,a58a2,a5a2,则 an等于()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析设公比为 q,则 a1q48a1q,又 a10,q0,所以 q38,q2,又 a5a2,所以 a20,a50,从而 a10,即 a11,故 an(2)n1.4在数列an中,a12,2an1an(n N*),则 a6_.答案116解析2an1an,a12,an1an12,an是等比数列,公比为 q12.a6a1q52(12)5116.课时对点练课时对点练1等比数列an的公比 q14,a12,则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列答案D解析由公比 q1,a7a81,a71a810.则下列结论正确的是()A0q1Ca81 DTn的最大项为 T7答案ABD解析a11,a7a81,a71a811,0a81,A 正确;B 正确;C 错误;D,T7是数列Tn中的最大项,故正确7在数列an中,a12,an13an,则 an_.答案23n1解析因为 an13an且 a12,所以an1an3,所以数列an是首项为 2,公比为 3 的等比数列,所以 an23n1.8在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思今共有粮 98 石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得 28 石,则衰分比例为_答案12解析设衰分比例为 q,则甲、乙、丙各分得28q,28,28q 石,28q2828q98,q2 或12.又 0q1,an中有连续四项在集合54,24,18,36,81中,则 q等于()A12 B.12C32 D.32答案C解析an中的项必然有正有负,q1,q 0,a 1),则下列条件能使数列an成等比数列的是()Af(an)2n Bf(an)n2Cf(an)2n Df(an)2n答案C解析由 f(x)logax(a 0,a 1),令 ylogax,可得 xay,故对 A,有 an2na,非等比数列;对 B,an2na,非等比数列;对 C,an2na,为等比数列;对 D,an2na,非等比数列13在等比数列an中,首项 a11 Bq1 C0q1 Dq0答案C解析先证必要性:a10,且an是递增数列,an0,即 q0,且an1ana1qna1qn1q1,则此时公比 q 满足 0q1;再证充分性:a10,0q1,an0,an1ana1qna1qn1qan,则an是递增数列,综上,an是递增数列的充要条件是公比 q 满足 0q1.14在各项为正的递增等比数列an中,a1a2a664,a1a3a521,则 an_.答案2n1解析an为等比数列,设其公比为 q,a1a2a6a3 1q6(a1q2)3a3 364,则 a34,a1a3a521,a3q2a3a3q221,即4q244q221,解得 q2 或 q12,又an各项为正且递增,q2,ana3qn342n32n1.15 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a11,an1Sn,若 an(0,2 022),则称项 an为“和谐项”,则数列an的所有“和谐项”的项数为()A10 B11 C12 D13答案C解析由 a11,an1Sn,可得 a2S1a11,当 n2 时,anSn1,又由 an1Sn,两式相减,可得 an1anSnSn1an,即 an12an,即an1an2,则数列an从第二项起是公比为 2 的等比数列,即 an2n2,n2,又由 an(0,2 022),即 2n22 022,可得 n13,nN*,所以“和谐项”共有 12 项16设数列an是公比小于 1 的正项等比数列,已知 a18,且 a113,4a2,a39 成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)若 bnan(n2),且数列bn是单调递减数列,求实数 的取值范围解(1)设数列an的公比为 q.由题意,可得 an8qn1,且 0q1.由 a113,4a2,a39 成等差数列,知 8a230a3,所以 64q308q2,解得 q12或152(舍去),所以 an8(12)n124n,nN*.(2)bnan(n2)(n2)24n,由 bnbn1,得(n2)24n(n3)23n,即 n1,所以(n1)min2,故实数 的取值范围为(,2)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的判定与简单应用等比数列的判定与简单应用一、等比数列的通项公式与函数的关系一、等比数列的通项公式与函数的关系问题1观察等比数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q0且q1时,等比数列an的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值,即 .(2)任意指数型函数f(x)kax(k,a是常数,k0,a0且a1),则f(1)ka,f(2)ka2,f(n)kan,构成一个等比数列kan,其首项为 ,公比为 .知识梳理知识梳理anf(n)kaa例1已知数列 是等比数列,且公比大于0,则“q1”是数列 是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件延伸探究1.若 为等比数列,则“a1a3a5”是“数列 是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.设 是等比数列,则“a11,a10或0q1,a11,a10或0q0时,an是递减数列.(3)当q1时,an是常数列;当qan1,a43,a172,二、等比数列的判定与证明二、等比数列的判定与证明问题2若数列 的前三项成等比数列,能说明这个数列是等比数列吗?提示不能,要证明一个数列是等比数列,一定要体现出任意性.证明等比数列的方法知识梳理知识梳理qan1an13.通项公式法:an .a1qn1(1)求a1,a2;(2)求证:数列an是等比数列.证明当n2时,反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(2)通项公式法:若数列an的通项公式为ana1qn1(a10,q0),则数列an是等比数列.(3)等比中项法:若 anan2(nN*且an0),则数列an为等比数列.得(n2)Snn(Sn1Sn),整理,得nSn12(n1)Sn,三、等比数列中项的设法三、等比数列中项的设法例3有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.所以a3216.所以a6.由题意知第4个数为12q6.所以66q12q612,故所求的四个数为9,6,4,2.方法二设后三个数为4d,4,4d,解得4d6.所以d2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟几个数成等比数列的设法(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.跟踪训练3有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是_.解析设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a1,aq1,aq24,aq313成等差数列.45解得a3,q2.因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.1.知识清单:(1)等比数列与函数的关系.(2)等比数列的判定与证明.(3)等比数列中项的设法.2.方法归纳:定义法、分类讨论.3.常见误区:四个数成等比数列时设成 aq,aq3,未考虑公比为负的情况.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知等比数列 的公比为q,首项a10,则“q0,则ana1qn10,由an1an,所以q0,12342.在数列 中,如果an32n(n1,2,3,),那么这个数列是A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列解析因为an32n(n1,2,3,),12343.在等比数列an中,|a1|1,a58a2,a5a2,则an等于A.(2)n1 B.(2)n1C.(2)n D.(2)n解析设公比为q,则a1q48a1q,又a10,q0,所以q38,q2,又a5a2,所以a20,a50,从而a10,即a11,故an(2)n1.12341234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列解析由公比q1,a7a81,0.则下列结论正确的是A.0q1C.a81 D.Tn的最大项为T7a71,0a81,an中有连续四项在集合54,24,18,36,81中,则q等于解析an中的项必然有正有负,q1,q1.由此可得an的连续四项为24,36,54,81.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16令ylogax,可得xay,故对A,有an ,非等比数列;对B,an ,非等比数列;对C,an ,为等比数列;对D,an ,非等比数列.12345678910 11 12 13 14 15 1613.在等比数列 中,首项a11 B.q1 C.0q1 D.q0解析先证必要性:则此时公比q满足0q1;再证充分性:a10,0q1,an0,12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.在各项为正的递增等比数列 中,a1a2a664,a1a3a521,则an_.2n112345678910 11 12 13 14 15 16a1a3a521,q2,ana3qn342n32n1.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知数列 的前n项和为Sn,且a11,an1Sn,若an(0,2 022),则称项an为“和谐项”,则数列 的所有“和谐项”的项数为A.10 B.11 C.12 D.1312345678910 11 12 13 14 15 16解析由a11,an1Sn,可得a2S1a11,当n2时,anSn1,又由an1Sn,两式相减,可得an1anSnSn1an,即an12an,又由an(0,2 022),即2n22 022,可得n13,nN*,所以“和谐项”共有12项.16.设数列an是公比小于1的正项等比数列,已知a18,且a113,4a2,a39成等差数列.(1)求数列an的通项公式;解设数列an的公比为q.由题意,可得an8qn1,且0q1.由a113,4a2,a39成等差数列,知8a230a3,所以64q308q2,12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)若bnan(n2),且数列 bn是单调递减数列,求实数 的取值范围.解bnan(n2)(n2)24n,由bnbn1,得(n2)24n(n3)23n,即n1,所以(n1)min2,故实数的取值范围为(,2).
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