苏教版高中数学选择性必修一第4章4.2.3第2课时《等差数列前n项和的性质及应用》教案及课件.zip

第第 2 课时等差数列前课时等差数列前 n 项和的性质及应用项和的性质及应用学习目标 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前 n 项和的函数性质求其前 n 项和的最值.3.理解并应用等差数列前 n 项和的性质一、等差数列前 n 项和的实际应用问题 1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等例 1某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1 150 万元，购买当天先付 150万元，按约定以后每月的这一天都交付 50 万元，并加付所有欠款利息，月利率为 1%，若交付 150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部付清后，买这 40 套住房实际花了多少钱？解因购房时付 150 万元，则欠款 1 000 万元，依题意知分 20 次付款，则每次付款的数额依次构成数列an，则 a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以 an501 00050(n1)1%6012(n1)(1n20，nN*)所以an是以 60 为首项，12为公差的等差数列所以 a106091255.5，a2060191250.5.所以 S2012(a1a20)2010(6050.5)1 105.所以实际共付 1 1051501 255(万元)反思感悟(1)本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现跟踪训练 1张邱建算经 卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计)共织 390 尺布，则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算)答案1629解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列an，其中 a15，S30390，设其公差为 d，则 S3030530 292d390，解得 d1629.故该女子织布每天增加1629尺二、等差数列中前 n 项和的最值问题问题 2根据上节课所学，等差数列前 n 项和公式有什么样的函数特点？提示由 Snna1nn12d，可知 Snd2n2(a1d2)n，当 d0 时，Sn是常数项为 0 的二次函数 该函数的定义域是 nN*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为 SnAn2Bn.知识梳理等差数列前 n 项和的最值(1)在等差数列an中，当 a10，d0 时，Sn有最大值，使 Sn取得最值的 n 可由不等式组Error!Error!确定；当 a10 时，Sn有最小值，使 Sn取得最值的 n 可由不等式组Error!Error!确定(2)Snd2n2(a1d2)n，若 d0，则从二次函数的角度看：当 d0 时，Sn有最小值；当 d0，d0 时 Sn有最小值 S1，当 a10，d0，由Error!Error!得Error!Error!又因为 nN*，所以当 n13 时，Sn有最大值为 169.方法三因为 S8S18，所以 a9a10a180.由等差数列的性质得 a13a140.因为 a10，所以 d0，a140，d0，则 Sn存在最大值，即所有非负项之和；若 a10，则 Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!Error!或Error!Error!来寻找；运用二次函数求最值跟踪训练 2在等差数列an中，a1018，前 5 项的和 S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前 n 项和的最小值，并指出何时取最小值解(1)设等差数列的公差为 d，因为在等差数列an中，a1018，S515，所以Error!Error!解得Error!Error!所以 an3n12，nN*.(2)因为 a19，d3，an3n12，所以 Snna1an212(3n221n)32(n72)21478，所以当 n3 或 4 时，前 n 项和 Sn取得最小值为 S3S418.三、等差数列中的片段和问题问题 3等差数列an的前 n 项和 Sn，你能发现 Sn与 S2n的关系吗？提示S2na1a2anan1a2nSn(a1nd)(a2nd)(annd)2Snn2d，同样我们发现 S3n3Sn3n2d，这里出现了一个有意思的数列 Sn，S2nSnSnn2d，S3nS2nSn2n2d，是一个公差为 n2d 的等差数列知识梳理1设等差数列an的公差为 d，Sn为其前 n 项和，则 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差数列，且公差为 m2d.2若数列an是公差为 d 的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为d2.3在等差数列中，若 Snm，Smn，则 Smn(mn)例 3已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S10100，S10010，求 S110.解方法一设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，S10100，S10010，Error!Error!解得Error!Error!S110110a111011012d1101 099100110 1092(1150)110.方法二S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，设公差为 d，该数列的前 10 项和为 1010010 92dS10010，解得 d22，前 11 项和 S1101110011 102(22)110.方法三由Snn也是等差数列，构造新的等差数列 b1S101010，b10S100100110，则 d19(b10b1)19(9910)1110，所以 b11S110110b10d110(1110)1，所以 S110110.方法四直接利用性质 Snm，Smn，Smn(mn)，可知 S110110.反思感悟利用等差数列前 n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出 a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些(2)等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法跟踪训练 3等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列an的前 3m 项的和S3m.解方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100 成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，2S2m2mSmmS3m3m.即 S3m3(S2mSm)3(10030)210.1知识清单：(1)等差数列前 n 项和的实际应用(2)等差数列前 n 项和的最值问题(3)等差数列中的片段和问题2方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法3常见误区：等差数列前 n 项和性质应用的前提是等差数列1已知数列an满足 an262n，则使其前 n 项和 Sn取最大值的 n 的值为()A11 或 12 B12C13 D12 或 13答案D解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列又 a124，d2，Sn24nnn12(2)n225n(n252)26254.nN*，当 n12 或 13 时，Sn最大2等差数列an中，S33，S69，则 S12等于()A12 B18 C24 D30答案D解析根据题意，得在等差数列an中，S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等差数列，又由 S33，S69，得 S6S36，则 S9S69，S12S912，则 S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)3691230.3在巴比伦晚期的泥板文书 中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10 个兄弟分 100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第 8 兄弟分得 6 两，则长兄可分得银子的数目为()A.825两 B.845两 C.865两 D.885两答案C解析设 10 个兄弟由大到小依次分得 an(n1，2，10)两银子，由题意可得设数列an的公差为 d，其前 n 项和为 Sn，则由题意得Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!所以长兄分得865两银子4已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a12，S2 0222 022S2 0202 0202，则S2 0212 021_.答案2 018解析Sn是等差数列an的前 n 项和，Snn是等差数列，设其公差为 d.S2 0222 022S2 0202 0202，2d2，d1.a12，S112.Snn2(n1)1n3.S2 0212 0212 018.课时对点练课时对点练1在等差数列an中，a11，其前 n 项和为 Sn，若S88S662，则 S10等于()A10 B100 C110 D120答案B解析an是等差数列，a11，Snn也是等差数列且首项为S111.又S88S662，Snn的公差是 1，S10101(101)110，S10100.2若等差数列an的前 m 项的和 Sm为 20，前 3m 项的和 S3m为 90，则它的前 2m 项的和 S2m为()A30 B70 C50 D60答案C解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3已知数列2n19，那么这个数列的前 n 项和 Sn()A有最大值且是整数 B有最小值且是整数C有最大值且是分数 D无最大值和最小值答案B解析易知数列2n19的通项公式为 an2n19，a117，d2.该数列是递增的等差数列令 an0，得 n192.a1a2a3a90a100，a1 010a1 0110，则当 Sn取最大值时，n 等于()A1 010 B1 011 C2 020 D2 021答案A解析在等差数列an中，a10，a1 010a1 0110，故公差 d0，a1 0110，所以当 Sn取最大值时，n1 010.5“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴 中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球，)若一“落一形”三角锥垛有 6 层，则该堆垛第 6 层的小球个数为()A45 B36 C28 D21答案D解析由题意分析可得 a11，a2123，a31236，则“三角形数”的通项公式 ann(n1)2，a66 (61)221.6(多选)设an是等差数列，Sn为其前 n 项和，且 S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与 S7均为 Sn的最大值答案ABD解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与 S7均为 Sn的最大值S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S9480，在 24 小时内能构筑成第二道防线10已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当 n 为何值时，数列an的前 n 项和取得最大值？解(1)由 a19，a4a70，得 a13da16d0，解得 d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9nnn12(2)n210n(n5)225，当 n5 时，Sn取得最大值方法二由(1)知 a19，d20；当 n6 时，an0，S4S9，当 Sn最大时，n 等于()A6 B7 C6 或 7 D13答案C解析因为 S4S9，所以 4a14 32d9a19 82d，化简得 a16d0，所以 a16d，因为 a10，所以 d200.当 n19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根15某大楼共有 12 层，有 11 人在第一层上了电梯，他们分别要去第 2 至 12 层，每层 1 人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余 10 人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为 0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为 1，每向上步行 1 层的“不满意度”增量为 2，要使得 10 人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A7 B8 C9 D10答案C解析设电梯所停的楼层是 n(2n12)，则 S12(n2)212(12n)n2n12212n13n232(n2533n)15732(n536)253224157，开口向上，对称轴为 n5369，故 S 在 n9 时取最小值 Smin3 9253 9314240.16已知an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，且 S77，S1575，求数列Snn的前 n 项和 Tn.解设等差数列an的公差为 d，则 Snna1nn12d.S77，S1575，Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!Snna1n12d2n12，Sn1n1Snn12，数列Snn是等差数列，且其首项为2，公差为12.Tn14n294n.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等差数列前等差数列前n n项和的性质及项和的性质及应用应用一、等差数列前一、等差数列前n项和的实际应用项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列an，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%10(6050.5)1 105.所以实际共付1 1051501 255(万元).反思感悟(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.跟踪训练1张邱建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算).解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列an，其中a15，S30390，设其公差为d，二、等差数列中前二、等差数列中前n项和的最值问题项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？当d0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是nN*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为SnAn2Bn.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_确定；当a10时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_确定.知识梳理知识梳理大小(2)Sn ，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最 值；当d0，d0时Sn有最小值S1，当a10，d0，又因为nN*，所以当n13时，Sn有最大值为169.方法三因为S8S18，所以a9a10a180.由等差数列的性质得a13a140.因为a10，所以d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用运用二次函数求最值.跟踪训练跟踪训练2在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列的公差为d，因为在等差数列an中，a1018，S515，所以an3n12，nN*.(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.解因为a19，d3，an3n12，所以当n3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3S418.三、等差数列中的片段和问题三、等差数列中的片段和问题问题问题3等差数列 的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？提示S2na1a2anan1a2nSn(a1nd)(a2nd)(annd)2Snn2d，同样我们发现S3n3Sn3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2nSnSnn2d，S3nS2nSn2n2d，是一个公差为n2d的等差数列.1.设等差数列an的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差数列，且公差为m2d.2.若数列an是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .3.在等差数列中，若Snm，Smn，则Smn(mn).知识梳理知识梳理例3已知Sn是等差数列an的前n项和，且S10100，S10010，求S110.解方法一设等差数列an的首项为a1，公差为d，S10100，S10010，方法二S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，设公差为d，解得d22，所以S110110.方法四直接利用性质Snm，Smn，Smn(mn)，可知S110110.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.跟跟踪踪训训练练3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列.27030(S3m100)，S3m210.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.1.知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的片段和问题.2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12C.13 D.12或131234解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列.又a124，d2，1234nN*，当n12或13时，Sn最大.12342.等差数列 中，S33，S69，则S12等于A.12 B.18 C.24 D.30S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等差数列，又由S33，S69，得S6S36，则S9S69，S12S912，则S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)3691230.12343.在巴比伦晚期的泥板文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为1234由题意可得12342 0181234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在等差数列an中，a11，其前n项和为Sn，若 2，则S10等于A.10 B.100 C.110 D.12012345678910 11 12 13 14 15 16解析an是等差数列，a11，S10100.12345678910 11 12 13 14 15 162.若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.60解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3.已知数列2n19，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值解析易知数列2n19的通项公式为an2n19，a117，d2.该数列是递增的等差数列.a1a2a3a90a100，a1 010a1 0110，则当Sn取最大值时，n等于A.1 010 B.1 011 C.2 020 D.2 021故公差d0，a1 0110，所以当Sn取最大值时，n1 010.12345678910 11 12 13 14 15 165.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，).若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为A.45 B.36 C.28 D.2112345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意分析可得a11，a2123，a31236，12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)设an是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值12345678910 11 12 13 14 15 16解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与S7均为Sn的最大值.S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S9480，在24小时内能构筑成第二道防线.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；解由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解方法一a19，d2，当n5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a19，d20；当n6时，an0，S4S9，当Sn最大时，n等于A.6 B.7 C.6或7 D.1312345678910 11 12 13 14 15 16化简得a16d0，所以a16d，因为a10，所以d200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层A.7 B.8 C.9 D.10解析设电梯所停的楼层是n(2n12)，则S12(n2)212(12n)12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列 的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，S77，S1575，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16