苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《利用递推公式构造等差、等比数列求通项》教案及课件.zip

习题课利用递推公式构造等差、等比数列求通项习题课利用递推公式构造等差、等比数列求通项学习目标 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题一、利用递推公式构造等差数列求通项例 1已知数列an满足 an2an12n(n2)，且 a11，求数列an的通项公式解因为 an2an12n，等式两边同时除以 2n，得an2nan12n11，即an2nan12n11，所以an2n是以12为首项，以 1 为公差的等差数列，即an2n12(n1)1，所以 an(n12)2n.延伸探究(1)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列an的通项公式解等式两边同时除以 2n，得an2nan12n12，即an2nan12n12，所以an2n是以12为首项，以 2为公差的等差数列，所以an2n12(n1)2，即 an(2n32)2n.(2)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列an的通项公式解等式两边同时除以 2n，得an2nan12n112，即an2nan12n112，所以an2n是以12为首项，以12为公差的等差数列，所以an2n12(n1)12，即 ann2n1.反思感悟形如 anpan1pn(p1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步：等式两边同除以 pn，不管这一项是 pn1或 pn1，都同除以 pn，为的是数列的下标和p 的指数对应起来第二步：写出数列anpn的通项公式第三步：写出数列an的通项公式跟踪训练 1已知数列an满足1an12an112n，且 a11，求数列an的通项公式解由题意，等式两边同乘 2n，得2nan2n1an11，即2nan2n1an11，所以2nan是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以2nan2(n1)1，即 an2nn1.二、利用递推公式构造等比数列求通项例 2已知数列an满足 a11，an12an1，求an的通项公式解an12an1，an1t2(ant)，即 an12ant，t1，即 an112(an1)，数列an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列an122n1，an2n1.延伸探究已知数列an中，a156，an113an(12)n1，求 an.解令 an1A(12)n113anA(12)n，则 an113anA3(12)n1.由已知条件知A31，得 A3，所以 an13(12)n113an3(12)n.又 a13(12)1230，所以an3(12)n是首项为23，公比为13的等比数列于是 an3(12)n23(13)n1，故 an3(12)n2(13)n.反思感悟(1)形如 an1panq(其中 p，q 为常数，且 pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步：假设递推公式可改写为 an1tp(ant)；第二步：由待定系数法，解得 tqp1；第三步：写出数列anqp1的通项公式；第四步：写出数列an的通项公式(2)形如 an1panqn1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如 an1panq 求通项公式的步骤，要注意数列的下标与 q 的指数的对应关系跟踪训练 2(1)已知数列an满足 a12，an12an4.证明数列an4是等比数列并求数列an的通项公式解a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，an14an42，an4是以 2 为首项，2 为公比的等比数列an422n12n，即 an2n4.(2)已知数列an满足 an13an2n1且 a11，求数列an的通项公式解由题意得，an1A2n13(anA2n)，即 an13anA2n，故 A2，所以 an12n23(an2n1)，所以an2n1是以 5 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an2n153n1，即 an53n12n1.1知识清单：(1)形如 anpan1pn的递推关系求通项公式(2)形如 an1panq 的递推关系求通项公式(3)形如 an1panqn1的递推关系求通项公式2方法归纳：构造法3常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是 a1.1已知数列an满足 a13，an13an4，则 a2 021的值为()A32 020 B32 0202 C32 0212 D32 0212答案B解析因为 an13an4，an1t3(ant)，即 an13an2t，所以 2t4，t2，即an123(an2)，所以an2是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an23n1，an3n12，所以 a2 02132 0202.2已知数列an满足 a13，an3an13n，则数列an的通项公式是()Aann BannCan(2n)3n Dann3n答案C解析因为 an3an13n，所以an3nan13n11，故an3n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以an3n1(n1)2n，即 an(2n)3n.3已知数列an满足 an12an35n，a16，则数列an的通项公式 an等于()Aan2n15n Ban2n15nCan2n1 Dan21n15答案A解析设 an1x5n12(anx5n)，将 an12an35n代入式，得 2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去 2an，得 35nx5n12x5n，两边除以 5n，得 35x2x，则 x1，代入式得 an15n12(an5n)，由 a1516510 及式得 an5n0，则an15n1an5n2，则数列an5n是以 a1511 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 an5n2n1，所以 an2n15n.4已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an1Sn1(nN*)，则 S5_.答案47解析an1Sn1(nN*)，即 Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，数列Sn1为等比数列，其首项为 3，公比为 2.则 S51324，解得 S547.课时对点练课时对点练1已知数列an满足 an1kan1(n N*，k R*)，若数列an1是等比数列，则 k 等于()A1 B1 C2 D2答案D解析由 an1kan1，得 an11kan2k(an2k).由于数列an1是等比数列，2k1，得 k2.2已知 Sn为数列an的前 n 项和，Sn12Sn，nN*，S24，则 a2 021等于()A22 020 B42 020 C42 021 D22 021答案A解析由 Sn12Sn，S24 可知，S12，Sn1Sn2，故Sn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故通项公式为 Sn22n12n，所以 a2 021S2 021S2 02022 02122 02022 020(21)22 020.3将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为 1,2,3，2 021，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数 M，则 M 等于()1232 0192 0202 0213574 0394 0418128 080MA2 02122 018 B2 02222 019C2 02122 019 D2 02222 020答案B解析记第 n 行的第一个数为 an，则 a11，a232a11，a382a22，a4202a34，an2an12n2，an2n2an12n31，即an2n2是以a1212 为首项，1 为公差的等差数列an2n22(n1)1n1，an(n1)2n2.又每行比上一行的数字少 1 个，最后一行为第 2 021 行，Ma2 0212 02222 019.4已知数列an的首项为 a11，且满足 an112an12n，则此数列的通项公式 an等于()A2n Bn(n1)C.n2n1 D.nn12n答案C解析an112an12n，2n1an12nan2，即 2n1an12nan2.又 21a12，数列2nan是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，ann2n1.5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snan1n2，nN*，a12，则an的通项公式为()Aan2n11 Ban2n1Can2n11 Dan2n答案C解析由 Snan1n2得 Sn1ann3(n2)，由可得 an12an1(n2)，所以 an112(an1)(n2)，又 S1a212，a12，则 a23，即 a212(a11)，因此an1是以 a111 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12n1，即 an12n1.6(多选)设首项为 1 的数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn12Snn1，则下列结论正确的是()A数列Snn为等比数列B数列an的通项公式为 an2n11C数列an1为等比数列D数列SnSn11为等比数列答案AD解析因为 Sn12Snn1，所以Sn1n1Snn2Sn2nSnn2.又 S112，所以数列Snn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 A 正确；所以 Snn2n，则 Sn2nn.当 n2 时，anSnSn12n11，但 a12111，故 B 错误；由 a11，a21，a33 可得 a112，a212，a314，即a31a21a21a11，故 C 错误；由 Sn2nn，所以 SnSn112nn2n1n112n1，故 D 正确7在数列an中，a13，nan1(n1)an2n(n1)，则 an_.答案n(2n1)解析由题意，等式两边同除 n(n1)可得：an1n1ann2，即an1n1ann2，所以数列ann是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，所以ann32(n1)2n1，即 ann(2n1)8 尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12 只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了 12 只小老鼠，一共有 14 只；2 个月后，每对老鼠各生了 12 只小老鼠，一共有 98 只依此类推，假设 n 个月后共有老鼠 an只，则 a12_.答案2712解析设 n 个月后共有 an 只老鼠，且雌雄各半，所以 n1 个月后的老鼠只数 an1 满足：an1an12an2(nN*)，所以 an1an6an，即 an17an(nN*)，又因为 a1140，所以an1an7，所以数列an是以 14 为首项，7 为公比的等比数列，所以 ana1qn1147n1277n127n，即 an27n(nN*)，当 n12 时，a122712.9已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn2ann4.(1)求 a1的值；(2)若 bnan1，试证明数列bn为等比数列(1)解因为 Sn2ann4，所以当 n1 时，S12a114，解得 a13.(2)证明因为 Sn2ann4，所以当 n2 时，Sn12an1n14，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即 an2an11，所以 an12(an11)，又 bnan1，所以 bn2bn1，且 b1a1120，所以数列bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列10某企业投资 1 000 万元用于一个高科技项目，每年可获利 25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出 200 万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4 倍)的目标？(取 lg 20.3)解设该项目几年后资金数为 an，nN*.则由已知得 an1an(125%)200，即 an154an200.令 an1x54(anx)，即 an154anx4，由x4200，得 x800.an180054(an800).故数列an800是以 a1800 为首项，54为公比的等比数列a11 000(125%)2001 050，a1800250，an800250(54)n1，an800250(54)n1(nN*)，由题意知 an4 000，800250(54)n14 000，即(54)n16.两边取常用对数得 nlg54lg 16，即 n(13lg 2)4lg 2.lg 20.3，不等式化为 0.1n1.2，n12.故经过 12 年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标11已知数列an满足：a12，an13an2，则an的通项公式为()Aan2n1 Ban3n1Can22n1 Dan6n4答案B解析由 an13an2，所以 an113(an1)，an11an13，所以数列an1是首项为 a113，公比为 3 的等比数列，所以 an133n13n，an3n1，故选 B.12在数列an中，a15，且满足an12n52an2n7，则数列an的通项公式为()A2n3 B2n7C(2n3)(2n7)D2n5答案C解析因为an12n52an2n7，所以an12n5an2n72，又a1271，所以数列an2n7是以1 为首项，公差为 2 的等差数列，所以an2n712(n1)2n3，所以 an(2n3)(2n7).13已知数列an满足 a11，an1anan2(n N*).若 bnlog2(1an1)，则数列bn的通项公式 bn等于()A.12n Bn1 Cn D2n答案C解析由 an1anan2，得1an112an，所以1an112(1an1)，又1a112，所以数列1an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以1an122n12n，所以 bnlog2(1an1)log22nn.14若数列an满足 a11，且 an14an2n，则 a6_.答案2 016解析因为 an14an2n，所以 an12n4(an2n1)，所以数列an2n1是等比数列，首项为 2，公比为 4，则 an2n124n1，可得 an22n12n1，则 a62261261211252 016.15在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”将数列 1,2 进行“扩展”，第一次得到数列 1,2,2；第二次得到数列 1,2,2,4,2；.设第 m 次“扩展”后得到的数列为 1，x1，x2，并记 anlog2(1x1x2xt2)，其中 t2n1，nN*，则数列an的前 n 项和为_答案Sn3n12n34解析anlog2(1x1x2xt2)，所以 an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2log2(12x3 1x3 2x3 3x3 t22)3an1，所以 an1123(an12)，所以数列an12是一个以32为首项，以 3 为公比的等比数列，所以 an12323n1，an3n12，所以 Sn12313n13n23n12n34.16 设关于 x 的二次方程 anx2an1x10(n1,2,3，)有两根 和，且满足 6263.(1)试用 an表示 an1；(2)求证：an23是等比数列；(3)当 a176时，求数列an的通项公式(1)解根据根与系数的关系，得Error!代入题设条件 6()23，得6an1an2an3.所以 an112an13.(2)证明因为 an112an13，所以 an12312(an23).若 an23，则方程 anx2an1x10，可化为23x223x10，即 2x22x30.此时(2)24230，所以 an23，即 an230.所以数列an23是以12为公比的等比数列(3)解当 a176时，a12312，所以数列an23是首项为12，公比为12的等比数列所以 an2312(12)n1(12)n，所以 an23(12)n，nN*，即数列an的通项公式为 an23(12)n，nN*.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件利用递推公式构造等差、等利用递推公式构造等差、等比数列求通项比数列求通项一、利用递推公式构造等差数列求通项一、利用递推公式构造等差数列求通项例1已知数列 满足an2an12n(n2)，且a11，求数列 的通项公式.解因为an2an12n，等式两边同时除以2n，延伸探究(1)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列 的通项公式.解等式两边同时除以2n，(2)本例中“an2an12n”变为“an2an12n1”，其余不变，求数列 的通项公式.解等式两边同时除以2n，反思感悟形如anpan1pn(p1)的递推关系求通项公式的一般步骤第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn1或pn1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来.解由题意，等式两边同乘2n，二、利用递推公式构造等比数列求通项二、利用递推公式构造等比数列求通项例2已知数列an满足a11，an12an1，求an的通项公式.解an12an1，an1t2(ant)，即an12ant，t1，即an112(an1)，an122n1，an2n1.延伸探究反思感悟(1)形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步：假设递推公式可改写为an1tp(ant)；第四步：写出数列an的通项公式.(2)形如an1panqn1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an1panq求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系.跟跟踪踪训训练练2(1)已知数列an满足a12，an12an4.证明数列an4是等比数列.并求数列an的通项公式.解a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，an4是以2为首项，2为公比的等比数列.an422n12n，即an2n4.解由题意得，an1A2n13(anA2n)，即an13anA2n，故A2，所以an12n23(an2n1)，所以an2n153n1，即an53n12n1.1.知识清单：(1)形如anpan1pn的递推关系求通项公式.(2)形如an1panq的递推关系求通项公式.(3)形如an1panqn1的递推关系求通项公式.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知数列an满足a13，an13an4，则a2 021的值为A.32 020 B.32 0202 C.32 0212 D.32 0212解析因为an13an4，an1t3(ant)，即an13an2t，所以2t4，t2，即an123(an2)，所以an2是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an23n1，an3n12，所以a2 02132 0202.12341234A.ann B.annC.an(2n)3n D.ann3n1234A.an2n15n B.an2n15nC.an2n1 D.an21n15将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，则x1，由a1516510及式得an5n0，所以an5n2n1，所以an2n15n.123412344.已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，则S5_.解析an1Sn1(nN*)，即Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，数列Sn1为等比数列，其首项为3，公比为2.则S51324，解得S547.47课时对点练课时对点练基础巩固A.1 B.1 C.2 D.2由于数列an1是等比数列，12345678910 11 12 13 14 15 162.已知Sn为数列 的前n项和，Sn12Sn，nN*，S24，则a2 021等于A.22 020 B.42 020 C.42 021 D.22 021解析由Sn12Sn，S24可知，故通项公式为Sn22n12n，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 163.将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，2 021，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于1232 0192 0202 0213574 0394 0418128 080MA.2 02122 018 B.2 02222 019C.2 02122 019 D.2 02222 02012345678910 11 12 13 14 15 16解析记第n行的第一个数为an，则a11，a232a11，a382a22，a4202a34，an2an12n2，又每行比上一行的数字少1个，最后一行为第2 021行，Ma2 0212 02222 019.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即2n1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，12345678910 11 12 13 14 15 165.已知数列 的前n项和为Sn，且Snan1n2，nN*，a12，则的通项公式为A.an2n11 B.an2n1C.an2n11 D.an2n12345678910 11 12 13 14 15 16解析由Snan1n2得Sn1ann3(n2)，由可得an12an1(n2)，所以an112(an1)(n2)，又S1a212，a12，则a23，即a212(a11)，2为公比的等比数列，所以an12n1，即an12n1.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)设首项为1的数列an的前n项和为Sn，已知Sn12Snn1，则下列结论正确的是A.数列Snn为等比数列B.数列an的通项公式为an2n11C.数列an1为等比数列D.数列SnSn11为等比数列12345678910 11 12 13 14 15 16公比为2的等比数列，故A正确；所以Snn2n，则Sn2nn.当n2时，anSnSn12n11，但a12111，故B错误；由a11，a21，a33可得a112，a212，a314，由Sn2nn，所以SnSn112nn2n1n112n1，故D正确.12345678910 11 12 13 14 15 167.在数列an中，a13，nan1(n1)an2n(n1)，则an_.解析由题意，等式两边同除n(n1)可得：n(2n1)12345678910 11 12 13 14 15 168.尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12_.2712解析设n个月后共有an 只老鼠，且雌雄各半，所以n1 个月后的老鼠只数an1 满足：所以an1an6an，即an17an(nN*)，又因为a1140，12345678910 11 12 13 14 15 16所以ana1qn1147n1277n127n，即an27n(nN*)，当n12时，a122712.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；解因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列.证明因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1n14，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列.12345678910 11 12 13 14 15 1610.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 20.3)解设该项目几年后资金数为an，nN*.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16lg 20.3，不等式化为0.1n1.2，n12.故经过12年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知数列 满足：a12，an13an2，则 的通项公式为A.an2n1 B.an3n1C.an22n1 D.an6n4所以an133n13n，an3n1，故选B.12345678910 11 12 13 14 15 16A.2n3 B.2n7C.(2n3)(2n7)D.2n512345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.若数列 满足a11，且an14an2n，则a6_.解析因为an14an2n，2 016则an2n124n1，可得an22n12n1，则a62261261211252 016.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.设第m次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN*，则数列 的前n项和为_.所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)212345678910 11 12 13 14 15 1616.设关于x的二次方程anx2an1x10(n1,2,3，)有两根和，且满足6263.(1)试用an表示an1；代入题设条件6()23，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即2x22x30.此时(2)24230，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16