苏教版高中数学选择性必修一第4章4.4第1课时《数学归纳法》教案及课件.zip

4.4 数学归纳法数学归纳法第第 1 课时数学归纳法课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.导语同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧一、数学归纳法的理解问题 1如果你从袋子里拿出 5 个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？提示不能通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法不完全归纳法得到的结论不一定正确例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证问题 2在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？提示要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的数学命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 nn0(n0N*)时命题成立；(2)假设“当 nk(kn0，kN*)时命题成立”，证明当 nk1 时命题也成立根据(1)(2)就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法称为数学归纳法注意点：初始值 n0选择不一定是 1，要结合题意恰当的选择例 1(1)用数学归纳法证明不等式 2n(n1)2(nN*)时，初始值 n0应等于_答案6解析由题意，得当 n1 时，21(11)2；当 n2 时，22(21)2；当 n3 时，23(31)2；当 n4 时，24(41)2；当 n5 时，25(61)2，所以用数学归纳法证明不等式 2n(n1)2(nN*)时，初始值 n0应等于 6.(2)用数学归纳法证明 12222n12n1(nN*)的过程如下：当 n1 时，左边1，右边2111，等式成立假设当 nk(kN*)时等式成立，即 12222k12k1，则当 nk1 时，12222k12k12k1122k11，所以当 nk1 时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明，错误是_答案未用归纳假设解析本题在由 nk 成立证明 nk1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符反思感悟数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律(3)利用假设是核心：在第二步证明 nk1 时，一定要利用归纳假设跟踪训练 1对于不等式n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当 n1 时，12111，不等式成立(2)假设当 nk(k1 且 kN*)时，不等式成立，即k2kk1，则当 nk1 时，k12k1k23k2k23k2k2k22(k1)1，当 nk1 时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1 验证不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk1 的推理不正确答案D解析在 nk1 时，没有应用 nk 时的归纳假设，不是数学归纳法二、增加的项的个数问题例 2用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k 到 k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C.2k1k1 D.2k3k1答案B解析当 nk 时，等式的左边(k1)(k2)(kk)，当 nk1 时，等式的左边(k11)(k12)(kk)(k1k)(kk2)，所以从“k 到 k1”左端需增乘的代数式为k1kkk2k12(2k1)反思感悟弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项跟踪训练 2利用数学归纳法证明不等式 1121312n1n(n2，nN*)的过程中，由nk 到 nk1 时，左边增加了()A1 项 Bk 项 C2k1项 D2k项答案D解析增加项为12k12k112k212k11，共 2k项三、用数学归纳法证明等式例 3用数学归纳法证明 112131412n112n1n11n212n(nN*)证明(1)当 n1 时，左边11212，右边12，命题成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时，命题成立，即112131412k112k1k11k212k，那么当 nk1 时，左边112131412k112k12k112k21k11k212k12k112k21k21k312k112k2.上式表明当 nk1 时，命题也成立由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，等式的结构(2)nk 到 nk1 时，两个式子的结构：nk1 时的代数式比 nk 时的代数式增加(或减少)的项这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项代数式相邻两项之间的变化规律代数式中最后一项(最后一个数)与 n 的关系跟踪训练 3求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明(1)当 n1 时，左边12223，右边3，等式成立(2)假设当 nk 时，等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当 nk1 时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以当 nk1 时，等式也成立综上所述，等式对任何 nN*都成立1知识清单：(1)数学归纳法的概念(2)增加或减少项的个数问题(3)用数学归纳法证明等式2方法归纳：数学归纳法3常见误区：一是对 n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错1用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n42(nN*)，验证 n1 时，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234答案D解析当 n1 时，左边1234.2用数学归纳法证明等式 123(2n1)(n1)(2n1)时，从 nk 到 nk1，等式左边需增添的项是()A2k2B.2k11C(2k2)(2k3)D.k112k11答案C解析当 nk 时，左边123(2k1)，共 2k1 个连续自然数相加；当 nk1 时，左边123(2k1)(2k2)(2k3)，所以从 nk 到 nk1，等式左边需增添的项是(2k2)(2k3)3某个与正整数有关的命题：如果当 nk(kN*)时命题成立，则可以推出当 nk1 时该命题也成立现已知 n5 时命题不成立，那么可以推得()A当 n4 时命题不成立B当 n6 时命题不成立C当 n4 时命题成立D当 n6 时命题成立答案A解析因为当 nk(kN*)时命题成立，则可以推出当 nk1 时该命题也成立，所以假设当n4 时命题成立，那么 n5 时命题也成立，这与已知矛盾，所以当 n4 时命题不成立4 用数学归纳法证明关于 n 的恒等式，当 nk 时，表达式为 1427k(3k1)k(k1)2，则当 nk1 时，表达式为_答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2解析当 nk1 时，表达式左侧为 1427k(3k1)(k1)(3k4)，表达式右侧为(k1)(k2)2，则当 nk1 时，表达式为 1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.课时对点练课时对点练1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步应验证 n 等于()A1 B2 C3 D4答案C解析边数最少的凸 n 边形是三角形，故选 C.2 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 11213141n11n2(1n21n412n)时，若已假设 nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B解析因为 n 为正偶数，所以当 nk 时，下一个偶数为 k2.3用数学归纳法证明“1aa2a2n11a2n21a(a1)”在验证 n1 时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4答案C解析将 n1 代入 a2n1得 a3，故选 C.4若命题 A(n)(nN*)在 nk(kN*)时成立，则有 nk1 时命题也成立现知命题对 nn0(n0N*)成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立D以上说法都不正确答案C解析由已知得 nn0(n0N*)时命题成立，则有 nn01 时命题成立在 nn01 时命题成立的前提下，又可推得 n(n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C.5已知 f(n)122232(2n)2，则 f(k1)与 f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2答案A解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.6用数学归纳法证明等式 135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设 nk 时等式成立，则当 nk1 时应得到()A135(2k1)k2B135(2k1)(k1)2C135(2k1)(k2)2D135(2k1)(k3)2答案B解析由数学归纳法知第二步假设 nk 时等式成立，则当 nk1 时应得到 135(2k1)(k1)2.7设 f(n)1121313n1(nN*)，那么 f(n1)f(n)_.答案13n13n113n2解析注意末项与首项，所以 f(n1)f(n)13n13n113n2.8用数学归纳法证明 1232n2n122n1(nN*)时，假设当 nk 时命题成立，则当 nk1 时，左端增加的项数是_答案2k解析运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)当 nk 时，则有 1232k2k122k1(kN*)，左边表示的为 2k项的和当 nk1 时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为 2k1项的和，增加了 2k12k2k项9证明：1212212312n112n112n(nN*)证明(1)当 n1 时，左边12，右边11212，等式成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时，等式成立，即1212212312k112k112k，那么当 nk1 时，左边1212212312k112k12k1112k12k11212k1112k1.所以当 nk1 时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任意 nN*都成立10用数学归纳法证明：132522(2n1)2n12n(2n3)3(nN*)证明(1)当 n1 时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，等式成立，即 132522(2k1)2k12k(2k3)3.则当 nk1 时，132522(2k1)2k1(2k1)2k2k(2k3)3(2k1)2k2k(4k2)32k12(k1)33，即当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)知，等式对任何 nN*都成立11用数学归纳法证明 123n2n4n22，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上()A(k1)2Bk21C.k14k122D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析因为当 nk 时，等号的左端为 123k2，当 nk1 时，等号的左端为 123(k1)2，所以增加了(k21)(k22)(k23)(k1)2，故选 D.12(多选)已知一个命题 p(k)，k2n(nN*)，若当 n1,2，1 000 时，p(k)成立，且当 n1 001 时也成立，则下列判断中正确的是()Ap(k)对 k528 成立Bp(k)对每一个自然数 k 都成立Cp(k)对每一个正偶数 k 都成立Dp(k)对某些偶数可能不成立答案AD解析由题意知 p(k)对 k2,4,6，2 002 成立，当 k 取其他值时不能确定 p(k)是否成立，故选 AD.13已知 f(n)1n11n1n11n21n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213Bf(n)中共有(n1)项，当 n2 时，f(2)1121314Cf(n)中共有(n2n2)项，当 n2 时，f(2)1121314Df(n)中共有(n2n1)项，当 n2 时，f(2)1121314答案C解析f(n)中共有 n2(n1)1n2n2 项，当 n2 时，f(2)1121314.14记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k)_.答案解析由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形图形，故 f(k1)f(k).15用数学归纳法证明“已知 n 为正奇数，求证：xnyn 能被 xy 整除”时，第二步假设 nk(kN*)时命题为真后，需证 n_时命题也为真答案k2解析因为 n 为正奇数，所以 nk2 时命题也为真16用数学归纳法证明：122232342n(n1)2nn112(3n211n10)，其中nN*.证明当 n1 时，左边1224，右边1 1112(31211110)4，所以左边右边，等式成立假设当 nk(k1，kN*)时，等式成立，即 122232342k(k1)2kk112(3k211k10)，那么当 nk1 时，122232342k(k1)2(k1)(k2)2kk112(3k211k10)(k1)(k2)2kk112(3k5)(k2)(k1)(k2)2k1k212(3k25k12k24)k1k2123(k1)211(k1)10即当 nk1 时，等式也成立，综上，对任何 nN*，等式都成立苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件数学归纳法数学归纳法同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧.导导 语语一、数学归纳法的理解一、数学归纳法的理解问题1如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？提示不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证.问题2在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？提示要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 时命题成立；(2)假设“当 (kn0，kN*)时命题成立”，证明当 时命题也成立.根据(1)(2)就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法.注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择.知识梳理知识梳理nn0(n0N*)nknk1n0例1(1)用数学归纳法证明不等式2n(n1)2(nN*)时，初始值n0应等于_.解析由题意，得当n1时，21(11)2；当n2时，22(21)2；当n3时，23(31)2；当n4时，24(41)2；当n5时，25(61)2，所以用数学归纳法证明不等式2n(n1)2(nN*)时，初始值n0应等于6.6(2)用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立.假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k 2k11，所以当nk1时等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明，错误是_.未用归纳假设解析本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.反思感悟数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心：在第二步证明nk1时，一定要利用归纳假设.跟踪训练1对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.当nk1时，不等式成立，则上述证法A.过程全部正确B.n1验证不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，不是数学归纳法.二、增加的项的个数问题二、增加的项的个数问题例2用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为解析当nk时，等式的左边(k1)(k2)(kk)，当nk1时，等式的左边(k11)(k12)(kk)(k1k)(kk2)，反思感悟弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项.跟踪训练跟踪训练2利用数学归纳法证明不等式1 n(n2，nN*)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了A.1项 B.k项 C.2k1项 D.2k项三、用数学归纳法证明等式三、用数学归纳法证明等式(2)假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，那么当nk1时，上式表明当nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立.反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，等式的结构.(2)nk到nk1时，两个式子的结构：nk1时的代数式比nk时的代数式增加(或减少)的项.这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.代数式相邻两项之间的变化规律.代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.跟踪训练跟踪训练3求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*).证明(1)当n1时，左边12223，右边3，等式成立.(2)假设当nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以当nk1时，等式也成立.综上所述，等式对任何nN*都成立.1.知识清单：(1)数学归纳法的概念.(2)增加或减少项的个数问题.(3)用数学归纳法证明等式.2.方法归纳：数学归纳法.3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是A.1 B.12C.123 D.1234解析当n1时，左边1234.123412342.用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，等式左边需增添的项是A.2k2C.(2k2)(2k3)1234解析当nk时，左边123(2k1)，共2k1个连续自然数相加；当nk1时，左边123(2k1)(2k2)(2k3)，所以从nk到nk1，等式左边需增添的项是(2k2)(2k3).12343.某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立.现已知n5时命题不成立，那么可以推得A.当n4时命题不成立B.当n6时命题不成立C.当n4时命题成立D.当n6时命题成立1234解析因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立.12344.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_.解析当nk1时，表达式左侧为1427k(3k1)(k1)(3k4)，表达式右侧为(k1)(k2)2，则当nk1时，表达式为1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步应验证n等于A.1 B.2 C.3 D.4解析边数最少的凸n边形是三角形，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证A.nk1时等式成立B.nk2时等式成立C.n2k2时等式成立D.n2(k2)时等式成立解析因为n为正偶数，所以当nk时，下一个偶数为k2.12345678910 11 12 13 14 15 163.用数学归纳法证明“1aa2a2n1 (a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为A.1a B.1aa2C.1aa2a3 D.1aa2a3a4解析将n1代入a2n1得a3，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 164.若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时成立，则有nk1时命题也成立.现知命题对nn0(n0N*)成立，则有A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数 都成立D.以上说法都不正确12345678910 11 12 13 14 15 16解析由已知得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立.在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是A.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2B.f(k1)f(k)(k1)2C.f(k1)f(k)(2k2)2D.f(k1)f(k)(2k1)2解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.12345678910 11 12 13 14 15 166.用数学归纳法证明等式135(2n1)n2(nN*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到A.135(2k1)k2B.135(2k1)(k1)2C.135(2k1)(k2)2D.135(2k1)(k3)2解析由数学归纳法知第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到135(2k1)(k1)2.12345678910 11 12 13 14 15 167.设f(n)1 (nN*)，那么f(n1)f(n)_.解析注意末项与首项，12345678910 11 12 13 14 15 168.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是_.解析运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*).当nk时，则有1232k2k122k1(kN*)，左边表示的为2k项的和.当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k1项的和，增加了2k12k2k项.2k12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)假设当nk(k1，kN*)时，那么当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 1610.用数学归纳法证明：132522(2n1)2n12n(2n3)3(nN*).12345678910 11 12 13 14 15 16证明(1)当n1时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即132522(2k1)2k12k(2k3)3.则当nk1时，132522(2k1)2k1(2k1)2k2k(2k3)3(2k1)2k2k(4k2)32k12(k1)33，即当nk1时，等式也成立.由(1)(2)知，等式对任何nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.用数学归纳法证明123n2 ，则当nk1时左端应在nk的基础上加上A.(k1)2B.k21C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2解析因为当nk时，等号的左端为123k2，所以增加了(k21)(k22)(k23)(k1)2，故选D.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.(多选)已知一个命题p(k)，k2n(nN*)，若当n1,2，1 000时，p(k)成立，且当n1 001时也成立，则下列判断中正确的是A.p(k)对k528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立解析由题意知p(k)对k2,4,6，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.记 凸 k边形的内角和为 f(k)，则凸 k1边形的内角和 f(k1)f(k)_.解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xnyn能被xy整除”时，第二步假设nk(kN*)时命题为真后，需证n_时命题也为真.解析因为n为正奇数，所以nk2时命题也为真.k212345678910 11 12 13 14 15 1616.用数学归纳法证明：122232342n(n1)2(3n211n10)，其中nN*.12345678910 11 12 13 14 15 16证明当n1时，左边1224，所以左边右边，等式成立.假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，那么当nk1时，122232342k(k1)2(k1)(k2)212345678910 11 12 13 14 15 16即当nk1时，等式也成立，综上，对任何nN*，等式都成立.