苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.2第1课时《等比数列的通项公式》教案及课件.zip

4.3.2等比数列的通项公式等比数列的通项公式第第 1 课时等比数列的通项公式课时等比数列的通项公式学习目标 1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算导语同学们，前面我们学习了等比数列的概念，和等差数列一样，我们也希望有一个式子来表示我们昨天提到的折纸每一次，其厚度是多少，或者当其厚度为多少时，我们折了多少次，这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式一、等比数列的通项公式问题类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等比数列的首项是 a1，公比是 q，则由定义可知anan1q(nN*且 n2)方法一ananan1an1an2a3a2a2a1a1qqqqa1a1qn1，当 n1 时，上式也成立方法二a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，由此可得 ana1qn1，当 n1 时，上式也成立知识梳理等比数列的通项公式若等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 ana1qn1(nN*)例 1写出下列等比数列的一个通项公式：(1)1,1，1,1，1；(2)1，12，14，18；(3)5,10,20,40.解(1)数列的首项为1，公比为1，所以 an(1)(1)n1(1)n；(2)数列的首项为 1，公比为12，所以 an(12)n1；(3)数列的首项为 5，公比为 2，所以 an52n1.反思感悟写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，若公比是负数或分数时，需加括号跟踪训练 1已知等比数列的通项公式是 an721n，试写出它的首项和公比解当 n1 时，a172117，当 n2 时，a2721272，所以 qa2a112，所以该等比数列的首项和公比分别是 7，12.二、等比数列中的基本计算例 2在等比数列an中：(1)a11，a48，求 an；(2)an625，n4，q5，求 a1；(3)a2a518，a3a69，an1，求 n.解(1)因为 a4a1q3，所以 8q3，所以 q2，所以 ana1qn12n1.(2)a1anqn16255415，故 a15.(3)因为Error!由，得 q12，从而 a132.又 an1，所以 32(12)n11，即 26n20，故 n6.反思感悟等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解跟踪训练 2在等比数列an中：(1)若它的前三项分别为 5，15,45，求 a5；(2)若 a42，a78，求 an.解(1)因为 a5a1q4，而 a15，qa2a13，所以 a5405.(2)因为Error!所以Error!由得 q34，从而 q34，而 a1q32，于是 a12q312，所以 ana1qn12532n.三、等比数列通项公式的简单应用例 3已知数列an为等比数列，若 a2a32a1，且 a4与 2a7的等差中项为54，则a1a2a3an的最大值为()A5 B512 C1 024 D2 048答案C解析a2a3a1qa1q22a1，a42.a42a7a42a4q3254，q12，a1a4q316.故 an16(12)n12421n25n，所以 a116，a28，a34，a42，a51，a612a3，则公比 q 的取值范围是()A(1,2)B(0,2)C(，1)(2，)D(2，)答案D解析因为数列an是各项为负数的等比数列，则首项 a10，2a1a2a3，即 2a1a1qa1q2，两边同时除以 a1，得 q2q20，即(q1)(q2)0，解得 q2 或 q2.5 已知数列an满足 a11，an12an(n N*).若 am128，则正整数 m 的最大值是()A7 B8 C9 D10答案B解析由 a11，an12an(n N*)，可得an1an2，所以数列an是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，所以 ana1qn12n1，若 am128，则 2m1128，解得 m17，所以 m8，正整数 m 的最大值是 8.6(多选)已知正项等比数列an满足 a12，a42a2a3，若设其公比为 q，则()Aq2 Ban2nC18 是数列中的项 Danan13an，选项 D 正确7数列an中，a112，amnaman(m，n N*)，则 a6_.答案164解析由于m，nN*，有 amnaman，且 a112，令 m1，则 an1a1an12an，即数列an是首项为12，公比为12的等比数列，所以 ana1qn112(12)n1(12)n，故 a6(12)6164.8已知等比数列an的前三项依次为 a1，a1，a4，则 an_.答案4(32)n1解析由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得 a5，所以 a14，a26，所以 qa2a16432，所以 an4(32)n1.9在等比数列an中(1)已知 a34，a716，且 q0，求 an；(2)已知 a12，a38，求公比 q 和通项公式解(1)a7a3a1q6a1q2q44，q22，又 q0，q 2，ana3qn34(2)n3122n(nN*)(2)a3a1q2，即 82q2，q24，q2.当 q2 时，ana1qn122n12n，当 q2 时，ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比为 2 或2，对应的通项公式分别为 an2n或 an(1)n12n.10已知各项都为正数的数列an满足 a11，a2 n(2an11)an2an10.(1)求 a2，a3；(2)求数列an的通项公式解(1)由题意可得 a212，a314.(2)由 a2 n(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以an1an12.故an是首项为 1，公比为12的等比数列，因此 an12n1，nN*.11设 a12，数列12an是公比为 2 的等比数列，则 a6等于()A31.5 B160 C79.5 D159.5答案C解析12an(12a1)2n152n1，12a6525，a65 321279.5.12已知数列an是等比数列，则方程组Error!的解的情况为()A唯一解 B无解C无穷多组解 D不能确定答案C解析由题意，数列an是等比数列，可得a1a4a2a5a3a6，所以直线 a1xa2ya3与 a4xa5ya6重合，所以方程组Error!的解的个数为无数组解13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为 aij(i，jN*)，则 a53的值为()A.116 B.18C.516 D.54答案C解析第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以 a5114(51)1454.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第 5 行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以 a5354(12)2516.14一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比 q_.答案512解析由题意得：anan1an2，所以 1qq2，即 q2q10，解得 q1 52或 q1 52(舍去)15已知各项均为正数的等比数列an满足 a10a96a8，若存在两项 am，an使得 aman4a1，则1m4n的最小值为()A4 B.23 C.32 D9答案C解析因为各项均为正数的等比数列an满足 a10a96a8，可得 a8q2a8q6a8，即 q2q60，解得 q2 或 q3(舍去)aman4a1，2mn216，mn6，1m4n16(1m4n)(mn)16(5nm4mn)16(52nm4mn)32.当且仅当nm4mn，即 m2，n4 时，等号成立故1m4n的最小值等于32.16在a35，a2a56b2；b22，a3a43b3；S39，a4a58b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答已知等差数列an的公差为 d(d 1)，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，且 a1b1，dq，_；求数列an，bn的通项公式解选条件：因为 a35，所以 a12d5，因为 a2a56b2，a1b1，dq，所以 2a15d6a1d，联立Error!解得Error!或Error!(舍去)，则 a1b11，dq2，故 ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为 b22，a1b1，dq，所以 a1d2，因为 a3a43b3，所以 2a15d3a1d2，联立Error!解得Error!或Error!(舍去)，则 a1b11，dq2，故 ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为 S39，所以 3a13d9，因为 a4a58b2，a1b1，dq，所以 2a17d8a1d，联立Error!解得Error!或Error!(舍去)，则 a1b11，dq2，故 ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的通项公式等比数列的通项公式同学们，前面我们学习了等比数列的概念，和等差数列一样，我们也希望有一个式子来表示我们昨天提到的折纸每一次，其厚度是多少，或者当其厚度为多少时，我们折了多少次，这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式.导导 语语一、等比数列的通项公式一、等比数列的通项公式问题类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等比数列的首项是a1，公比是q，当n1时，上式也成立.方法二a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，由此可得ana1qn1，当n1时，上式也成立.等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则an (nN*).知识梳理知识梳理a1qn1例1写出下列等比数列的一个通项公式：(1)1,1，1,1，1；解数列的首项为1，公比为1，所以an(1)(1)n1(1)n；(3)5,10,20,40.解数列的首项为5，公比为2，所以an52n1.反思感悟写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，若公比是负数或分数时，需加括号.跟踪训练1已知等比数列的通项公式是an721n，试写出它的首项和公比.解当n1时，a172117，二、等比数列中的基本计算二、等比数列中的基本计算例2在等比数列an中：(1)a11，a48，求an；解因为a4a1q3，所以8q3，所以q2，所以ana1qn12n1.(2)an625，n4，q5，求a1；(3)a2a518，a3a69，an1，求n.又an1，即26n20，故n6.反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.跟踪训练跟踪训练2在等比数列an中：(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；解因为a5a1q4，而a15，所以a5405.(2)若a42，a78，求an.三、等比数列通项公式的简单应用三、等比数列通项公式的简单应用例例3已知数列 为等比数列，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为 ，则a1a2a3an的最大值为A.5 B.512 C.1 024 D.2 048解析a2a3a1qa1q22a1，a42.所以a116，a28，a34，a42，所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为168421 024.反思感悟会用基本量，即首项和公比来解决和等比数列有关的问题，仔细审题，抓住题目中的关键信息或限制条件.跟踪训练跟踪训练3在首项为1，公比不为1的等比数列 中，ama1a2a7，则m的值为A.20 B.22 C.24 D.28解析a11，amqm1q126，q1，m112621，故m22.1.知识清单：(1)等比数列通项公式的推导.(2)等比数列中的基本运算.(3)等比数列通项公式的简单应用.2.方法归纳：定义法，通项公式法.3.常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知等比数列 的通项公式为an3n2(nN*)，则该数列的公比是123412342.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4 B.8 C.6 D.32解析由等比数列的通项公式，得12842n1,2n132，所以n6.123412341 024所以a116，1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析根据数列可知，该数列是一个以1为首项，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16故a7a1q664.4.数列 是各项为负数的等比数列，若2a1a2a3，则公比q的取值范围是A.(1,2)B.(0,2)C.(，1)(2，)D.(2，)则首项a10，2a1a2a3，即2a1a1qa1q2，两边同时除以a1，得q2q20，故公比q的取值范围是q2.12345678910 11 12 13 14 15 16A.7 B.8 C.9 D.10所以ana1qn12n1，若am128，则2m1128，解得m17，所以m8，正整数m的最大值是8.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)已知正项等比数列 满足a12，a42a2a3，若设其公比为q，则A.q2 B.an2nC.18是数列中的项 D.anan13an，选项D正确.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.解析由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，12345678910 11 12 13 14 15 169.在等比数列an中.(1)已知a34，a716，且q0，求an；12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知a12，a38，求公比q和通项公式.解a3a1q2，即82q2，q24，q2.当q2时，ana1qn122n12n，当q2时，ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比为2或2，对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知各项都为正数的数列an满足a11，(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求数列an的通项公式.得2an1(an1)an(an1).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.设a12，数列12an是公比为2的等比数列，则a6等于A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5解析12an(12a1)2n152n1，12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知数列 是等比数列，则方程组 的解的情况为A.唯一解 B.无解C.无穷多组解 D.不能确定所以直线a1xa2ya3与a4xa5ya6重合，12345678910 11 12 13 14 15 1613.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，jN*)，则a53的值为12345678910 11 12 13 14 15 16又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，12345678910 11 12 13 14 15 1614.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q_.解析由题意得：anan1an2，所以1qq2，即q2q10，拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16可得a8q2a8q6a8，即q2q60，解得q2或q3(舍去).2mn216，mn6，12345678910 11 12 13 14 15 1616.在a35，a2a56b2；b22，a3a43b3；S39，a4a58b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.12345678910 11 12 13 14 15 16解选条件：因为a35，所以a12d5，因为a2a56b2，a1b1，dq，所以2a15d6a1d，则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为b22，a1b1，dq，所以a1d2，因为a3a43b3，所以2a15d3a1d2，则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.选条件：因为S39，所以3a13d9，因为a4a58b2，a1b1，dq，所以2a17d8a1d，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16则a1b11，dq2，故ana1(n1)d2n1，bnb1qn12n1.