苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等比数列的综合问题》教案及课件.zip

习题课等比数列的综合问题习题课等比数列的综合问题学习目标 1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法一、等比数列的实际应用例 1某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的速度贬值(1)用一个式子表示 n(nN*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得 a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列的定义，知数列an是等比数列，首项 a113.5，公比 q110%0.9，ana1qn113.50.9n1.n 年后车的价值为 an1(13.50.9n)万元(2)由(1)得 a5a1q413.50.948.9(万元)，用满 4 年时卖掉这辆车，大概能得到 8.9 万元反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题跟踪训练 1有纯酒精 a(a1)升，从中取出 1 升，再用水加满，然后再取出 1 升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升答案(11a)8(21a)解析由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以 1 为首项，11a为公比的等比数列，即第一次取出的纯酒精为 1 升，第二次取出的为(11a)升，第三次取出的为(11a)2升，第 n 次取出的纯酒精为(11a)n1升，则第九次和第十次共取出纯酒精数量为a9a10(11a)8(11a)9(11a)8(21a)(升)二、等差数列与等比数列的转化问题 1若等差数列 an2n1，那么数列22n1是等差或等比数列吗？提示设 bn22n1，则 bnbn122n122n122n1(41)322n1不是常数，故bn不是等差数列；而bnbn122n122n122n1(2n1)224，是常数，故bn是等比数列问题 2若等比数列 an2n，则lg an为等差数列吗？提示若等比数列 an2n，则 bnlg anlg 2nnlg 2 是关于 n 的一次函数，是等差数列知识梳理 1若数列an是公差为 d 的等差数列，则数列naa是等比数列2若数列an是公比为 q(q0)的等比数列，则数列logaan是等差数列注意点：(1)其底数 a 满足 a0，且 a1；(2)等比数列naa的公比为 ad；(3)等差数列logaan的公差为 logaq.例 2已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn12na，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意得，an2(n1)(1)3n，于是 bn(12)3n.而bn1bn(12)2n(12)3n(12)12.数列bn是首项为14，公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn142n12n3.延伸探究已知各项均为正数的等比数列an满足：a4128，a8215.设 bnlog2an，求证：数列bn是等差数列，并求其通项公式解设等比数列an的公比为 q，由已知得 q4a8a428.数列an是各项均为正数的等比数列，q4，a1a4q32，an24n122n1.又bnbn1log2anlog2an1log242(n 2)，b1log2a11，数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，bn2n1.反思感悟在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义跟踪训练 2数列an满足 log2an1log2an1(nN*)，若 a1a3a2n12n，则log2(a2a4a6a2n)的值是()An1 Bn1 C2n1 D2n1答案A解析由 log2an1log2an1，即 log2an1log2an1，即 log2an1an1 得an1an12，数列an是等比数列，首项为 a1，公比为12，a1a3a2n12n，a2a4a2n12(a1a3a2n1)2n1，则 log2(a2a4a6a2n)n1.三、等比数列的综合应用例 3已知an为等差数列，且 a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前 n 项和为 Sn，若 a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数 k 的值解(1)设数列an的公差为 d，由题意知Error!Error!解得Error!Error!所以 ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得 Snna1an2n22n2n(1n)因为 a1，ak，Sk2成等比数列，所以 a2 ka1Sk2，从而(2k)22(k2)(k3)，即 k25k60，解得 k6 或 k1(舍去)，因此 k6.反思感悟解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用(2)对于解答题注意基本量及方程思想(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系跟踪训练 3若等比数列an满足 2a1a2a3a4，a5a115.(1)求数列an的首项 a1和公比 q；(2)若 ann100，求 n 的取值范围解(1)由题意，得Error!Error!解得 a11，q2.(2)由(1)可知 an2n1，即 2n1n100，验证可得 n8，nN*.1知识清单：(1)等比数列的实际应用(2)等差数列与等比数列的相互转化(3)等比数列的综合应用2方法归纳：公式法、构造法3常见误区：在应用题中，容易忽视数列的首项和项数1某细菌培养过程中，每 15 分钟分裂 1 次，经过 2 小时，这种细菌由 1 个繁殖成()A64 个 B128 个 C256 个 D255 个答案C解析某细菌培养过程中，每 15 分钟分裂 1 次，经过 2 小时，共分裂 8 次，所以经过 2 小时，这种细菌由 1 个繁殖成 28256 个2已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则 a1a15的值为()A100 B100C10 000 D10 000答案C解析lg(a3a8a13)lg a3 86，a3 8106，a8102100.a1a15a2 810 000.3若 a，b，c 成等比数列，其中 a，b，c 均是不为 1 的正数，n 是大于 1 的整数，那么logan，logbn，logcn()A是等比数列 B是等差数列C每项取倒数成等差数列 D每项取倒数成等比数列答案C解析因为 a，b，c 成等比数列，可知 logna，lognb，lognc 成等差数列，即1logan，1logbn，1logcn成等差数列4若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则a2b2_.答案1解析an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，则a2b2221.课时对点练课时对点练1在正项等比数列an中，a2a74，则 log2a1log2a2log2a8等于()A2 B4 C6 D8答案D解析原式log2(a1a2a3a8)log2(a2a7)44log248.2数列an是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为()A.2 B4 C2 D.12答案C解析因为 a1，a3，a7为等比数列bn中的连续三项，所以 a2 3a1a7，设数列an的公差为 d，则 d0，所以(a12d)2a1(a16d)，所以 a12d，所以公比 qa3a14d2d2.3 等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6成等比数列，则an的前 6 项和为()A24 B3 C3 D8答案A解析根据题意得 a2 3a2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得 d0(舍去)，d2，所以数列an的前 6 项和为 S66a16 52d166 52(2)24.4已知 a1，a2，a3，an为各项都大于零的等比数列，公比 q1，则()Aa1a8a4a5Ba1a80，q0，q1，所以若 q1，则 1q30,1q40，所以 a1a8a4a5；若 0q0,1q40，所以 a1(1q3)(1q4)0，所以 a1a8a4a5.所以恒有 a1a8a4a5.5已知an是等差数列，且公差 d0，若 a12a，b32a，c52a，则 a，b，c()A是等比数列，非等差数列B是等差数列，非等比数列C既非等比数列，又非等差数列D既是等差数列，又是等比数列答案A解析由an是等差数列，且公差 d0，得 a1，a3，a5是公差为 2d 的等差数列，故 a，b，c 成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而 a，b，c 不是常数列，故 a，b，c 不是等差数列6(多选)已知等比数列an的公比 q23，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10b10，则以下结论正确的有()Aa9a100 Ba9a10Cb100 Db9b10答案AD解析由题意，得 a9a1(23)8，a10a1(23)9，a9a10a2 1(23)170，故 A 正确；a1正负不确定，故 B 错误；a10正负不确定，由 a10b10，不能确定 b10的符号，故 C 错误；由 a9b9且 a10b10，得 a1(23)8128d，a1(23)9129d，由于 a9，a10异号，因此 a90 或 a100，故 b90 或 b101，公比 q0.设 bnlog2an，且 b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前 n 项和 Sn及an的通项公式 an.(1)证明因为 bnlog2an，所以 bn1bnlog2an1log2anlog2an1anlog2q(q0)为常数，所以数列bn为等差数列且公差 dlog2q.(2)解因为 b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即 b32.又因为 a11，所以 b1log2a10，又因为 b1b3b50，所以 b50，即Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!因此 Sn4nnn12(1)9nn22.又因为 dlog2q1，所以 q12，b1log2a14，即 a116，所以 an25n(nN*)11设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1等于()A2 B2C.12 D12答案D解析因为an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，所以 Snna112n(n1)(1)，由 S1，S2，S4成等比数列可知 S2 2S1S4，代入可得(2a11)2a1(4a16)，解得 a112.12已知等比数列an中，a214，a5132，则数列log2an的前 10 项之和是()A45 B35 C55 D55答案D解析设等比数列an的公比为 q，由 a214，a5132，可得 a2q314q3132，解得 q12，又由 a1qa11214，解得 a112，所以 an(12)n，则 log2anlog2(12)nn，数列log2an的前 10 项之和为S1010 110255.13若等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a9a122e5，则 ln a1ln a2ln a20_.答案50解析根据等比数列的性质可得 a10a11a9a12，所以 a10a11e5.令 Sln a1ln a2ln a20，则 Sln a20ln a19ln a1，于是 2S20ln(a1a20)20ln(a10a11)20ln e5100，所以 S50.14若数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2Sn3，则an的通项公式是_答案an3(1)n1解析由 an2Sn3 得 an12Sn13(n2)，两式相减得 anan12an(n2)，anan1(n2)，又 a13，故an是首项为 3，公比为1 的等比数列，an3(1)n1.15已知 a1，a2，a3，an是各项不为零的 n(n4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则 n 的值为()A4 B6 C7 D无法确定答案A解析当 n6 时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则 n4 或 n5.当 n5 时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时 a1a5a2a4a1(a14d)(a1d)(a13d)d0，不满足题意故 n4.验证过程如下：当 n4 时，有 a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列如果删去 a1或 a4，则等于有 3 个项既是等差又是等比，不满足题意故可以知道删去的是 a2或 a3.如果删去的是 a2，则 a1a3a3a4，故 a1(a13d)(a12d)2，整理得到 3a1d4a1d4d2，即 4d2a1d0，故 4da10，即a1d4.如果删去的是 a3，则 a1a2a2a4，故 a1(a13d)(a1d)2，整理得 3a1d2a1dd2，即 a1dd2，故 a1d，即a1d1.可得a1d4 或 1.16已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11，nSn1(n1)Snnn12，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数 k，使 ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由解(1)方法一由 nSn1(n1)Snnn12，得Sn1n1Snn12，数列Snn是首项为S111，公差为12的等差数列，Snn112(n1)12(n1)，Snnn12.当 n2 时，anSnSn1nn12n1n2n.而 a11 适合上式，ann.方法二由 nSn1(n1)Snnn12，得 n(Sn1Sn)Snnn12，nan1Snnn12，当 n2 时，(n1)anSn1nn12，得 nan1(n1)anannn12nn12，nan1nann，an1an1，数列an是从第 2 项起的等差数列，且首项为 a22，公差为 1，an2(n2)1n(n2)而 a11 适合上式，ann.(2)由(1)知 ann，Snnn12.假设存在正整数 k，使 ak，S2k，a4k成等比数列，则 S2 2kaka4k，即2k2k122k4k.k 为正整数，(2k1)24.得 2k12 或 2k12，解得 k12或 k32，与 k 为正整数矛盾不存在正整数 k，使 ak，S2k，a4k成等比数列苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的综合问题等比数列的综合问题一、等比数列的实际应用一、等比数列的实际应用例1某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值；解从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列的定义，知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q110%0.9，ana1qn113.50.9n1.n年后车的价值为an1(13.50.9n)万元(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解由(1)得a5a1q413.50.948.9(万元)，用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.跟踪训练1有纯酒精 a(a1)升，从中取出 1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升.解析由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，即第一次取出的纯酒精为1升，二、等差数列与等比数列的转化二、等差数列与等比数列的转化问题1若等差数列an2n1，那么数列 是等差或等比数列吗？提示设bn22n1，则bnbn122n122n122n1(41)322n1不是常数，问题2若等比数列an2n，则lg an为等差数列吗？提示若等比数列an2n，则bnlg anlg 2nnlg 2是关于n的一次函数，是等差数列.1.若数列 是公差为d的等差数列，则数列 是等比数列.2.若数列 是公比为q(q0)的等比数列，则数列logaan是等差数列.注意点：(1)其底数a满足a0，且a1；(2)等比数列=的公比为ad；(3)等差数列的公差为logaq.知识梳理知识梳理例2已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bn ，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式.解依题意得，an2(n1)(1)3n，延伸探究已知各项均为正数的等比数列 满足：a4128，a8215.设bnlog2an，求证：数列 是等差数列，并求其通项公式.b1log2a11，bn2n1.反思感悟在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.跟踪训练跟踪训练2数列 满足log2an1log2an1(nN*)，若a1a3a2n12n，则log2(a2a4a6a2n)的值是A.n1 B.n1 C.2n1 D.2n1解析由log2an1log2an1，即log2an1log2an1，a1a3a2n12n，则log2(a2a4a6a2n)n1.三、等比数列的综合应用三、等比数列的综合应用例3已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；解设数列an的公差为d，所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值.即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.因为a1，ak，Sk2成等比数列，反思感悟解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.解得a11，q2.(2)若ann100，求n的取值范围.解由(1)可知an2n1，即2n1n100，验证可得n8，nN*.1.知识清单：(1)等比数列的实际应用.(2)等差数列与等比数列的相互转化.(3)等比数列的综合应用.2.方法归纳：公式法、构造法.3.常见误区：在应用题中，容易忽视数列的首项和项数.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64个 B.128个 C.256个 D.255个解析某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28256个.123412342.已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为A.100 B.100C.10 000 D.10 00012343.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcnA.是等比数列 B.是等差数列C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列解析因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，4.若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析an为等差数列，a11，a48a13d13d，d3，a2a1d132.bn为等比数列，b11，b48b1q3q3，q2，b2b1q2，11234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在正项等比数列an中，a2a74，则log2a1log2a2log2a8等于A.2 B.4 C.6 D.8解析原式log2(a1a2a3a8)log2(a2a7)44log248.2.数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为解析因为a1，a3，a7为等比数列bn中的连续三项，设数列an的公差为d，则d0，所以(a12d)2a1(a16d)，所以a12d，12345678910 11 12 13 14 15 163.等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an的前6项和为A.24 B.3 C.3 D.8即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d0(舍去)，d2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 164.已知a1，a2，a3，an为各项都大于零的等比数列，公比q1，则A.a1a8a4a5B.a1a80，q0，q1，所以若q1，则1q30,1q40，所以a1a8a4a5；若0q0,1q40，所以a1(1q3)(1q4)0，所以a1a8a4a5.所以恒有a1a8a4a5.12345678910 11 12 13 14 15 165.已知 是等差数列，且公差d0，若a ，b ，c ，则a，b，cA.是等比数列，非等差数列B.是等差数列，非等比数列C.既非等比数列，又非等差数列D.既是等差数列，又是等比数列12345678910 11 12 13 14 15 16得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)已知等比数列an的公比q ，等差数列bn的首项b112，若a9b9且a10b10，则以下结论正确的有A.a9a100 B.a9a10C.b100 D.b9b1012345678910 11 12 13 14 15 16a1正负不确定，故B错误；a10正负不确定，由a10b10，不能确定b10的符号，故C错误；由于a9，a10异号，因此a90或a100，故b90或b101，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；证明因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2an所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求bn的前n项和Sn及an的通项公式an.12345678910 11 12 13 14 15 16解因为b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因为a11，所以b1log2a10，又因为b1b3b50，所以b50，12345678910 11 12 13 14 15 16又因为dlog2q1，即a116，所以an25n(nN*).12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于A.2 B.212345678910 11 12 13 14 15 16解析因为an是首项为a1，公差为1的等差数列，代入可得(2a11)2a1(4a16)，12345678910 11 12 13 14 15 16A.45 B.35 C.55 D.5512345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.解析根据等比数列的性质可得a10a11a9a12，所以a10a11e5.令Sln a1ln a2ln a20，则Sln a20ln a19ln a1，于是2S20ln(a1a20)20ln(a10a11)20ln e5100，所以S50.5012345678910 11 12 13 14 15 1614.若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_.解析由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，又a13，故an是首项为3，公比为1的等比数列，an3(1)n1.an3(1)n1拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知a1，a2，a3，an是各项不为零的n(n4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为A.4 B.6 C.7 D.无法确定解析当n6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n4或n5.当n5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5a2a4a1(a14d)(a1d)(a13d)d0，不满足题意.故n4.验证过程如下：当n4时，有a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列.如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意.故可以知道删去的是a2或a3.12345678910 11 12 13 14 15 16如果删去的是a2，则a1a3a3a4，故a1(a13d)(a12d)2，整理得到3a1d4a1d4d2，即4d2a1d0，故4da10，如果删去的是a3，则a1a2a2a4，故a1(a13d)(a1d)2，整理得3a1d2a1dd2，即a1dd2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11，nSn1(n1)Sn ，nN*.(1)求数列an的通项公式；12345678910 11 12 13 14 15 16而a11适合上式，ann.12345678910 11 12 13 14 15 16nan1nann，an1an1，12345678910 11 12 13 14 15 16数列an是从第2项起的等差数列，且首项为a22，公差为1，an2(n2)1n(n2).而a11适合上式，ann.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.12345678910 11 12 13 14 15 16假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，k为正整数，(2k1)24.得2k12或2k12，不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.