苏教版高中数学选择性必修一第4章4.4第2课时《数学归纳法的综合应用》教案及课件.zip

第第 2 课时数学归纳法的综合应用课时数学归纳法的综合应用学习目标 1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题一、用数学归纳法证明不等式例 1用数学归纳法证明：1221321421n211n(n2，nN*)证明(1)当 n2 时，左边12214，右边11212.显然1412，所以不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1221321421k211k，则当 nk1 时，1221321421k21k1211k1k121k12kkk121k2k1kk12k(k 为正整数)，则 n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从 nk 到 nk1 的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往要先对 n 取前 k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 k 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 时成立，得 nk1 时成立，主要方法有比较法、放缩法等跟踪训练 1求证：12131412n1n22(n2)证明(1)当 n2 时，左边120右边，不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立即121312k1k22成立那么当 nk1 时，121312k112k1112k12k1k2212k1112kk2212111222kkkk个k222k12kk122，当 nk1 时，不等式成立由(1)(2)可知，不等式对一切 nN*且 n2 时成立二、归纳猜想证明例 2在数列an中，a11，a214，且 an1n1annan(n2，nN*)，求 a3，a4，猜想 an的表达式，并加以证明解a214，且 an1n1annan(n2)，a3a22a21421417，a42a33a32 17317110.猜想：an13n2(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当 n1,2 时易知猜想正确(2)假设当 nk(k2，kN*)时猜想正确，即 ak13k2.当 nk1 时，ak1k1akkakk113k2k13k2k13k23k22k13k2k13k22k1k13k1k113k113k12.当 nk1 时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意 nN*都正确反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式跟踪训练 2已知数列11 4，14 7，17 10，13n23n1，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前 n 项和 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S111 414；S21414 727；S32717 10310；S4310110 13413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n1.于是可以猜想 Snn3n1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当 n1 时，左边S114，右边n3n113 1114，猜想成立(2)假设当 nk(kN*)时猜想成立，即11 414 717 1013k23k1k3k1，当 nk1 时，11 414 717 1013k23k113k123k11k3k113k13k43k24k13k13k43k1k13k13k4k13k11，所以当 nk1 时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何 nN*都成立三、整除问题例 3证明：当 nN*时，f(n)32n28n9 能被 64 整除证明(1)当 n1 时，f(1)348964 能被 64 整除(2)假设当 nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9 能被 64 整除，则当 nk1 时，f(k1)32(k1)28(k1)9932k28k179(32k28k9)64k64.故 f(k1)也能被 64 整除综合(1)(2)，知当 nN*时，f(n)32n28n9 能被 64 整除反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当 nk1 时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及 nk 时的代数式，根据归纳假设即可证明跟踪训练 3用数学归纳法证明当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除证明(1)当 n1 时，xnynxy 显然能被 xy 整除(2)假设当 nk(kN*且 k 为奇数)时命题成立，即 xkyk能被 xy 整除，当 nk2 时，xk2yk2x2(xkyk)yk2x2ykx2(xkyk)yk(xy)(xy)又根据假设 xkyk能被 xy 整除，x2(xkyk)能被 xy 整除又(xy)(xy)yk能被 xy 整除，x2(xkyk)yk(xy)(xy)能被 xy 整除，当 nk2 时命题成立由(1)(2)知，命题成立1知识清单：(1)利用数学归纳法证明不等式(2)归纳猜想证明(3)利用数学归纳法证明整除问题2方法归纳：数学归纳法3常见误区：从 nk 到 nk1 时，注意两边项数的变化1用数学归纳法证明 1121312n11)时，第一步应验证不等式()A1122 B112132C112133 D11213143答案B解析由题意得，当 n2 时，不等式为 1121312，112131,112131732，112131152,1121313152，由此猜测第 n 个不等式为_(nN*)答案1121312n1n2课时对点练课时对点练1用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1 Bn2 Cn3 Dn4答案C解析由题意知，n 的最小值为 3，所以第一步验证 n3 是否成立2已知 87,169,3211，则有()A2n2n1 B2n12n1C2n22n5 D2n32n7答案C解析由 87,169,3211 可知第一项为 87212215，第二项为 169222225，第三项为 3211232235，以此类推第 n 项为 2n22n5.3 用数学归纳法证明“(3n1)7n1(n N*)能被 9 整除”，在假设 nk 时命题成立之后，需证明 nk1 时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被 9 整除()A37k6 B37k16C37k3 D37k13答案B解析假设 nk 时命题成立，即(3k1)7k1 能被 9 整除，当 nk1 时，3(k1)17k113k17k1(3k4)7k1(3k1)7k(3k1)37k1(3k1)7k(3k1)7k137k1(3k1)7k6(3k1)7k37k16(3k1)7k137k16(3k1)7k1 能被 9 整除要证上式能被 9 整除，还需证明 37k16 也能被 9 整除4在数列an中，a12，an1an3an1(nN*)，依次计算 a2，a3，a4归纳推测出数列an的通项公式为()A.24n3 B.26n5C.24n3 D.22n1答案B解析a12，a227，a3213，a4219，可推测 an26n5.5(多选)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：当 f(k)k1 成立时，总有 f(k1)k2 成立则下列命题总成立的是()A若 f(5)6 成立，则 f(6)7 成立B若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k1 成立C若 f(2)nn1对任意 nk(n，k N)的自然数都成立，则以下满足条件的 k 的值为()A1 B2 C3 D4答案CD解析取 n1，则2n12n113，nn112，2n12n1nn1不成立；取 n2，则2n12n135，nn123，2n12n1nn1不成立；取 n3，则2n12n179，nn134，2n12n1nn1成立；取 n4，则2n12n11517，nn145，2n12n1nn1成立；证明：当 n3 时，2n12n1nn1成立当 n3，则2n12n179，nn134，2n12n1nn1成立；设当 nk(k 3)时，有2k12k1kk1成立，则当 nk1 时，有2k112k1132k12k112k12k13，令 t2k12k1，则2k112k113t1t338t3，因为 tkk1，故2k112k1138kk134k14k3，因为4k14k3k1k22k1(4k3)(k2)0，所以2k112k11k1k2k1(k1)1，所以当 nk1 时，不等式也成立，由数学归纳法可知，2n12n1nn1对任意的 n3 都成立7已知 f(n)112131n(nN*)，用数学归纳法证明 f(2n)n2时，f(2k1)f(2k)_.答案12k112k212k1解析f(2k1)1121312k12k112k212k1f(2k)12k112k212k1，f(2k1)f(2k)12k112k212k1.8已知 Sn11 313 515 712n12n1，nN*，则 S1_，S2_，S3_，S4_，猜想 Sn_.答案13253749n2n1解析当 n1 时，S113；当 n2 时，S225；当 n3 时，S337；当 n4 时，S449.观察猜想得 Snn2n1.9已知数列an满足 a116，前 n 项和 Snnn12an.(1)求 a2，a3，a4的值；(2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明解(1)a116，前 n 项和 Snnn12an，令 n2，得 a1a23a2，a212a1112.令 n3，得 a1a2a36a3，a3120.令 n4，得 a1a2a3a410a4，a4130.(2)猜想 an1n1n2，下面用数学归纳法给出证明当 n1 时，结论成立；假设当 nk(kN*，k1)时，结论成立，即 ak1k1k2，Skkk12akk2k2，则当 nk1 时，Sk1k1k22ak1，即 Skak1k1k22ak1，k2k2ak1k1k22ak1，kk32ak1k2k2，ak11k2k3，当 nk1 时结论成立由可知，对一切 nN*都有 an1n1n2成立10求证：1n11n213n56(n2，nN*)证明(1)当 n2 时，左边13141516576056，不等式成立(2)假设当 nk(k2，kN*)时不等式成立，即1k11k213k56.则当 nk1 时，1k111k12 13k13k113k213k31k11k2 13k(13k113k213k31k1)56(13k113k213k31k1)56(3 13k31k1)56.所以当 nk1 时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*都成立11在用数学归纳法证明 f(n)1n1n112n1(nN*，n3)的过程中：假设当 nk(kN*，k3)，不等式 f(k)1 成立，则需证当 nk1 时，f(k1)1 也成立 若 f(k1)f(k)g(k)，则 g(k)等于()A.12k112k2 B.12k112k21kC.12k21k D.12k212k答案B解析当 nk1 时，f(k1)1k11k212k12k112k2，又 f(k)1k1k112k，所以 g(k)12k112k21k，故选 B.12已知数列an满足 a123，an123na，nN*，则下列结论成立的是()Aa2 019a2 020a2 018 Ba2 020a2 019a2 018Ca2 019a2 018a2 020 Da2 018a2 01923a1，所以 1a2a1，所以(23)1212233aa，即 a1a3a2，所以132222333aaa，即 a3a4a2，所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数 2n 时，有 a2n1a2na2n2，以下为证明：当 n2 时，a3a4a2成立，设当 nk 时，a2k1a2ka2k2成立，当 nk1 时，因为 a2k1a2ka2k2，所以有21222222333kkkaaa，即 a2k1a2k1a2k成立所以21212222333kkkaaa，即 a2k1a2k2a2k.所以当 nk1 时，猜想也成立故当连续三项的下标最大项为偶数 2n 时，有 a2n1a2na2n2，所以 a2 019a2 020n21(nN*，n2)时，以下说法正确的是()A第一步应该验证当 n1 时不等式成立B从“nk 到 nk1”左边需要增加的代数式是12kC从“nk 到 nk1”左边需要增加 2k项D从“nk 到 nk1”左边需要增加的代数式是12k1112k1212k答案D解析第一步应该验证当 n2 时不等式成立，所以 A 不正确；因为12131412k(12131412k1)12k1112k1212k，所以从“nk 到 nk1”左边需要增加的代数式是12k1112k1212k，所以 B 不正确，D 正确；所以从“nk 到 nk1”左边需要增加 2k1项，所以 C 不正确14 用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现 k3即可15 已知 f(n)(2n7)3n9，存在自然数 m，使得对任意 nN*，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为()A30 B9 C36 D6答案C解析由 f(n)(2n7)3n9，得 f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想 m36.下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，显然成立(2)假设 nk 时，f(k)能被 36 整除，即 f(k)(2k7)3k9 能被 36 整除；当 nk1 时，2(k1)73k1932k73k91823k132k73k918(3k11).3k11 是 2 的倍数，18(3k11)能被 36 整除，当 nk1 时，f(n)也能被 36 整除由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)(2n7)3n9能被 36 整除，m 的最大值为 36.16试比较 2n2 与 n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论解当 n1 时，2124n21，当 n2 时，2226n24，当 n3 时，23210n29，当 n4 时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当 n2 时，左边2226，右边224，所以左边右边；当 n3 时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设当 nk 时(k3 且 kN*)时，不等式成立，即 2k2k2.那么当 nk1 时，2k1222k22(2k2)22k22.又2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即 2k22(k1)2，故 2k12(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任意 nN*都成立苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件数学归纳法的综合应用数学归纳法的综合应用一、用数学归纳法证明不等式一、用数学归纳法证明不等式例1用数学归纳法证明：(2)假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，则当nk1时，所以当nk1时，不等式也成立.综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立.反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，得nk1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.不等式成立.(2)假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立.当nk1时，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切nN*且n2时成立.二、归纳二、归纳猜想猜想证明证明例2在数列an中，a11，a2 ，且an1 (n2，nN*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明.下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n1,2时易知猜想正确.(2)假设当nk(k2，kN*)时猜想正确，当nk1时，当nk1时猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意nN*都正确.反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.跟踪训练跟踪训练2已知数列计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.猜想成立.(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，当nk1时，所以当nk1时猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立.三、整除问题三、整除问题例3证明：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除.证明(1)当n1时，f(1)348964能被64整除.(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除，则当nk1时，f(k1)32(k1)28(k1)9932k28k179(32k28k9)64k64.故f(k1)也能被64整除.综合(1)(2)，知当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除.反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当nk1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及nk时的代数式，根据归纳假设即可证明.跟踪训练跟踪训练3用数学归纳法证明当n为正奇数时，xnyn能被xy整除.证明(1)当n1时，xnynxy显然能被xy整除.(2)假设当nk(kN*且k为奇数)时命题成立，即xkyk能被xy整除，当nk2时，xk2yk2x2(xkyk)yk2x2ykx2(xkyk)yk(xy)(xy).又根据假设xkyk能被xy整除，x2(xkyk)能被xy整除.又(xy)(xy)yk能被xy整除，x2(xkyk)yk(xy)(xy)能被xy整除，当nk2时命题成立.由(1)(2)知，命题成立.1.知识清单：(1)利用数学归纳法证明不等式.(2)归纳猜想证明.(3)利用数学归纳法证明整除问题.2.方法归纳：数学归纳法.3.常见误区：从nk到nk1时，注意两边项数的变化.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练12341234即5k2k能被3整除，则当nk1时，5k12k155k22k 55k52k52k22k 123412343.已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证A.n1 B.n2 C.n3 D.n4解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知87,169,3211，则有A.2n2n1 B.2n12n1C.2n22n5 D.2n32n7解析由87,169,3211可知第一项为87212215，第二项为169222225，第三项为3211232235，以此类推第n项为2n22n5.12345678910 11 12 13 14 15 163.用数学归纳法证明“(3n1)7n1 能被9整除”，在假设nk时命题成立之后，需证明nk1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被9整除.A.37k6 B.37k16C.37k3 D.37k1312345678910 11 12 13 14 15 16解析假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，(3k1)7k1能被9整除.要证上式能被9整除，还需证明37k16也能被9整除.4.在数列an中，a12，an1 (nN*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列an的通项公式为12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总有f(k1)k2成立.则下列命题总成立的是A.若f(5)6成立，则f(6)7成立B.若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C.若f(2)3成立，则f(1)2成立D.若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立12345678910 11 12 13 14 15 16解析若f(5)6成立，由题意知f(6)7成立，故A正确；若f(4)5成立，则f(n01)n02(n04，n0N*)，即f(k)k1(k5)，结合f(4)5，所以当k4时，均有f(k)k1成立，故D正确.所以选AD.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16证明：12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16所以当nk1时，不等式也成立，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(1)求a2，a3，a4的值；12345678910 11 12 13 14 15 16(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当n1时，结论成立；当nk1时结论成立.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16证明(1)当n2时，不等式成立.(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，则当nk1时，12345678910 11 12 13 14 15 16所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.在用数学归纳法证明f(n)1(nN*，n3)的过程中：假设当nk(kN*，k3)，不等式f(k)1成立，则需证当nk1时，f(k1)1也成立.若f(k1)f(k)g(k)，则g(k)等于12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.已知数列an满足a1 ，an1 ，nN*，则下列结论成立的是A.a2 019a2 020a2 018 B.a2 020a2 019a2 018C.a2 019a2 018a2 020 D.a2 018a2 019a2a1，即a1a3a2，所以 ，即a3a4a2，12345678910 11 12 13 14 15 16所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n1a2na2n2，以下为证明：当n2时，a3a4a2成立，设当nk时，a2k1a2ka2k2成立，当nk1时，因为a2k1a2ka2k2，所以有 ，即a2k1a2k1a2k成立.12345678910 11 12 13 14 15 16所以 ，即a2k1a2k2a2k.所以当nk1时，猜想也成立.故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n1a2na2n2，所以a2 019a2 020n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，12345678910 11 12 13 14 15 16所以左边右边，所以原不等式成立.当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边.(2)假设当nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2.那么当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.12345678910 11 12 13 14 15 16又2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立.根据(1)和(2)，原不等式对于任意nN*都成立.