苏教版高中数学选择性必修一第4章4.3.3第1课时《等比数列的前n项和》教案及课件.zip

4.3.3等比数列的前等比数列的前 n 项和项和第第 1 课时等比数列的前课时等比数列的前 n 项和项和学习目标 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题导语在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱一、等比数列前 n 项和公式的推导问题 1若等比数列an的首项是 a1，公比是 q，如何求该等比数列的前 n 项的和？提示思路一：因为 Sna1a2a3an1an，所以 Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得 qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得 SnqSna1a1qn，即(1q)Sna1(1qn)，当 q1 时，有 Sna11qn1q，而当 q1 时，Snna1.上述等比数列求前 n 项和的方法，我们称为“错位相减法”利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S2222327212712282254.思路二：当 q1 时，由等比数列的定义得：a2a1a3a2anan1q，根据等比数列的性质，有a2a3ana1a2an1Sna1Snanq，Sna1Snanq(1q)Sna1anq，所以当 q1 时，Sna1anq1q，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前 n 项和的两种形式，而这两种形式可以利用 ana1qn1相互转化思路三：Sna1a2a3ana1q(a1a2an1)，所以有 Sna1qSn1Sna1q(Snan)(1q)Sna1anq，所以当 q1 时，Sna1anq1q或 Sna11qn1q，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决问题 2同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？提示S64122223263126412264118 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要 5 800 亿年同学们，看来学好数学是多么的重要知识梳理 等比数列的前 n 项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一 SnError!Error!公式二 SnError!Error!注意点：(1)用等比数列前 n 和公式求和，一定要对该数列的公比 q1 和 q1 进行分类讨论；(2)公式一中的 n 表示的是所求数列的项数；(例如 12222n1 12n112)；(3)公式二中的 an在求和时，表示数列的最后一项；(例如 12222n12n 212)(4)等比数列前 n 项和公式的结构特点即 qn的系数与常数项互为相反数即 SnAqnA.例 1求下列等比数列前 8 项的和：(1)12，14，18，；(2)a127，a91243，q0.解(1)因为 a112，q12，所以 S8121(12)8112255256.(2)由 a127，a91243，可得124327q8.又由 q0，因为 a1a5a2 31，a3a1q21，所以1a11a31a511a11a51a5a1a1a51a1a5a111a1214，解得Error!Error!或Error!Error!当 a14，q12时，S54(1125)112314，数列an是递减数列；当 a114，q2 时，S5314，数列an是递增数列；综上，S5314.7若等比数列an的前 n 项和 Sn23nr，则 r_.答案2解析Sn23nr，由等比数列前 n 项和的性质得 r2.8设数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 ab1ab2ab3ab10_.答案1 033解析数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，an2(n1)1n1，bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，bn12n12n1，abn2n11，ab1ab2ab3ab10121012101 033.9已知等差数列an的前 4 项和为 10，且 a2，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnan2n，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)设等差数列an的公差为 d，由题意，得Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!所以 an52或 an23(n1)3n5.(2)当 an52时，bn522n，此时 Snb1b2bn52n2(12n)122n152n2；当 an3n5 时，bn(3n5)2n，此时 Snb1b2bn23n52n2(12n)122n132n272n2.10已知等差数列an的前 n 项的和为 Sn，且 a35，S39.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn123na 1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设等差数列an的公差为 d，则Error!Error!解得Error!Error!故数列an的通项公式为 an12(n1)，即 an2n1.(2)由(1)得 bn123na 13n1，所以 Tn(332333n)n3n12n32.11等比数列an的公比为 q(q1)，则数列 a3，a6，a9，a3n，的前 n 项和为()A.a1(1q2n)1q B.a1(1q3n)1q3C.a3(1q3n)1q3 D.a2(1q2n)1q答案C解析依题意得等比数列an的通项 ana1qn1，所以 a3na1q3n1，因为a3n1a3na1q3n11a1q3n1q3，所以数列a3n是首项为 a3，公比为 q3的等比数列，因为 q1，所以 q31，所以数列a3n的前 n 项和为a31q3n1q3a3(1q3n)1q3.12已知数列an满足 a112a2122a312n1ann，记数列2ann的前 n 项和为 Sn，则 Sn等于()A2nn22n2 B2nn22n21C2n1n22n22 D2nn22n22答案C解析因为 a112a2122a312n1ann，所以有 a11，当 n2，nN*时，有 a112a2122a312n2an1n1，由得，12n1an1an2n1，显然当 n1 时，也适合，所以 an2n1(nN*)，令 2annbn，所以 bn2nn，因此有Sn(21)(222)(233)(2nn)(222232n)(123n)212n121nn22n12n2n222n1n22n22.13设 f(n)223252722n7(n N*)，则 f(n)等于()A.23(4n1)B.23(4n11)C.23(4n31)D.23(4n41)答案D解析易知 1,3,5,7，是首项为 1，公差为 2 的等差数列，设该数列为am，则 am2m1，设 an2n7，令 2m12n7，mn4，f(n)是以 2 为首项，224 为公比的等比数列的前 n4 项的和，f(n)2(14n4)1423(4n41).14已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11,2Snan11，则 Sn_.答案3n12解析当 n1 时，则有 2S1a21，a22S112a113；当 n2 时，由 2Snan11 得出 2Sn1an1，上述两式相减得 2anan1an，an13an，得an1an3 且a2a13，数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，Sn13n133n12.15已知数列an：12，122，222，322，123，223，323，423，523，623，723，124，224的前 n 项和为 Sn，则 S120_.答案60解析将此数列分组，第一组：121，共 211 项；第二组：122222322322212，共 221 项的和；第三组：1232233234235236237232823722312，共 231 项的和；第 n 组：12n22n32n42n52n62n2n12n(2n1)2n2n 22n12，共 2n1 项的和；由(211)(221)(231)(2n1)2(2n1)n120，解得 n6，因此前 120 项之和正好等于前 6 组之和，211222122612212226622 (261)6260.16已知数列an的通项公式为 anError!Error!求数列an的前 n 项和 Sn.解当 n 为大于或等于 3 的奇数时，Sn113(6n5)(42444n1)16n52n124214n1142n16n444n11615n13n224n11615.当 n1 时，S1a11，上式同样成立当 n 为偶数时，Sn113(6n11)(42444n24n)n3n524n21615.综上，SnError!Error!苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件等比数列的前等比数列的前n n项和项和在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱.导导 语语一、等比数列前一、等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导问题1若等比数列 的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sna1a2a3an1an，所以Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得SnqSna1a1qn，即(1q)Sna1(1qn)，而当q1时，Snna1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用ana1qn1相互转化.思路三：Sna1a2a3ana1q(a1a2an1)，所以有Sna1qSn1Sna1q(Snan)(1q)Sna1anq，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决.问题2同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.等比数列的前n项和公式知识梳理知识梳理已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn_ 公式二Sn_注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q1和q1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如12222n )；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如12222n ).(4)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.即SnAqnA.例1求下列等比数列前8项的和：反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q1是否成立.跟踪训练1在14与 之间插入n个数，组成所有项的和为 的等比数列，求此数列的项数.解设此数列的公比为q(易知q1)，故此数列共有5项.二、等比数列中与前二、等比数列中与前n项和有关的基本运算项和有关的基本运算例2在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；方法二由(a1a3)q3a4a6，又a1a3a1(1q2)10，所以a18，(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比q.解因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两个根.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.跟踪训练2在等比数列an中.q2，(2)已知S41，S817，求an.解若q1，则S82S4，不符合题意，q1，三、分组求和法三、分组求和法例3已知数列an的前n项和为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列？解因为点(Sn，an1)在直线y3x1上，所以an13Sn1，当n2时，an3Sn11.于是an1an3(SnSn1)an1an3anan14an.又当n1时，a23S11a23a113t1，所以当t1时，a24a1，此时，数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解由(1)，可得an4n1，an14n，所以bnlog4an1n，cn4n1n，那么Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(40414n1)(12n)反思感悟分组求和的适用题型一般情况下形如cnanbn，其中数列 一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列 的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列中与前n项和有关的基本运算.(3)分组求和法.2.方法归纳：公式法、分组求和法.3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.在数列an中，已知an12an，且a11，则数列an的前5项的和等于A.25 B.25 C.31 D.31解析因为an12an，且a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，12342.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于解析当x1时，Snn；123412343.设Sn为数列 的前n项和，an12222n1，则Sn的值为A.2n1 B.2n11C.2nn1 D.2n1n2123412341234所以a1a23，课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.在等比数列an中，a12，a21，则S100等于A.42100 B.42100C.4298 D.4210012345678910 11 12 13 14 15 162.设数列(1)n的前n项和为Sn，则Sn等于12345678910 11 12 13 14 15 163.若等比数列an的前n项和Sn2n1a，则a3a5等于A.4 B.8 C.16 D.32解析等比数列an的前n项和Sn2n1a，n2时，anSnSn12n1a(2n2a)，化简得an2n2.则a3a522316.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3S6，则数列 的前5项和等于12345678910 11 12 13 14 15 16解析设数列an的公比为q，显然q1，解得q2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.28.设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab3ab10_.bn12n12n1，abn2n11，1 03312345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解由(1)得bn 13n1，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.等比数列an的公比为q(q1)，则数列a3，a6，a9，a3n，的前n项和为12345678910 11 12 13 14 15 16解析依题意得等比数列an的通项ana1qn1，所以a3na1q3n1，所以数列a3n是首项为a3，公比为q3的等比数列，因为q1，所以q31，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16所以有a11，所以an2n1(nN*)，令 2annbn，所以bn2nn，12345678910 11 12 13 14 15 16因此有Sn(21)(222)(233)(2nn)(222232n)(123n)解析易知1,3,5,7，是首项为1，公差为2的等差数列，令2m12n7，mn4，f(n)是以2为首项，224为公比的等比数列的前n4项的和，12345678910 11 12 13 14 15 1614.已知数列an的前n项和为Sn，a11,2Snan11，则Sn_.解析当n1时，则有2S1a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两式相减得2anan1an，an13an，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 166012345678910 11 12 13 14 15 16共2n1项的和；解得n6，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知数列an的通项公式为an求数列an的前n项和Sn.12345678910 11 12 13 14 15 16解当n为大于或等于3的奇数时，Sn113(6n5)(42444n1)当n1时，S1a11，上式同样成立.12345678910 11 12 13 14 15 16当n为偶数时，Sn113(6n11)(42444n24n)