苏教版高中数学选择性必修一第3章3.1.1第2课时《椭圆的标准方程的综合问题》教案及课件.zip
第第 2 课时椭圆的标准方程的综合问题课时椭圆的标准方程的综合问题学习目标 了解椭圆方程的常见设法，掌握椭圆定义的应用，能用椭圆定义解决一些实际应用问题一、椭圆方程的设法例 1求下列椭圆的方程(1)过(3,2)且与x29y241 有相同的焦点；(2)经过点 P(13，13)，Q(0，12).解(1)方法一由方程x29y241 可知，其焦点的坐标为(5，0)，即 c 5.设所求椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 a2b25，因为过点(3,2)，代入方程为9a24a251(ab0)，解得 a215(a23 舍去)，b210，故椭圆的标准方程为x215y2101.方法二设椭圆方程为x29my24m1(m4)将点(3,2)代入方程得99m44m1，解得 m6.故椭圆的标准方程为x215y2101.(2)方法一当椭圆的焦点在 x 轴上时，设标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意，有Error!解得Error!因为 ab0，所以方程组无解当椭圆的焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2a2x2b21(ab0)，依题意，有Error!解得Error!所以所求方程为y214x2151.方法二设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，依题意得Error!解得Error!故所求方程为 5x24y21，即y214x2151.反思感悟求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)；如果明确椭圆的焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)；如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上，还是在 y 轴上，那么方程可以设为 mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解跟踪训练 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，2)，(1，142)；(2)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同的焦点解(1)方法一(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为x28y241.若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由已知条件得Error!解得Error!则 a2b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为x28y241.方法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，2)，(1，142)代入，得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为x28y241.(2)方法一因为所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又点(3，5)在椭圆上，所以 52a232b21，即5a23b21.由得 b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.方法二设椭圆方程为y225mx29m1(m9)，将(3，5)代入方程，解得 m5，椭圆的标准方程为y220 x241.二、椭圆定义的应用例 2设 P 是椭圆x225y27541 上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225，b2754c2254，c52，2c5.在PF1F2中，F1F2 2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 60，即 25PF2 1PF2 2PF1PF2.由椭圆的定义，得 10PF1PF2，即 100PF2 1PF2 22PF1PF2.由，得 3PF1PF275，所以 PF1PF225，所以12F PFS12PF1PF2sin 6025 34.延伸探究1将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”，其余条件不变，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225，b2754，c2254，c52，2c5.在PF1F2中，F1F2 2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 30，即 25PF2 1PF2 2 3PF1PF2.由椭圆的定义得 10PF1PF2，即 100PF2 1PF2 22PF1PF2.由，得(2 3)PF1PF275，所以 PF1PF275(2 3)，所以12F PFS12PF1PF2sin 30754(2 3)2将椭圆的方程改为“x2100y2641”其余条件不变，求F1PF2的面积解PF1PF22a20，又 F1F22c12.由余弦定理知，(2c)2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 60，即 144(PF1PF2)23PF1PF2，所以 PF1PF22563，所以12F PFS12PF1PF2sin 6064 33.反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若 PF1PF22a(2aF1F2)，则点 P 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解跟踪训练 2(1)已知椭圆x216y2121 的左焦点是 F1，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，如果线段PF1的中点在 y 轴上，那么 PF1PF2等于()A35 B34C53 D43(2)已知椭圆x24y231 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_答案(1)C(2)3 35解析(1)依题意知，线段 PF1的中点在 y 轴上，又原点为 F1F2的中点，易得 y 轴PF2，所以 PF2x 轴，则有 PF2 1PF2 24c216，又根据椭圆定义知 PF1PF28，所以 PF1PF22，从而 PF15，PF23，即 PF1PF253.(2)由x24y231，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而 F1F22c2.在PF1F2中，由余弦定理得 PF2 2PF2 1F1F222PF1F1F2cosPF1F2，即 PF2 2PF2 142PF1.由椭圆定义得 PF1PF22a4.由联立可得 PF165.所以1 2PF FS12PF1F1F2sinPF1F212652323 35.三、与椭圆有关的轨迹问题例 3点 B 是椭圆x2a2y2b21 上的动点，A(2a,0)为定点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程解设动点 M 的坐标为(x，y)，B 点坐标为(x0，y0)，则由 M 为线段 AB 的中点，可得Error!Error!即点 B 的坐标可表示为(2x2a,2y)又点 B(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21 上，x2 0a2y2 0b21，从而有2x2a2a22y2b21.整理得动点 M 的轨迹方程为4xa2a24y2b21.反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用 x，y 表示 x0，y0.(3)将 x0，y0代入其所在的曲线方程(4)化简方程得所求方程跟踪训练 3已知中心在坐标原点的椭圆，经过点 A(2,3)，且点 F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 是(1)中所求椭圆上的动点，求 PF 的中点 Q 的轨迹方程解(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，若点 F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为 F(2,0)，从而有Error!解得Error!又 a2b2c2，b212，故椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)设 P(x0，y0)，Q(x，y)，Q 为 PF 的中点，Error!Error!又 P 是x216y2121 上的动点，2x22164y2121，即 Q 点的轨迹方程是x124y231.1知识清单：(1)椭圆方程的设法(2)椭圆定义的应用(3)与椭圆有关的轨迹2方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法3常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性1已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为()A.x24y231 B.x24y21C.y24x231 D.y24x21答案A解析由椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在 x 轴上，且 c1.又点 P(2,0)在椭圆上，a2.由 a2b2c2可得，b a2c2 2212 3，椭圆的标准方程为x24y231.2已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，M 为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段 MF1的中点P 的轨迹是()A圆 B椭圆 C线段 D直线答案B解析设椭圆的右焦点为 F2，由题意，知 PO12MF2，PF112MF1，又 MF1MF22a，所以 POPF1aF1Oc，故由椭圆的定义，知 P 点的轨迹是椭圆3椭圆的两焦点为 F1(4,0)，F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若PF1F2的面积最大值为 12，则椭圆方程为_答案x225y291解析如图，当 P 在 y 轴上时PF1F2的面积最大，128b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为x225y291.4已知椭圆x29y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 PF14，则F1PF2_.答案120解析由椭圆的定义知 a29，b22，a3，c2a2b27，即 c 7，F1F22 7.PF14，PF22aPF12.cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22 PF1 PF242222 722 4 212，又 0F1PF20，则“m3”是“椭圆x2m2y251 的焦距为 4”的()A充要不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析由题意知 2c4，c2.若焦点在 x 轴上，则 c2m254，又 m0，m3；若焦点在 y 轴上，则 c25m24，又 m0，m1.因此“m3”是“椭圆x2m2y251 的焦距为 4”的充分不必要条件，故选 A.3已知ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，4)，C(0,4)，则顶点 A 的轨迹方程是()A.x236y2201(x0)B.x220y2361(x0)C.x26y2201(x0)D.x220y261(x0)答案B解析由ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，4)，C(0,4)，可得 ABAC12BC，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中 2a12,2c8，所以 a6，c4.所以 b2a2c220，方程为x220y2361.因为 A，B，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以 x0，故点 A 的轨迹方程为x220y2361(x0)4已知椭圆过点 P(35，4)和点 Q(45，3)，则此椭圆的标准方程是()A.y225x21 B.x225y21 或 x2y2251C.x225y21 D以上都不对答案A解析设椭圆方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)，由题意得Error!解得Error!所以此椭圆的标准方程为y225x21.5椭圆x212y231 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标为()A34 B22 C32 D34答案D解析如图，当点 P 在 x 轴上方时，OM 为PF1F2的中位线，所以 P(3，32)，所以M(0，34).同理，当点 P 在 x 轴下方时，M(0，34)，故选 D.6.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足 OPOF，且 PF4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251 B.x236y2161C.x230y2101 D.x245y2251答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F，连接 PF，如图所示因为 F(2 5，0)为 C 的左焦点，所以 c2 5.由 OPOFOF知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，得 PF FF2PF2 4 52428.由椭圆定义，得 PFPF2a4812，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2 5)216，所以椭圆 C 的方程为x236y2161.7P 是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q满足OQ PF1 PF2，则动点 Q 的轨迹方程是_答案x24a2y24b21解析设 Q(x，y)，OQ PF1 PF2，OP 12OQ(x2，y2)，P 是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点，x24a2y24b21，x24a2y24b21.8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为 6 米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 8 7 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是_米答案32解析设椭圆方程为x2a2y2361，当点(4 7，4.5)在椭圆上时，16 7a2(92)2361，解得 a16，车辆高度不超过 4.5 米，a16，d2a32，故拱宽至少为 32 米9已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的焦点分别是 F1(0，1)，F2(0,1)，且 3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且 PF1PF21，求F1PF2的余弦值解(1)依题意，知 c21，又 c2a2b2，且 3a24b2，所以 a234a21，即14a21，所以 a24，b23，故椭圆的标准方程为y24x231.(2)由于点 P 在椭圆上，所以 PF1PF22a224.又 PF1PF21，所以 PF152，PF232.又 F1F22c2，所以由余弦定理得 cos F1PF2(52)2(32)2222 523235.故F1PF2的余弦值等于35.10设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.证明 EAEB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程解圆 A 的方程整理可得(x1)2y216，点 A 的坐标为(1,0)，如图所示，因为 ADAC，所以ACDADC.因为 EBAC，所以EBDACD，故EBDACDADC.所以 EBED，故 EAEBEAEDAD.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而 AD4，所以 EAEB4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)AB2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，且 2a4，c1，所以 a24，b23，所以点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)11椭圆x225y291 的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上的一点，已知PF1 PF2 0，则F1PF2的面积为()A9 B12 C10 D8答案A解析PF1 PF2 0，PF1PF2.PF2 1PF2 2F1F2 2且 PF1PF22a.又 a5，b3，c4，Error!由2，得 2PF1PF236，PF1PF218，F1PF2的面积为 S12PF1PF29.12已知 F 是椭圆 C：x29y251 的左焦点，P 为 C 上一点，A(1，43)，则 PAPF 的最小值为()A.103 B.113 C4 D.133答案D解析由椭圆的方程可知，a3，c a2b22.如图所示，设 F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PFPF22a6，所以 PAPFPA6PF26(PF2PA)，所以求 PAPF的最小值，也就是求 PF2PA 的最大值由图易知，当 P，A，F2三点共线时，PF2PA 取得最大值，此时(PF2PA)maxAF253，所以 PAPF 的最小值为 653133.13(多选)已知 F1，F2为椭圆x24y231 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是()AMF2的最大值大于 3BMF1MF2的最大值为 4CF1MF2的最大值为 60D若动直线 l 垂直于 y 轴，且交椭圆于 A，B 两点，P 为 l 上满足 PAPB2 的点，则点 P的轨迹方程为x222y231 或x262y291答案BCD解析由椭圆方程得 a24，b23，c21，因此 F1(1,0)，F2(1,0)选项 A 中，(MF2)maxac3，A 错误；选项 B 中，MF1MF2(MF1MF22)24，当且仅当 MF1MF2时取等号，B 正确；选项 C 中，当点 M 在 y 轴上时，F1MF2取得最大值，取 M(0，3)，则 tanF1MF2233，F1MF2230，F1MF2的最大值为 60，C 正确；选项 D 中，设 P(x，y)，A(x1，y)，B(x1，y)，PAPB2，|xx1|xx1|2，|x2x2 1|2，即 x2x2 12 或 x2x2 12.又由题意知x2 14y231，x224y231 或x224y231，化简得x262y291 或x222y231，D 正确14已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 ANBN_.答案12解析取 MN 的中点 G，G 在椭圆 C 上，因为点 M 关于 C 的焦点 F1，F2的对称点分别为 A，B，故有 GF112AN，GF212BN，所以 ANBN2(GF1GF2)4a12.15若点 P 是椭圆x29y241 上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则 cosF1PF2的最小值为()A59 B19C.19 D.12答案B解析由椭圆的定义，可得 PF1PF26，F1F22 5，cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22PF1PF2622 522PF1PF22PF1PF28PF1PF21.又 PF1PF262 PF1PF2，PF1PF29，8PF1PF2189119，当且仅当 PF1PF23 时等号成立，cosF1PF2的最小值为19，故选 B.16(1)已知 F1，F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点，P 是椭圆上一点，求 PF1PF2的最大值；(2)已知 A(1,1)，F1是椭圆 5x29y245 的左焦点，点 P 是椭圆上的动点，求 PAPF1的最大值和最小值解(1)a10,20PF1PF22 PF1PF2，当且仅当 PF1PF2时取等号，PF1PF2100，当且仅当 PF1PF2时取等号，PF1PF2的最大值为 100.(2)设 F2为椭圆的右焦点，5x29y245 可化为x29y251，由已知，得 PF1PF22a6，PF16PF2，PAPF16(PF2PA)当 PAPF2时，有 0PAPF2AF2，等号成立时，PAPF1最大，此时点 P 是射线 AF2与椭圆的交点，PAPF1的最大值是 6 2.当 PAPF2时，有 0PF2PAAF2，等号成立时，PAPF1最小，此时点 P 是射线 F2A与椭圆的交点，最小值是 6 2.综上，可知 PAPF1的最大值为 6 2，最小值为 6 2.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件椭圆的标准方程的综合问题椭圆的标准方程的综合问题一、椭圆方程的设法一、椭圆方程的设法例1求下列椭圆的方程.解得a215(a23舍去)，b210，因为ab0，所以方程组无解.解方法一当椭圆的焦点在x轴上时，当椭圆的焦点在y轴上时，方法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：解方法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，则a2b0矛盾，舍去.方法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).所以其焦点在y轴上，且c225916.因为c216，且c2a2b2，故a2b216.由得b24，a220，二、椭圆定义的应用二、椭圆定义的应用例2设P是椭圆 1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义，得10PF1PF2，由，得3PF1PF275，所以PF1PF225，延伸探究1.将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”，其余条件不变，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义得10PF1PF2，2.将椭圆的方程改为“1”其余条件不变，求F1PF2的面积.解PF1PF22a20，又F1F22c12.由余弦定理知，即144(PF1PF2)23PF1PF2，反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1PF22a(2aF1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.跟跟踪踪训训练练2(1)已知椭圆 1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1PF2等于A.35 B.34C.53 D.43解析依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，又根据椭圆定义知PF1PF28，所以PF1PF22，从而PF15，PF23，即PF1PF253.(2)已知椭圆 1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_.由椭圆定义得PF1PF22a4.三、与椭圆有关的轨迹问题三、与椭圆有关的轨迹问题例3点B是椭圆 1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，即点B的坐标可表示为(2x2a,2y).反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.跟跟踪踪训训练练3已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程；若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F(2,0)，又a2b2c2，b212，(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.解设P(x0，y0)，Q(x，y)，Q为PF的中点，1.知识清单：(1)椭圆方程的设法.(2)椭圆定义的应用.(3)与椭圆有关的轨迹.2.方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法.3.常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为1234解析由椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c1.又点P(2,0)在椭圆上，a2.12342.已知椭圆 1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线解析设椭圆的右焦点为F2，又MF1MF22a，所以POPF1aF1Oc，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆.12343.椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为_.解析如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，又c4，a2b2c225.123412344.已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则F1PF2_.1201234解析由椭圆的定义知a29，b22，PF14，PF22aPF12.又0F1PF20，m3；若焦点在y轴上，则c25m24，又m0，m1.故选A.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是解析由ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，可得ABAC12BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a12,2c8，所以a6，c4.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x0，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，12345678910 11 12 13 14 15 165.椭圆 1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为解析如图，当点P在x轴上方时，OM为PF1F2的中位线，12345678910 11 12 13 14 15 166.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2 ，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.由椭圆定义，得PFPF2a4812，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设Q(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 168.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是_米.3212345678910 11 12 13 14 15 16解得a16，车辆高度不超过4.5米，a16，d2a32，故拱宽至少为32米.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知椭圆 1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；解依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)设点P在这个椭圆上，且PF1PF21，求F1PF2的余弦值.解由于点P在椭圆上，所以PF1PF22a224.12345678910 11 12 13 14 15 1610.设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解圆A的方程整理可得(x1)2y216，点A的坐标为(1,0)，如图所示，因为ADAC，所以ACDADC.因为EBAC，所以EBDACD，故EBDACDADC.所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.12345678910 11 12 13 14 15 16由题设得A(1,0)，B(1,0).AB2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a4，c1，所以a24，b23，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用又a5，b3，c4，由2，得2PF1PF236，PF1PF218，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16如图所示，设F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PFPF22a6，所以PAPFPA6PF26(PF2PA)，所以求PAPF的最小值，也就是求PF2PA的最大值.由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2PA取得最大值，12345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知F1，F2为椭圆 1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A.MF2的最大值大于3B.MF1MF2的最大值为4C.F1MF2的最大值为60D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PAPB2的解析由椭圆方程得a24，b23，c21，因此F1(1,0)，F2(1,0).选项A中，(MF2)maxac3，A错误；当且仅当MF1MF2时取等号，B正确；选项C中，当点M在y轴上时，F1MF2取得最大值，F1MF2的最大值为60，C正确；12345678910 11 12 13 14 15 16选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(x1，y)，PAPB2，|xx1|xx1|2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ANBN_.解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，12所以ANBN2(GF1GF2)4a12.12345678910 11 12 13 14 15 16PF1PF29，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.(1)已知F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1PF2的最大值；当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2100，当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2的最大值为100.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x29y245的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PAPF1的最大值和最小值.由已知，得PF1PF22a6，PF16PF2，PAPF16(PF2PA).当PAPF2时，有0PAPF2AF2，等号成立时，PAPF1最大，此时点P是射线AF2与椭圆的交点，12345678910 11 12 13 14 15 16当PAPF2时，有0PF2PAAF2，等号成立时，PAPF1最小，12345678910 11 12 13 14 15 16
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第第 2 课时椭圆的标准方程的综合问题课时椭圆的标准方程的综合问题学习目标 了解椭圆方程的常见设法，掌握椭圆定义的应用，能用椭圆定义解决一些实际应用问题一、椭圆方程的设法例 1求下列椭圆的方程(1)过(3,2)且与x29y241 有相同的焦点；(2)经过点 P(13，13)，Q(0，12).解(1)方法一由方程x29y241 可知，其焦点的坐标为(5，0)，即 c 5.设所求椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 a2b25，因为过点(3,2)，代入方程为9a24a251(ab0)，解得 a215(a23 舍去)，b210，故椭圆的标准方程为x215y2101.方法二设椭圆方程为x29my24m1(m4)将点(3,2)代入方程得99m44m1，解得 m6.故椭圆的标准方程为x215y2101.(2)方法一当椭圆的焦点在 x 轴上时，设标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意，有Error!解得Error!因为 ab0，所以方程组无解当椭圆的焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2a2x2b21(ab0)，依题意，有Error!解得Error!所以所求方程为y214x2151.方法二设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，依题意得Error!解得Error!故所求方程为 5x24y21，即y214x2151.反思感悟求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)；如果明确椭圆的焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)；如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上，还是在 y 轴上，那么方程可以设为 mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解跟踪训练 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，2)，(1，142)；(2)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同的焦点解(1)方法一(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为x28y241.若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由已知条件得Error!解得Error!则 a2b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为x28y241.方法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，2)，(1，142)代入，得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为x28y241.(2)方法一因为所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又点(3，5)在椭圆上，所以 52a232b21，即5a23b21.由得 b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.方法二设椭圆方程为y225mx29m1(m9)，将(3，5)代入方程，解得 m5，椭圆的标准方程为y220 x241.二、椭圆定义的应用例 2设 P 是椭圆x225y27541 上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225，b2754c2254，c52，2c5.在PF1F2中，F1F2 2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 60，即 25PF2 1PF2 2PF1PF2.由椭圆的定义，得 10PF1PF2，即 100PF2 1PF2 22PF1PF2.由，得 3PF1PF275，所以 PF1PF225，所以12F PFS12PF1PF2sin 6025 34.延伸探究1将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”，其余条件不变，求F1PF2的面积解由椭圆方程知，a225，b2754，c2254，c52，2c5.在PF1F2中，F1F2 2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 30，即 25PF2 1PF2 2 3PF1PF2.由椭圆的定义得 10PF1PF2，即 100PF2 1PF2 22PF1PF2.由，得(2 3)PF1PF275，所以 PF1PF275(2 3)，所以12F PFS12PF1PF2sin 30754(2 3)2将椭圆的方程改为“x2100y2641”其余条件不变，求F1PF2的面积解PF1PF22a20，又 F1F22c12.由余弦定理知，(2c)2PF2 1PF2 22PF1PF2cos 60，即 144(PF1PF2)23PF1PF2，所以 PF1PF22563，所以12F PFS12PF1PF2sin 6064 33.反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若 PF1PF22a(2aF1F2)，则点 P 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解跟踪训练 2(1)已知椭圆x216y2121 的左焦点是 F1，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，如果线段PF1的中点在 y 轴上，那么 PF1PF2等于()A35 B34C53 D43(2)已知椭圆x24y231 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_答案(1)C(2)3 35解析(1)依题意知，线段 PF1的中点在 y 轴上，又原点为 F1F2的中点，易得 y 轴PF2，所以 PF2x 轴，则有 PF2 1PF2 24c216，又根据椭圆定义知 PF1PF28，所以 PF1PF22，从而 PF15，PF23，即 PF1PF253.(2)由x24y231，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而 F1F22c2.在PF1F2中，由余弦定理得 PF2 2PF2 1F1F222PF1F1F2cosPF1F2，即 PF2 2PF2 142PF1.由椭圆定义得 PF1PF22a4.由联立可得 PF165.所以1 2PF FS12PF1F1F2sinPF1F212652323 35.三、与椭圆有关的轨迹问题例 3点 B 是椭圆x2a2y2b21 上的动点，A(2a,0)为定点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程解设动点 M 的坐标为(x，y)，B 点坐标为(x0，y0)，则由 M 为线段 AB 的中点，可得Error!Error!即点 B 的坐标可表示为(2x2a,2y)又点 B(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21 上，x2 0a2y2 0b21，从而有2x2a2a22y2b21.整理得动点 M 的轨迹方程为4xa2a24y2b21.反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用 x，y 表示 x0，y0.(3)将 x0，y0代入其所在的曲线方程(4)化简方程得所求方程跟踪训练 3已知中心在坐标原点的椭圆，经过点 A(2,3)，且点 F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 是(1)中所求椭圆上的动点，求 PF 的中点 Q 的轨迹方程解(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，若点 F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为 F(2,0)，从而有Error!解得Error!又 a2b2c2，b212，故椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)设 P(x0，y0)，Q(x，y)，Q 为 PF 的中点，Error!Error!又 P 是x216y2121 上的动点，2x22164y2121，即 Q 点的轨迹方程是x124y231.1知识清单：(1)椭圆方程的设法(2)椭圆定义的应用(3)与椭圆有关的轨迹2方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法3常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性1已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为()A.x24y231 B.x24y21C.y24x231 D.y24x21答案A解析由椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在 x 轴上，且 c1.又点 P(2,0)在椭圆上，a2.由 a2b2c2可得，b a2c2 2212 3，椭圆的标准方程为x24y231.2已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，M 为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段 MF1的中点P 的轨迹是()A圆 B椭圆 C线段 D直线答案B解析设椭圆的右焦点为 F2，由题意，知 PO12MF2，PF112MF1，又 MF1MF22a，所以 POPF1aF1Oc，故由椭圆的定义，知 P 点的轨迹是椭圆3椭圆的两焦点为 F1(4,0)，F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若PF1F2的面积最大值为 12，则椭圆方程为_答案x225y291解析如图，当 P 在 y 轴上时PF1F2的面积最大，128b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为x225y291.4已知椭圆x29y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 PF14，则F1PF2_.答案120解析由椭圆的定义知 a29，b22，a3，c2a2b27，即 c 7，F1F22 7.PF14，PF22aPF12.cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22 PF1 PF242222 722 4 212，又 0F1PF20，则“m3”是“椭圆x2m2y251 的焦距为 4”的()A充要不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析由题意知 2c4，c2.若焦点在 x 轴上，则 c2m254，又 m0，m3；若焦点在 y 轴上，则 c25m24，又 m0，m1.因此“m3”是“椭圆x2m2y251 的焦距为 4”的充分不必要条件，故选 A.3已知ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，4)，C(0,4)，则顶点 A 的轨迹方程是()A.x236y2201(x0)B.x220y2361(x0)C.x26y2201(x0)D.x220y261(x0)答案B解析由ABC 的周长为 20，且顶点 B(0，4)，C(0,4)，可得 ABAC12BC，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中 2a12,2c8，所以 a6，c4.所以 b2a2c220，方程为x220y2361.因为 A，B，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以 x0，故点 A 的轨迹方程为x220y2361(x0)4已知椭圆过点 P(35，4)和点 Q(45，3)，则此椭圆的标准方程是()A.y225x21 B.x225y21 或 x2y2251C.x225y21 D以上都不对答案A解析设椭圆方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)，由题意得Error!解得Error!所以此椭圆的标准方程为y225x21.5椭圆x212y231 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标为()A34 B22 C32 D34答案D解析如图，当点 P 在 x 轴上方时，OM 为PF1F2的中位线，所以 P(3，32)，所以M(0，34).同理，当点 P 在 x 轴下方时，M(0，34)，故选 D.6.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足 OPOF，且 PF4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251 B.x236y2161C.x230y2101 D.x245y2251答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F，连接 PF，如图所示因为 F(2 5，0)为 C 的左焦点，所以 c2 5.由 OPOFOF知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，得 PF FF2PF2 4 52428.由椭圆定义，得 PFPF2a4812，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2 5)216，所以椭圆 C 的方程为x236y2161.7P 是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q满足OQ PF1 PF2，则动点 Q 的轨迹方程是_答案x24a2y24b21解析设 Q(x，y)，OQ PF1 PF2，OP 12OQ(x2，y2)，P 是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点，x24a2y24b21，x24a2y24b21.8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为 6 米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 8 7 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是_米答案32解析设椭圆方程为x2a2y2361，当点(4 7，4.5)在椭圆上时，16 7a2(92)2361，解得 a16，车辆高度不超过 4.5 米，a16，d2a32，故拱宽至少为 32 米9已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的焦点分别是 F1(0，1)，F2(0,1)，且 3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且 PF1PF21，求F1PF2的余弦值解(1)依题意，知 c21，又 c2a2b2，且 3a24b2，所以 a234a21，即14a21，所以 a24，b23，故椭圆的标准方程为y24x231.(2)由于点 P 在椭圆上，所以 PF1PF22a224.又 PF1PF21，所以 PF152，PF232.又 F1F22c2，所以由余弦定理得 cos F1PF2(52)2(32)2222 523235.故F1PF2的余弦值等于35.10设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.证明 EAEB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程解圆 A 的方程整理可得(x1)2y216，点 A 的坐标为(1,0)，如图所示，因为 ADAC，所以ACDADC.因为 EBAC，所以EBDACD，故EBDACDADC.所以 EBED，故 EAEBEAEDAD.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而 AD4，所以 EAEB4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)AB2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，且 2a4，c1，所以 a24，b23，所以点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)11椭圆x225y291 的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上的一点，已知PF1 PF2 0，则F1PF2的面积为()A9 B12 C10 D8答案A解析PF1 PF2 0，PF1PF2.PF2 1PF2 2F1F2 2且 PF1PF22a.又 a5，b3，c4，Error!由2，得 2PF1PF236，PF1PF218，F1PF2的面积为 S12PF1PF29.12已知 F 是椭圆 C：x29y251 的左焦点，P 为 C 上一点，A(1，43)，则 PAPF 的最小值为()A.103 B.113 C4 D.133答案D解析由椭圆的方程可知，a3，c a2b22.如图所示，设 F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PFPF22a6，所以 PAPFPA6PF26(PF2PA)，所以求 PAPF的最小值，也就是求 PF2PA 的最大值由图易知，当 P，A，F2三点共线时，PF2PA 取得最大值，此时(PF2PA)maxAF253，所以 PAPF 的最小值为 653133.13(多选)已知 F1，F2为椭圆x24y231 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是()AMF2的最大值大于 3BMF1MF2的最大值为 4CF1MF2的最大值为 60D若动直线 l 垂直于 y 轴，且交椭圆于 A，B 两点，P 为 l 上满足 PAPB2 的点，则点 P的轨迹方程为x222y231 或x262y291答案BCD解析由椭圆方程得 a24，b23，c21，因此 F1(1,0)，F2(1,0)选项 A 中，(MF2)maxac3，A 错误；选项 B 中，MF1MF2(MF1MF22)24，当且仅当 MF1MF2时取等号，B 正确；选项 C 中，当点 M 在 y 轴上时，F1MF2取得最大值，取 M(0，3)，则 tanF1MF2233，F1MF2230，F1MF2的最大值为 60，C 正确；选项 D 中，设 P(x，y)，A(x1，y)，B(x1，y)，PAPB2，|xx1|xx1|2，|x2x2 1|2，即 x2x2 12 或 x2x2 12.又由题意知x2 14y231，x224y231 或x224y231，化简得x262y291 或x222y231，D 正确14已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 ANBN_.答案12解析取 MN 的中点 G，G 在椭圆 C 上，因为点 M 关于 C 的焦点 F1，F2的对称点分别为 A，B，故有 GF112AN，GF212BN，所以 ANBN2(GF1GF2)4a12.15若点 P 是椭圆x29y241 上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则 cosF1PF2的最小值为()A59 B19C.19 D.12答案B解析由椭圆的定义，可得 PF1PF26，F1F22 5，cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 22PF1PF2622 522PF1PF22PF1PF28PF1PF21.又 PF1PF262 PF1PF2，PF1PF29，8PF1PF2189119，当且仅当 PF1PF23 时等号成立，cosF1PF2的最小值为19，故选 B.16(1)已知 F1，F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点，P 是椭圆上一点，求 PF1PF2的最大值；(2)已知 A(1,1)，F1是椭圆 5x29y245 的左焦点，点 P 是椭圆上的动点，求 PAPF1的最大值和最小值解(1)a10,20PF1PF22 PF1PF2，当且仅当 PF1PF2时取等号，PF1PF2100，当且仅当 PF1PF2时取等号，PF1PF2的最大值为 100.(2)设 F2为椭圆的右焦点，5x29y245 可化为x29y251，由已知，得 PF1PF22a6，PF16PF2，PAPF16(PF2PA)当 PAPF2时，有 0PAPF2AF2，等号成立时，PAPF1最大，此时点 P 是射线 AF2与椭圆的交点，PAPF1的最大值是 6 2.当 PAPF2时，有 0PF2PAAF2，等号成立时，PAPF1最小，此时点 P 是射线 F2A与椭圆的交点，最小值是 6 2.综上，可知 PAPF1的最大值为 6 2，最小值为 6 2.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件椭圆的标准方程的综合问题椭圆的标准方程的综合问题一、椭圆方程的设法一、椭圆方程的设法例1求下列椭圆的方程.解得a215(a23舍去)，b210，因为ab0，所以方程组无解.解方法一当椭圆的焦点在x轴上时，当椭圆的焦点在y轴上时，方法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：解方法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，则a2b0矛盾，舍去.方法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).所以其焦点在y轴上，且c225916.因为c216，且c2a2b2，故a2b216.由得b24，a220，二、椭圆定义的应用二、椭圆定义的应用例2设P是椭圆 1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义，得10PF1PF2，由，得3PF1PF275，所以PF1PF225，延伸探究1.将本例中的“F1PF260”改为“F1PF230”，其余条件不变，求F1PF2的面积.在PF1F2中，由椭圆的定义得10PF1PF2，2.将椭圆的方程改为“1”其余条件不变，求F1PF2的面积.解PF1PF22a20，又F1F22c12.由余弦定理知，即144(PF1PF2)23PF1PF2，反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1PF22a(2aF1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.跟跟踪踪训训练练2(1)已知椭圆 1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1PF2等于A.35 B.34C.53 D.43解析依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，又根据椭圆定义知PF1PF28，所以PF1PF22，从而PF15，PF23，即PF1PF253.(2)已知椭圆 1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_.由椭圆定义得PF1PF22a4.三、与椭圆有关的轨迹问题三、与椭圆有关的轨迹问题例3点B是椭圆 1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.解设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，即点B的坐标可表示为(2x2a,2y).反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.跟跟踪踪训训练练3已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程；若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F(2,0)，又a2b2c2，b212，(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.解设P(x0，y0)，Q(x，y)，Q为PF的中点，1.知识清单：(1)椭圆方程的设法.(2)椭圆定义的应用.(3)与椭圆有关的轨迹.2.方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法.3.常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为1234解析由椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)可知，椭圆的焦点在x轴上，且c1.又点P(2,0)在椭圆上，a2.12342.已知椭圆 1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线解析设椭圆的右焦点为F2，又MF1MF22a，所以POPF1aF1Oc，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆.12343.椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为_.解析如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，又c4，a2b2c225.123412344.已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则F1PF2_.1201234解析由椭圆的定义知a29，b22，PF14，PF22aPF12.又0F1PF20，m3；若焦点在y轴上，则c25m24，又m0，m1.故选A.12345678910 11 12 13 14 15 163.已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是解析由ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，可得ABAC12BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a12,2c8，所以a6，c4.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x0，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，12345678910 11 12 13 14 15 165.椭圆 1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为解析如图，当点P在x轴上方时，OM为PF1F2的中位线，12345678910 11 12 13 14 15 166.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2 ，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.由椭圆定义，得PFPF2a4812，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设Q(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 168.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是_米.3212345678910 11 12 13 14 15 16解得a16，车辆高度不超过4.5米，a16，d2a32，故拱宽至少为32米.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知椭圆 1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；解依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)设点P在这个椭圆上，且PF1PF21，求F1PF2的余弦值.解由于点P在椭圆上，所以PF1PF22a224.12345678910 11 12 13 14 15 1610.设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解圆A的方程整理可得(x1)2y216，点A的坐标为(1,0)，如图所示，因为ADAC，所以ACDADC.因为EBAC，所以EBDACD，故EBDACDADC.所以EBED，故EAEBEAEDAD.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而AD4，所以EAEB4.12345678910 11 12 13 14 15 16由题设得A(1,0)，B(1,0).AB2，由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a4，c1，所以a24，b23，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用又a5，b3，c4，由2，得2PF1PF236，PF1PF218，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16如图所示，设F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PFPF22a6，所以PAPFPA6PF26(PF2PA)，所以求PAPF的最小值，也就是求PF2PA的最大值.由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2PA取得最大值，12345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知F1，F2为椭圆 1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A.MF2的最大值大于3B.MF1MF2的最大值为4C.F1MF2的最大值为60D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PAPB2的解析由椭圆方程得a24，b23，c21，因此F1(1,0)，F2(1,0).选项A中，(MF2)maxac3，A错误；当且仅当MF1MF2时取等号，B正确；选项C中，当点M在y轴上时，F1MF2取得最大值，F1MF2的最大值为60，C正确；12345678910 11 12 13 14 15 16选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(x1，y)，PAPB2，|xx1|xx1|2，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 ANBN_.解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，12所以ANBN2(GF1GF2)4a12.12345678910 11 12 13 14 15 16PF1PF29，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.(1)已知F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1PF2的最大值；当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2100，当且仅当PF1PF2时取等号，PF1PF2的最大值为100.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x29y245的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PAPF1的最大值和最小值.由已知，得PF1PF22a6，PF16PF2，PAPF16(PF2PA).当PAPF2时，有0PAPF2AF2，等号成立时，PAPF1最大，此时点P是射线AF2与椭圆的交点，12345678910 11 12 13 14 15 16当PAPF2时，有0PF2PAAF2，等号成立时，PAPF1最小，12345678910 11 12 13 14 15 16
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