苏教版高中数学选择性必修一第3章3.1.1第1课时《椭圆的标准方程》教案及课件.zip
3.1椭圆椭圆31.1椭圆的标准方程椭圆的标准方程第第 1 课时椭圆的标准方程课时椭圆的标准方程学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系导语椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？一、椭圆的定义问题 1在画板上取两个定点 F1和 F2，把一条长度为定值且大于 F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数知识梳理椭圆的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(focal distance)注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值(2)定值必须大于两定点的距离(3)当距离的和等于 F1F2时，点的轨迹是线段(4)当距离的和小于 F1F2时，点的轨迹不存在例 1命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和 PAPB2a(a0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B解析利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则 PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若 PAPB2a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为仅当 2aAB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2aAB 时，P 点轨迹是线段 AB；当 2aAB时，P 点无轨迹，甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出 a，b，直接写出其方程跟踪训练 1(多选)已知在平面直角坐标系中，点 A(3,0)，B(3,0)，点 P 为一动点，且 PAPB2a(a0)，给出下列说法中正确的是()A当 a2 时，点 P 的轨迹不存在B当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 3C当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 6D当 a3 时，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆答案AC解析当 a2 时，2a4AB，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 AB6，B 错误，C 正确；当 a3 时，点 P 的轨迹为线段 AB，D 错误二、椭圆的标准方程问题 2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以 F1，F2所在的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，如图，则 F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)设 P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知 PF1PF22a，即 xc2y2 xc2y22a.将这个方程移项后两边平方，得(xc)2y24a24a xc2y2(xc)2y2，整理得 a2cxa xc2y2.两边再平方，得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)因为 a2c20，所以可设 a2c2b2(b0)，于是得 b2x2a2y2a2b2，两边同除以 a2b2，得x2a2y2b21.由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上这样，焦点为 F1(c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点 F1(0，c)，F2(0，c)的椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0)以上两种方程都叫作椭圆的标准方程知识梳理椭圆的标准方程焦点位置在 x 轴上在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c 的关系a2b2c2注意点：焦点位置由 a2，b2的大小确定例 2根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26；(2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上；(3)椭圆的焦点在 x 轴上，ab21，c 6.解(1)椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.所求椭圆的标准方程为y2169x21441.(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点在 x 轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点 P(1，32)，1b2194b21，解得 b23，a24.椭圆的标准方程为x24y231.(3)c 6，a2b2c26.又由 ab21，得 a2b，代入得 4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为x28y221.反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论跟踪训练 2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上，且 a4，c2；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点(32，52).解(1)a216，c24，b216412，且焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为x216y2121.(2)椭圆的焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义，知 2a(320)2(522)2(320)2(522)23 1021022 10，a 10.又c2，b2a2c21046.椭圆的标准方程为y210 x261.三、直线与椭圆的位置关系知识梳理直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系判断方法：联立Error!消去 y(或 x)得到一个关于 x(或 y)的一元二次方程：位置关系解的个数 的取值相交两解0相切一解0相离无解0，得3 2m3 2.于是，当3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不同的公共点(2)由 0，得 m3 2.也就是当 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)由 0，得 m3 2.从而当 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题跟踪训练 3已知椭圆x24y231，直线 l：xmym0(mR)，则直线 l 与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D不确定答案C解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)，因为0241231，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线 l 与椭圆相交1知识清单：(1)椭圆的定义及其应用(2)椭圆的标准方程(3)直线与椭圆的位置关系2方法归纳：待定系数法3常见误区：忽视椭圆定义中 a，b，c 的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程1设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则 PF1PF2等于()A4 B5 C8 D10答案D2到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点 M 的轨迹是()A椭圆 B线段C圆 D以上都不对答案B解析MF1MF2F1F24，点 M 的轨迹为线段 F1F2.3已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D相交或相切答案A解析把 xy30 代入x24y21，得x24(3x)21，即 5x224x320.(24)24532640，直线与椭圆相离4在椭圆x23y21 中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点 F1，再次被椭圆反射后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_答案4 3解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为 4a，即 4 3.课时对点练课时对点练1椭圆x225y21691 的焦点坐标是()A(5,0)B(0，5)C(0，12)D(12,0)答案C解析椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2169，b225，所以 c2a2b2144，所以 c12，故焦点坐标为(0，12)2直线 yx1 与椭圆x25y241 的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断答案A解析方法一直线过点(0,1)，而 0140，所以直线与椭圆相交3设定点 F1(0，2)，F2(0,2)，动点 P 满足条件 PF1PF2m4m(m2)，则点 P 的轨迹是()A椭圆 B线段C椭圆或线段 D不存在答案A解析设 ym4m(m2)，易知 ym4m在(2，)上为增函数，所以 ym4m4，即 PF1PF24，又 F1F24，所以点 P 的轨迹为以 F1，F2为焦点的椭圆4“2m6”是“方程x2m2y26m1 为椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若方程x2m2y26m1 表示椭圆，则Error!解得 2m6 且 m4，所以“2m3 Ba3 或 a3 或6aa60，得Error!所以Error!所以 a3 或6a1sin 0，即 sin cos 0.又(0，2)，所以42.14 在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆x225y2161 上，则sin Asin C2sin B_.答案56解析由椭圆的方程得 a5，b4，c3.ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆x225y2161 上，BCAB2a10，由正弦定理可知sin Asin C2sin BBCBA2AC2a4c56.15设 P 是椭圆x225y291 上一点，M，N 分别是圆 A：(x4)2y21 和圆 B：(x4)2y21 上的点，则 PMPN 的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知 PAPB2a10，连接 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N 两点，此时 PMPN 最小，最小值为 PAPB2r8.延长 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N两点，此时 PMPN 最大，最大值为 PAPB2r12，即最小值和最大值分别为 8,12.16已知椭圆 x28y28，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：xy40 的距离最短，并求出最短距离解设与直线 xy40 平行且与椭圆相切的直线方程为 xya0(a4)，由Error!消 x 得 9y22aya280，由 4a236(a28)0，解得 a3 或 a3，与直线 l 距离较近的切线为 xy30，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线 xy30 与椭圆的切点即为所求点 P.故所求最短距离为 d|43|222.由Error!得Error!即 P(83，13).苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件椭圆的标准方程椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？导导 语语一、椭圆的定义一、椭圆的定义问题1在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的(focaldistance).注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在.知识梳理知识梳理常数(大于F1F2)焦点焦距例1命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PAPB2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆，则PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件.反过来，若PAPB2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为仅当2aAB时，P点轨迹才是椭圆；而当2aAB时，P点轨迹是线段AB；当2aAB时，P点无轨迹，甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程.跟踪训练1(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PAPB2a(a0)，给出下列说法中正确的是A.当a2时，点P的轨迹不存在B.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆解析当a2时，2a4AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB6，B错误，C正确；当a3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1PF22a，将这个方程移项后两边平方，两边再平方，得a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2).因为a2c20，所以可设a2c2b2(b0)，由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，c)，以上两种方程都叫作椭圆的标准方程.椭圆的标准方程知识梳理知识梳理焦点位置在x轴上在y轴上标准方程图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2_(ab0)(ab0)b2c2注意点：焦点位置由a2，b2的大小确定.例2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；解椭圆的焦点在y轴上，2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.焦点在x轴上，2c2，a2b21，又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在x轴上，反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程.提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论.跟踪训练跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上，且a4，c2；解a216，c24，b216412，由椭圆的定义，又c2，b2a2c21046.三、直线与椭圆的位置关系三、直线与椭圆的位置关系知识梳理知识梳理位置关系解的个数的取值相交解0相切解0相离解0两一无注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.例3已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；解直线l的方程与椭圆C的方程联立，将代入，整理得9x28mx2m240，关于x的一元二次方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.(2)有且只有一个公共点；可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)没有公共点？方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.跟踪训练跟踪训练3已知椭圆1，直线l：xmym0(mR)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不确定解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.1.知识清单：(1)椭圆的定义及其应用.(2)椭圆的标准方程.(3)直线与椭圆的位置关系.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1PF2等于A.4B.5C.8D.10123412342.到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对解析MF1MF2F1F24，点M的轨迹为线段F1F2.12343.已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.相交或相切(24)24532640，所以直线与椭圆相交.12345678910 11 12 13 14 15 163.设定点F1(0，2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1PF2m(m2)，则点P的轨迹是A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在又F1F24，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为A.6B.7C.8D.9解析根据椭圆的定义知，PF1PF22a2510，因为PF13，所以PF27.12345678910 11 12 13 14 15 166.如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是A.a3B.a3或a3或6acos0.解析由椭圆的方程得a5，b4，c3.BCAB2a10，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.设P是椭圆1上一点，M，N分别是圆A：(x4)2y21和圆B：(x4)2y21上的点，则PMPN的最小值、最大值分别为A.9,12B.8,11C.8,12D.10,1212345678910 11 12 13 14 15 16解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PAPB2a10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最小，最小值为PAPB2r8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最大，最大值为PAPB2r12，即最小值和最大值分别为8,12.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离.12345678910 11 12 13 14 15 16解设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线方程为xya0(a4)，消x得9y22aya280，由4a236(a28)0，解得a3或a3，与直线l距离较近的切线为xy30，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线xy30与椭圆的切点即为所求点P.12345678910 11 12 13 14 15 16
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3.1椭圆椭圆31.1椭圆的标准方程椭圆的标准方程第第 1 课时椭圆的标准方程课时椭圆的标准方程学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系导语椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？一、椭圆的定义问题 1在画板上取两个定点 F1和 F2，把一条长度为定值且大于 F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数知识梳理椭圆的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(focal distance)注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值(2)定值必须大于两定点的距离(3)当距离的和等于 F1F2时，点的轨迹是线段(4)当距离的和小于 F1F2时，点的轨迹不存在例 1命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和 PAPB2a(a0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案B解析利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则 PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若 PAPB2a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为仅当 2aAB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2aAB 时，P 点轨迹是线段 AB；当 2aAB时，P 点无轨迹，甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出 a，b，直接写出其方程跟踪训练 1(多选)已知在平面直角坐标系中，点 A(3,0)，B(3,0)，点 P 为一动点，且 PAPB2a(a0)，给出下列说法中正确的是()A当 a2 时，点 P 的轨迹不存在B当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 3C当 a4 时，点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 6D当 a3 时，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆答案AC解析当 a2 时，2a4AB，故点 P 的轨迹是椭圆，且焦距为 AB6，B 错误，C 正确；当 a3 时，点 P 的轨迹为线段 AB，D 错误二、椭圆的标准方程问题 2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以 F1，F2所在的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，如图，则 F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)设 P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知 PF1PF22a，即 xc2y2 xc2y22a.将这个方程移项后两边平方，得(xc)2y24a24a xc2y2(xc)2y2，整理得 a2cxa xc2y2.两边再平方，得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)因为 a2c20，所以可设 a2c2b2(b0)，于是得 b2x2a2y2a2b2，两边同除以 a2b2，得x2a2y2b21.由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上这样，焦点为 F1(c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点 F1(0，c)，F2(0，c)的椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0)以上两种方程都叫作椭圆的标准方程知识梳理椭圆的标准方程焦点位置在 x 轴上在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c 的关系a2b2c2注意点：焦点位置由 a2，b2的大小确定例 2根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26；(2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上；(3)椭圆的焦点在 x 轴上，ab21，c 6.解(1)椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.所求椭圆的标准方程为y2169x21441.(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点在 x 轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点 P(1，32)，1b2194b21，解得 b23，a24.椭圆的标准方程为x24y231.(3)c 6，a2b2c26.又由 ab21，得 a2b，代入得 4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为x28y221.反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论跟踪训练 2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上，且 a4，c2；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点(32，52).解(1)a216，c24，b216412，且焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为x216y2121.(2)椭圆的焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义，知 2a(320)2(522)2(320)2(522)23 1021022 10，a 10.又c2，b2a2c21046.椭圆的标准方程为y210 x261.三、直线与椭圆的位置关系知识梳理直线 ykxm 与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系判断方法：联立Error!消去 y(或 x)得到一个关于 x(或 y)的一元二次方程：位置关系解的个数 的取值相交两解0相切一解0相离无解0，得3 2m3 2.于是，当3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不同的公共点(2)由 0，得 m3 2.也就是当 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)由 0，得 m3 2.从而当 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题跟踪训练 3已知椭圆x24y231，直线 l：xmym0(mR)，则直线 l 与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D不确定答案C解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)，因为0241231，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线 l 与椭圆相交1知识清单：(1)椭圆的定义及其应用(2)椭圆的标准方程(3)直线与椭圆的位置关系2方法归纳：待定系数法3常见误区：忽视椭圆定义中 a，b，c 的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程1设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则 PF1PF2等于()A4 B5 C8 D10答案D2到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点 M 的轨迹是()A椭圆 B线段C圆 D以上都不对答案B解析MF1MF2F1F24，点 M 的轨迹为线段 F1F2.3已知直线 l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D相交或相切答案A解析把 xy30 代入x24y21，得x24(3x)21，即 5x224x320.(24)24532640，直线与椭圆相离4在椭圆x23y21 中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点 F1，再次被椭圆反射后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_答案4 3解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为 4a，即 4 3.课时对点练课时对点练1椭圆x225y21691 的焦点坐标是()A(5,0)B(0，5)C(0，12)D(12,0)答案C解析椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2169，b225，所以 c2a2b2144，所以 c12，故焦点坐标为(0，12)2直线 yx1 与椭圆x25y241 的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断答案A解析方法一直线过点(0,1)，而 0140，所以直线与椭圆相交3设定点 F1(0，2)，F2(0,2)，动点 P 满足条件 PF1PF2m4m(m2)，则点 P 的轨迹是()A椭圆 B线段C椭圆或线段 D不存在答案A解析设 ym4m(m2)，易知 ym4m在(2，)上为增函数，所以 ym4m4，即 PF1PF24，又 F1F24，所以点 P 的轨迹为以 F1，F2为焦点的椭圆4“2m6”是“方程x2m2y26m1 为椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析若方程x2m2y26m1 表示椭圆，则Error!解得 2m6 且 m4，所以“2m3 Ba3 或 a3 或6aa60，得Error!所以Error!所以 a3 或6a1sin 0，即 sin cos 0.又(0，2)，所以42.14 在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆x225y2161 上，则sin Asin C2sin B_.答案56解析由椭圆的方程得 a5，b4，c3.ABC 的顶点 A(3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆x225y2161 上，BCAB2a10，由正弦定理可知sin Asin C2sin BBCBA2AC2a4c56.15设 P 是椭圆x225y291 上一点，M，N 分别是圆 A：(x4)2y21 和圆 B：(x4)2y21 上的点，则 PMPN 的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知 PAPB2a10，连接 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N 两点，此时 PMPN 最小，最小值为 PAPB2r8.延长 PA，PB，分别与左、右两圆相交于 M，N两点，此时 PMPN 最大，最大值为 PAPB2r12，即最小值和最大值分别为 8,12.16已知椭圆 x28y28，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：xy40 的距离最短，并求出最短距离解设与直线 xy40 平行且与椭圆相切的直线方程为 xya0(a4)，由Error!消 x 得 9y22aya280，由 4a236(a28)0，解得 a3 或 a3，与直线 l 距离较近的切线为 xy30，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线 xy30 与椭圆的切点即为所求点 P.故所求最短距离为 d|43|222.由Error!得Error!即 P(83，13).苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件椭圆的标准方程椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？导导 语语一、椭圆的定义一、椭圆的定义问题1在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的(focaldistance).注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在.知识梳理知识梳理常数(大于F1F2)焦点焦距例1命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PAPB2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆，则PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件.反过来，若PAPB2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为仅当2aAB时，P点轨迹才是椭圆；而当2aAB时，P点轨迹是线段AB；当2aAB时，P点无轨迹，甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程.跟踪训练1(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PAPB2a(a0)，给出下列说法中正确的是A.当a2时，点P的轨迹不存在B.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆解析当a2时，2a4AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB6，B错误，C正确；当a3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1PF22a，将这个方程移项后两边平方，两边再平方，得a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2).因为a2c20，所以可设a2c2b2(b0)，由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，c)，以上两种方程都叫作椭圆的标准方程.椭圆的标准方程知识梳理知识梳理焦点位置在x轴上在y轴上标准方程图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2_(ab0)(ab0)b2c2注意点：焦点位置由a2，b2的大小确定.例2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；解椭圆的焦点在y轴上，2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.焦点在x轴上，2c2，a2b21，又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在x轴上，反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程.提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论.跟踪训练跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上，且a4，c2；解a216，c24，b216412，由椭圆的定义，又c2，b2a2c21046.三、直线与椭圆的位置关系三、直线与椭圆的位置关系知识梳理知识梳理位置关系解的个数的取值相交解0相切解0相离解0两一无注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.例3已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；解直线l的方程与椭圆C的方程联立，将代入，整理得9x28mx2m240，关于x的一元二次方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.(2)有且只有一个公共点；可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)没有公共点？方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.跟踪训练跟踪训练3已知椭圆1，直线l：xmym0(mR)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不确定解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.1.知识清单：(1)椭圆的定义及其应用.(2)椭圆的标准方程.(3)直线与椭圆的位置关系.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1PF2等于A.4B.5C.8D.10123412342.到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对解析MF1MF2F1F24，点M的轨迹为线段F1F2.12343.已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.相交或相切(24)24532640，所以直线与椭圆相交.12345678910 11 12 13 14 15 163.设定点F1(0，2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1PF2m(m2)，则点P的轨迹是A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在又F1F24，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为A.6B.7C.8D.9解析根据椭圆的定义知，PF1PF22a2510，因为PF13，所以PF27.12345678910 11 12 13 14 15 166.如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是A.a3B.a3或a3或6acos0.解析由椭圆的方程得a5，b4，c3.BCAB2a10，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.设P是椭圆1上一点，M，N分别是圆A：(x4)2y21和圆B：(x4)2y21上的点，则PMPN的最小值、最大值分别为A.9,12B.8,11C.8,12D.10,1212345678910 11 12 13 14 15 16解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PAPB2a10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最小，最小值为PAPB2r8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最大，最大值为PAPB2r12，即最小值和最大值分别为8,12.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离.12345678910 11 12 13 14 15 16解设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线方程为xya0(a4)，消x得9y22aya280，由4a236(a28)0，解得a3或a3，与直线l距离较近的切线为xy30，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线xy30与椭圆的切点即为所求点P.12345678910 11 12 13 14 15 16
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