苏教版高中数学选择性必修一第3章3.2.2第2课时《双曲线几何性质的综合问题》教案及课件.zip

第第 2 课时双曲线几何性质的综合问题课时双曲线几何性质的综合问题学习目标 1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.2.理解双曲线离心率范围的求法.3.掌握双曲线几何性质的综合应用导语上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题一、共渐近线问题例 1求与双曲线x29y2161 有共同的渐近线，且过点(3,2 3)的双曲线方程解方法一当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为x2a2y2b21.由题意，得Error!解得 a294，b24，所以双曲线的方程为4x29y241.当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为y2a2x2b21.由题意，得Error!解得 a24，b294(舍去)综上所得，双曲线的方程为4x29y241.方法二设所求双曲线方程为x29y216(0)，将点(3,2 3)代入得 14，所以双曲线方程为x29y21614，即4x29y241.反思感悟利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为x2a2y2b2(0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性跟踪训练 1双曲线顶点间距离为 6，渐近线方程为 y32x.求双曲线的方程解设以 y32x 为渐近线的双曲线方程为x24y29(0)，当 0 时，a24，2a2 4694.当 0 时，a29，2a2 961.双曲线的标准方程为x294y2811 或y29x241.二、双曲线离心率的取值范围例 2已知点 F 是双曲线x2a2y2b21 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A(1，)B(1,2)C(2,1 2)D(1,1 2)答案B解析若ABE 是锐角三角形，则AEF45，在 RtAEF 中，AFb2a，EFac，所以b2a0，所以 e2e20，解得1e1，所以 1e0，b0)的左、右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率1MAk2MAk2，则双曲线 C 的离心率的取值范围是()A(1，2)B(1，3)C(3，)D(1,2)答案B解析设 M(x，y)，由题意得 A1(a,0)，A2(a,0)，则1MAkyxa，2MAkyxa，则1MAk2MAky2x2a2，又点 M 在双曲线上，故x2a2y2b21y2b2(x2a21)，代入1MAk2MAky2x2a2中，可得b2x2a2b2a2x2a2b2a22c2a2a2e2121e0，b0)的左、右焦点，A 为左顶点，点 P为双曲线 C 右支上一点，F1F210，PF2F1F2，PF2163，O 为坐标原点，则OA OP 等于()A293 B.163 C15 D15答案D解析F1，F2是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，A 为左顶点，点 P 为双曲线 C右支上一点，F1F210，PF2F1F2，PF2163，可得 c5，b2a163，a2b2c2，解得 a3，b4，则 A(3,0)，P(5，163)，则OA OP 15.1知识清单：(1)共渐近线求双曲线的方程(2)求双曲线离心率的取值范围(3)双曲线几何性质的综合应用2方法归纳：化归思想、数形结合法3常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全1已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.x24y21 Bx2y241C.3x2203y251 D.3x253y2201答案A解析由题意得 c 5，ba12，则 a2，b1，所以双曲线的方程为x24y21.2已知 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为()A.13 B.12 C.23 D.32答案D解析由 c2a2b24 得 c2，所以 F(2,0)，将 x2 代入 x2y231，得 y3，所以 PF3.又 A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为123(21)32.3已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P满足 2|PF1 PF2|F1F2|，则双曲线 C 的离心率的取值范围是()A(1，2 B(1,2C 2，)D2，)答案D解析设 O 为坐标原点，由 2|PF1 PF2|F1F2|，得 4|PO|2c(2c 为双曲线的焦距)，|PO|12c，又由双曲线的性质可得|PO|a，于是 a12c，e2.4已知椭圆x216y2121 的右焦点 F 到双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的距离小于3，则双曲线 E 的离心率的取值范围是_答案(1,2)解析椭圆x216y2121 的右焦点 F 为(2,0)，不妨取双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 bxay0，则焦点 F 到渐近线 bxay0 的距离 d|2b|b2a2 3，即有 2b 3c，4b23c2，4(c2a2)3c2，e1，1e0)，即x2y231，a2，b23.焦点坐标为(4,0)，(4,0)，c4，c2a2b24164，双曲线方程为x24y2121.3若 a1，则双曲线x2a2y21 的离心率的取值范围是()A(2，)B(2，2)C(1，2)D(1,2)答案C解析由题意得双曲线的离心率 ea21a.e2a21a211a2.a1，01a21，111a22，1e0，b0)的右焦点，过点 F 作斜率为 3 的直线 l 与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，10)B(1，5)C(10，)D(5，)答案C解析双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，由斜率为 3 的直线 l 过双曲线的右焦点，且与双曲线左、右两支各有一个交点，则ba3，即 b29a2，c210a2，可得 e 10.6已知点 P 为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)右支上一点，点 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有12IPFIPFSS131 2IF FS成立，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1,2 B(1,2)C(0,3 D(1,3答案D解析设PF1F2的内切圆半径为 r，如图由双曲线的定义得 PF1PF22a，F1F22c.1IPFS12PF1r，2IPFS12PF2r，1 2IF FS12F1F2r122crcr.由题意得12PF1r12PF2r13cr，故 c32(PF1PF2)3a.故 eca3，又 e1，双曲线的离心率的取值范围是(1,37如果双曲线x2a2y2b21 右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_答案(2，)解析如图，因为 OAAF，F(c,0)，所以 xAc2，因为 A 在右支上且不在顶点处，所以c2a，所以 eca2.8已知双曲线方程为 8kx2ky28(k0)，则其渐近线方程为_答案y2 2x解析由已知令 8kx2ky20，得渐近线方程为 y2 2x.9已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且 PF14PF2，求双曲线的离心率 e 的最大值解由双曲线定义知 PF1PF22a，又已知 PF14PF2，所以 PF183a，PF223a，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2649a249a24c2283a23a17898e2，要求 e 的最大值，即求 cosF1PF2的最小值，因为 cosF1PF21，所以 cosF1PF217898e21，解得 e53，即 e 的最大值为53.10已知双曲线的渐近线方程为 y2x，且过点(3,4 2)(1)求双曲线的方程；(2)若直线 4xy60 与双曲线相交于 A，B 两点，求 AB 的值解(1)由双曲线的渐近线方程为 y2x，则设所求双曲线的方程为 x2y24(0)，把(3,4 2)代入方程，整理得 9324，解得 1，即双曲线的方程为 x2y241.(2)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!整理得 3x212x100，所以 x1x24，x1x2103，由弦长公式可知，AB 1k2x1x224x1x2116(424 103)2 1023.所以 AB 的值为2 1023.11(多选)双曲线 C 与椭圆x29y241 有相同的焦距，一条渐近线的方程为 x2y0，则双曲线 C 的标准方程可以为()A.x24y21 By2x241Cx2y241 D.y24x21答案AB解析由题意知 c 5，设双曲线的方程为 x24y2，x2y241，45 或4()5，4 或 4.故选 AB.12(多选)已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且PF1 PF2 0，则下列结论正确的是()A双曲线 C 的渐近线方程为 yxB以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21CF1到双曲线的一条渐近线的距离为 1DPF1F2的面积为 1答案ACD解析易得双曲线 C 的渐近线方程为 yx，选项 A 正确；由 ab1 得 c 2，因此以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y22，选项 B 错误；不妨设 F1(2，0)，则 F1到双曲线的一条渐近线的距离 d|20|21，选项 C 正确；由PF1 PF2 0 得，PF1PF2，因此点 P 在圆 x2y22 上，由Error!得，y212，|y|22，因此，1 2PF FS12F1F2|y|122 2221，选项 D 正确13 设 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 PF1PF23b，PF1PF294ab，则该双曲线的离心率为_答案53解析不妨设 P 为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得 r1r22a，又 r1r23b，故 r13b2a2，r23b2a2.又 r1r294ab，所以3b2a23b2a294ab，解得ba43(负值舍去)，故 eca a2b2a2(ba)21(43)2153.14设 F1，F2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若 P 在双曲线上，且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2|的值为_答案2 10解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(10，0)，F2(10，0)设点 P(x，y)，则PF1(10 x，y)，PF2(10 x，y)PF1 PF2 0，x2y2100，即 x2y210.|PF1 PF2|PF1|2|PF2|22PF1 PF2 2x2y2202 10.15(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为 60，则双曲线的离心率为()A2 B.2 33C.3 D.5答案AB解析方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况当双曲线的焦点在 x 轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为 60，如图 1 所示；若其中一条渐近线的倾斜角为 30，如图 2 所示所以双曲线的一条渐近线的斜率 k 3或 k33，即ba 3或ba33.又 b2c2a2，所以c2a2a23 或c2a2a213，所以 e24 或 e243，所以 e2 或 e2 33.同理，当双曲线的焦点在 y 轴上时，则有ab 3或ab33，所以ba33或ba 3，亦可得到 e2 33或 e2.综上可得，双曲线的离心率为 2 或2 33.方法二根据方法一，得当双曲线的焦点在 x 轴上时，渐近线的倾斜角 为 30或 60，则离心率 e1cos 2 33或 2.当双曲线的焦点在 y 轴上时，渐近线的倾斜角 为 30或 60，则离心率 e1sin 2 或2 33.综上可得，双曲线的离心率为 2 或2 33.16如图，已知梯形 ABCD 中，AB2CD，点 E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线过 C，D，E 三点，且以 A，B 为焦点，当2334时，求双曲线离心率 e 的取值范围解由题意可知 CDy 轴双曲线经过点 C，D，且以 A，B 为焦点，由双曲线的对称性知 C，D 关于 y 轴对称依题意，记 A(c,0)，C(c2，h)，E(x0，y0)，其中 c12AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高由定比分点坐标公式得 x02c21，y0h1，设双曲线的方程为x2a2y2b21，则离心率 eca，点 C，E 在双曲线上，将点 C 的坐标代入双曲线方程得c24a2h2b21，将点 E 的坐标代入双曲线方程得c24a2(21)2h2b2(1)21.再将 eca代入得e24h2b21，h2b2e241.将 eca代入，得e24(21)2h2b2(1)21.将代入式，整理得e24(44)12，13e22.由题设2334，得2313e2234，解得 7e 10.双曲线离心率的取值范围是 7，10苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件双曲线几何性质的综合问题双曲线几何性质的综合问题上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.导导 语语一、共渐近线问题一、共渐近线问题反思感悟利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为 (0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性.跟踪训练1双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y x.求双曲线的方程.二、双曲线离心率的取值范围二、双曲线离心率的取值范围例2已知点F是双曲线 1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是解析若ABE是锐角三角形，则AEF0，所以e2e20，解得1e1，所以1e0，b0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率 2，则双曲线C的离心率的取值范围是解析设M(x，y)，由题意得A1(a,0)，A2(a,0)，三、双曲线几何性质的综合应用三、双曲线几何性质的综合应用所以可设双曲线的方程为x2y2.因为过点(3，1)，所以91，即8，所以双曲线的方程为x2y28.解因为F1(4,0)，F2(4,0)，因为M点在双曲线上，所以18m28，即m210，求F1MF2的面积.反思感悟(1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算.(2)双曲线的几何性质常与平面向量、正、余弦定理、不等式结合.A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F210，解得a3，b4，则A(3,0)，1.知识清单：(1)共渐近线求双曲线的方程.(2)求双曲线离心率的取值范围.(3)双曲线几何性质的综合应用.2.方法归纳：化归思想、数形结合法.3.常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练12342.已知F是双曲线C：x2 1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为解析由c2a2b24得c2，所以F(2,0)，123412344(c2a2)3c2，e1，1e0，b0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线左、右两支各有一个交点，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.已知点P为双曲线 1(a0，b0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有 成立，则双曲线的离心率的取值范围是A.(1,2 B.(1,2)C.(0,3 D.(1,312345678910 11 12 13 14 15 16解析设PF1F2的内切圆半径为r，如图.由双曲线的定义得PF1PF22a，F1F22c.双曲线的离心率的取值范围是(1,3.7.如果双曲线 1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_.解析如图，因为OAAF，F(c,0)，(2，)因为A在右支上且不在顶点处，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.已知双曲线方程为8kx2ky28(k0)，则其渐近线方程为_.解析由已知令8kx2ky20，12345678910 11 12 13 14 15 169.已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，求双曲线的离心率e的最大值.解由双曲线定义知PF1PF22a，又已知PF14PF2，在PF1F2中，由余弦定理得要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，因为cosF1PF21，12345678910 11 12 13 14 15 16(1)求双曲线的方程；解由双曲线的渐近线方程为y2x，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若直线4xy60与双曲线相交于A，B两点，求AB的值.12345678910 11 12 13 14 15 16解由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得3x212x100，由弦长公式可知，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.(多选)双曲线C与椭圆 1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x2y0，则双曲线C的标准方程可以为12345678910 11 12 13 14 15 164或4.故选AB.12345678910 11 12 13 14 15 1612.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2y21的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且 0，则下列结论正确的是A.双曲线C的渐近线方程为yxB.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.PF1F2的面积为1解析易得双曲线C的渐近线方程为yx，选项A正确；因此以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，选项B错误；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析不妨设P为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16设点P(x，y)，x2y2100，即x2y210.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为解析方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示.12345678910 11 12 13 14 15 16方法二根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，12345678910 11 12 13 14 15 16当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角为30或60，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段 所成的比为，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当 时，求双曲线离心率e的取值范围.解由题意可知CDy轴.双曲线经过点C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称.12345678910 11 12 13 14 15 16点C，E在双曲线上，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16