苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的性质》教案.docx
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1、习题课等差数列的性质学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算导语同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了等差数列是一种特殊的函数,在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说ann,这是一个正整数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质一、由等差数列构造新等差数列问题1若数列是等差数列,首项为a1,公差为d,在中每相邻两项之间都插入4个数,若要使之构成一个新的等差数列,你能求出它的公差吗?提示设新数列
2、为,公差为d,则有b1a1,b6a2,所以b6b1a2a1d,故有5dd,所以dd.知识梳理若an,bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为kd的等差数列(k为常数,kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p,q为常数)例1有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为()A15 B16 C17 D18答案B解析易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列
3、公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2,所以通项公式为an12n10,所以12n10190,解得n,而nN*,所以n的最大值为16.反思感悟对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断:(1)定义:anan1是否为常数;(2)其通项公式是否为关于n的一次函数跟踪训练1已知两个等差数列an:5,8,11,与bn:3,7,11,它们的公共项组成数列cn,则数列cn的通项公式cn_;若数列an和bn的项数均为100,则cn的项数是_答案12n125解析由于数列an和bn都是等差数列,所以cn也是等差数列,且公差为3412,又c111,故cn1112(n1)12n1.又a100
4、302,b100399,所以解得1n25.25,故cn的项数为25.二、等差数列中任意两项之间的关系问题2如果是等差数列,a35,d2,如果不求首项,你能求数列的通项公式吗?提示由定义可知a3a12d,ana1(n1)d,两式相减得ana3(n3)d,即ana3(n3)d.知识梳理设等差数列an的首项为a1,公差为d,则(1)andn(a1d)(nN*);(2)anam(nm)d(m,nN*);(3)d(m,nN*,且mn)注意点:若anm,amn(nm),则anm0.(证明:,1,故anm0)例2已知an为等差数列,a158,a6020,求a75.解方法一(利用anam(nm)d)设数列 a
5、n的公差为d,则a60a15(6015)d845d,所以d,所以a75a60(7560)d201524.方法二(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为第四项,所以a60a153d,解得d4,所以a75a60d24.反思感悟灵活利用等差数列的性质,可以减少运算令m1,anam(nm)d即变为ana1(n1)d,可以减少记忆负担跟踪训练2已知bn为等差数列,若b32,b1012,则b8_.答案8解析方法一bn为等差数列,可设其公差为d,则d2,bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由d,得b85
6、b325(2)8.三、等差数列中多项之间的关系问题3若数列是等差数列,公差为d,mnpq(m,n,p,qN*),则am,an,ap,aq这四项之间有什么样的关系?提示由等差数列的定义可知,ama1(m1)d,ana1(n1)d,apa1(p1)d,aqa1(q1)d,容易发现aman2a1(mn2)d,apaq2a1(pq2)d,因为mnpq,故有amanapaq.知识梳理1下标性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.2特别地,若mn2p(m,n,pN*),则有aman2ap.注意点:(1)推广:若mnpxyz,则amanapaxayaz;(2)该性质要求
7、下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,即a1ana2an1.例3已知数列an是等差数列,若a1a9a177,则a3a15等于()A7 B14 C21 D7(n1)答案B解析因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97,所以a3a152a92714.延伸探究在等差数列an中,a3a72a1540,求a10.解方法一设数列an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040,a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040,a1010.反思感悟等差数列
8、运算的两种常用思路(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足mnpq2r(m,n,p,q,rN*),则amanapaq2ar.跟踪训练3数列an满足3anan1且a2a4a69,则log6(a5a7a9)的值是()A2 B C2 D.答案C解析由3anan1,得an1an3.所以an是公差为3的等差数列又a2a4a69,且a2a62a4,所以3a49,则a43,所以a7a43d33312,故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1知识清单:(1)由等差数列构造新的等差数列(2)等差数
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