苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《并项求和、错位相减法》教案.docx

1、习题课并项求和、错位相减法学习目标1.熟练掌握等差与等比数列前n项和公式中各个符号的意义.2.根据数列的结构形式会用并项法和错位相减法求和一、并项求和例1已知数列an(1)nn，求数列的前n项和Sn.解方法一若n是偶数，则Sn(12)(34)(56)(n1)n.若n是奇数，则Sn(12)(34)(56)(n)n.综上所述，SnnN*.方法二可采用分组求和(略)延伸探究若an(1)nn2，求数列的前n项和Sn.解若n是偶数，Sn(1222)(3242)(5262)(n1)2n237112n1，共有项，故Sn34，若n是奇数，Sn(1222)(3242)(5262)(n2)3711(n2)，其中有

2、前是等差数列，故有Sn34n2，综上所述，SnnN*.反思感悟并项求和法适用的题型一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和跟踪训练1若数列的通项公式是an(1)n1(3n2)，则a1a2a2 021等于()A3 027 B3 027 C3 031 D3 031答案D解析S2 021(14)(710)(6 0556 058)6 0611 010(3)6 0613 031.二、错位相减法例2求和：Snx2x23x3nxn(x0)解当x1时，Sn123n；当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1

3、，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn.综上可得，Sn反思感悟(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法(2)用错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式跟踪训练2已知数列an的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a23.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.解(1)数列是公差为1的等差数列，a1n1，可得Snn(a1n1)，a1a22(a

4、11)，且a23.解得a11.Snn2.n2时，anSnSn1n2(n1)22n1(n1时也成立)an2n1.(2)bnan3n(2n1)3n，数列bn的前n项和Tn3332533(2n1)3n，3Tn32333(2n3)3n(2n1)3n1，2Tn32(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n1，可得Tn3(n1)3n1.1知识清单：(1)并项求和(2)错位相减法求和2方法归纳：公式法、错位相减法3常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶；错位相减法中要注意相减后的项数、符号及化简1已知在前n项和为Sn的数列中，a11，an1an2，则S101等于()A97 B98C99 D100答案C

5、解析由an1an2，得anan12，则S101a1(a2a3)(a100a101)125099.2数列的通项公式为an1n2sin，前n项和为Sn，则S100等于()A50 B2 400 C4 900 D9 900答案C解析a1112，a21，a3132，a41，考虑到ysin的周期为4，所以S10010012325272972992100210024 900.3已知等比数列an的前n项和为Sn，若S37，S663，则数列nan的前n项和为()A3(n1)2n B3(n1)2nC1(n1)2n D1(n1)2n答案D解析设等比数列an的公比为q，易知q1，所以由题设得两式相除得1q39，解得q

6、2，进而可得a11，所以ana1qn12n1，所以nann2n1.设数列nan的前n项和为Tn，则Tn120221322n2n1，2Tn121222323n2n，两式作差得Tn12222n1n2nn2n1(1n)2n，故Tn1(n1)2n.4计算1239_.答案解析S1239，S1239，由得，S99191，所以S.课时对点练1若数列的通项公式是ann，则a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析因为ann，所以a1a2253，a3a48113，a5a614173，a7a820233，a9a1026293，因此a1a2a103515.2已知数列中，a11，anan13，Sn

7、为其前n项和，则S2 021等于()A3 030 B3 031 C3 032 D3 033答案B解析由题意a22，a31，a42，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 021(a1a2)(a3a4)(a2 019a2 020)a2 02131 01013 031.3数列满足a11，a23，且an12anan10(n2)，则的前2020项和为()A8 080 B4 040 C4 040 D0答案B解析由递推关系式可得a1a2，a2a3，所以a3a4a1a24，同理可得a5a6a7a8a2 019a2 0204，所以S2 02041 0104 040.4已知函数f且anf(n)f(n1)，则a1a2a

8、3a100等于()A0 B100 C100 D10 200答案B解析anf(n)f(n1)由已知条件知，an即anan(1)n(2n1)，anan12(n是奇数)，a1a2a3a100(a1a2)(a3a4)(a99a100)2222100.5定义表示不超过x的最大整数，如0，1.若数列的通项公式为an，Sn为数列的前n项和，则S2 047等于()A2112 B32112C62112 D92112答案D解析n1，log2n0，当0log2n1时，n1，即a10(共1项)；当1log2n2时，n2,3，即a2a31(共2项)；当2log2n3时，n4,5,6,7，即a4a5a6a72(共4项)；

9、当klog2n0，记数列的前n项和为Tn，则使得Tn2 021成立的n的最小值为()A7 B8 C10 D11答案B解析由题意，得2Snan，当n2时，2Sn1an1，所以2an2Sn2Sn1anan1，整理得0，因为数列单调递增且Sn0，所以anan10，anan110，即anan11，当n1时，2S1a1，所以a11，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以ann，所以Tn121222323n2n，2Tn1222233242nn2n1，所以Tn22223242nn2n1n2n12n12，所以Tn2n12，所以T762821 538，T872923 586，所以Tn2 021成立的n的

10、最小值为8.7已知数列满足：ancos，则的前100项和为_答案1解因为ancos，所以a11，a2，a3，a41，a5，a6，可知数列是以3为周期的周期数列，且a1a2a30，所以S100a1a2a3a4a5a6a97a98a99a100 a100a100a11.8已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an1(nN*)，则数列nan的前n项和Tn为_答案(n1)2n1解析Sn2an1(nN*)，n1时，a12a11，解得a11，n2时，anSnSn12an1(2an11)，化为an2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1.nann2n1.则数列nan的前n项和Tn12

11、2322n2n1.2Tn2222(n1)2n1n2n，Tn12222n1n2nn2n(1n)2n1，Tn(n1)2n1.9已知等差数列的前n项和为Sn，且满足a38，S52a7.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足bnancos n2n1，求数列的前2n项和T2n.解设的公差为d，依题意得解得 所以ana1d233n1.bnancos n2n1nan2n1，T2n(a2na2n1)(222322n1)3n3n22n24.10已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数

12、列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，由题意知，a1(1q)6，aqa1q2，又an0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.11已知的前n项和为Sn，a11，当n2时，an2Sn1n，则S2 021的值为()A1 008 B1 009 C1 010 D1 011答案D解析由题意，当n2时，可得Sn1Snan，因为an2Sn1n，所以an2(Snan)n，即2Snann，当n3时，2Sn1an1n1，两式相减，可得2ananan1

13、1，即anan11，所以a2a31，a4a51，a6a71，所以S2 021a1111 011.12公元1202年列昂那多斐波那契(意大利著名数学家)以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，即a11，a21，anan1an2，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用若此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前n项的和为Tn，若数列满足：cnaanan2，设数列的前n项的和为Sn，则T2 022S2 022等于()A1 349 B1 348 C674 D673答案B解析 “兔子数列”的各项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

14、，此数列被2除后的余数依次为：1,1,0,1,1,0,1,1,0，即b11，b21，b30，b41，b51，b60，数列是以3为周期的周期数列，T2 022674(b1b2b3)67421 348，由题意知1，由于c1aa1a31，所以cn(1)n，所以S2 022(11)(11)(11)0.则T2 022S2 0221 348.13在数列中，a11，对于任意自然数n，都有an1ann2n，则a15等于()A142152 B132142C142153 D132153答案D解析an1ann2n，a2a1121，a3a2222，a4a3323 anan1(n1)2n1，以上n1个等式，累加得ana

15、1121222323(n1)2n1，又2an2a1122223324(n2)2n1(n1)2n， 得a1an222232n1(n1)2n(n1)2n(2n)2n2，an(n2)2n3(n2)，a15(152)2153132153.14设Xn1,2,3，n，对Xn的任意非空子集A，定义f(A)为A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的f(A)的和为Sn，则S5_.答案129解析由Xn1,2,3，n，Xn的任意非空子集A共有2n1个，其中最大值为n的有2n1，最大值为n1的有2n2个，最大值为1的有201个，故Sn2012122n22n1n，所以2Sn2112222n12nn，两式相减

16、得Sn121222n12nn，所以Sn2nn2n12nn，故Sn2n1，所以S5251129.15在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则a1a2a51_.答案676解析当n为偶数时，an2an2，an22n ；当n为奇数时，an2an0，an1 ；所以a1a2a51261(24650)26125(250)676.16已知数列an满足a11，an12an(为常数)(1)试探究数列an是不是等比数列，并求an；(2)当1时，求数列n(an)的前n项和Tn.解(1)因为an12an，所以an12(an)又a11，所以当1时，a10，数列an不是等比数列，此时anan10，即an1；当1时，a10，所以an0，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，此时an(1)2n1，即an(1)2n1.(2)由(1)知an2n1，所以n(an1)n2n，Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，得，Tn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.所以Tn(n1)2n12.