苏教版高中数学选择性必修一第4章4.2.3第2课时《等差数列前n项和的性质及应用》教案.docx

1、第2课时等差数列前n项和的性质及应用学习目标1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少

2、钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列an，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%60(n1)(1n20，nN*)所以an是以60为首项，为公差的等差数列所以a1060955.5，a20601950.5.所以S20(a1a20)2010(6050.5)1 105.所以实际共付1 1051501 255(万元)反思感悟(1)本题属于与等差数列前n

3、项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现跟踪训练1张邱建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算)答案解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列an，其中a15，S30390，设其公差为d，则S30305d390，解得d.故该女子织布每天增加尺二、等差数列中前n项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么

4、样的函数特点？提示由Snna1d，可知Snn2n，当d0时，Sn是常数项为0的二次函数该函数的定义域是nN*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为SnAn2Bn.知识梳理等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定(2)Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，d0时Sn有最小值S1，当a10，d0，由得又因为nN*，所以当n13时，Sn有最大值为169.方法三因为S8S18，所以a9a10a180.由等差数列的性质得a1

5、3a140.因为a10，所以d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找；运用二次函数求最值跟踪训练2在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值解(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列an中，a1018，S515，所以解得所以an3n12，nN*.(2)因为a19，d3，an3n12，所以Sn(3n221n)2，所以当n3或4时，前n项和Sn取得最小值为

6、S3S418.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？提示S2na1a2anan1a2nSn(a1nd)(a2nd)(annd)2Snn2d，同样我们发现S3n3Sn3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2nSnSnn2d，S3nS2nSn2n2d，是一个公差为n2d的等差数列知识梳理1设等差数列an的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，仍构成等差数列，且公差为m2d.2若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.3在等差数列中，若Snm，Smn，则Smn(mn)例3已知Sn是等差数列an的前n项和

7、，且S10100，S10010，求S110.解方法一设等差数列an的首项为a1，公差为d，S10100，S10010，解得S110110a1d110110.方法二S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，设公差为d，该数列的前10项和为10100dS10010，解得d22，前11项和S11011100(22)110.方法三由也是等差数列，构造新的等差数列b110，b10，则d(b10b1)，所以b11b10d1，所以S110110.方法四直接利用性质Snm，Smn，Smn(mn)，可知S110110.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决

8、等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法跟踪训练3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.1知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用(2)等差数列前n

9、项和的最值问题(3)等差数列中的片段和问题2方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法3常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列1已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A11或12 B12C13 D12或13答案D解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列又a124，d2，Sn24n(2)n225n2.nN*，当n12或13时，Sn最大2等差数列中，S33，S69，则S12等于()A12 B18 C24 D30答案D解析根据题意，得在等差数列中，S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等差数列，又由S33，S69，得S6S3

10、6，则S9S69，S12S912，则S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)3691230.3在巴比伦晚期的泥板文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为()A.两 B.两 C.两 D.两答案C解析设10个兄弟由大到小依次分得an两银子，由题意可得设数列的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子4已知Sn是等差数列的前n项和，若a12，2，则_.答案2 018解析Sn是等差数列的前n项和，是等差数列，设其公差为d.2，2d2，d1.a12，2.2(

11、n1)1n3.2 018.课时对点练1在等差数列an中，a11，其前n项和为Sn，若2，则S10等于()A10 B100 C110 D120答案B解析an是等差数列，a11，也是等差数列且首项为1.又2，的公差是1，1(101)110，S10100.2若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A30 B70 C50 D60答案C解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3已知数列2n19，那么这个数列的前n项和Sn()A有最大值且是整数 B有最

12、小值且是整数C有最大值且是分数 D无最大值和最小值答案B解析易知数列2n19的通项公式为an2n19，a117，d2.该数列是递增的等差数列令an0，得n.a1a2a3a90a100，a1 010a1 0110，则当Sn取最大值时，n等于()A1 010 B1 011 C2 020 D2 021答案A解析在等差数列中，a10，a1 010a1 0110，故公差d0，a1 0110，所以当Sn取最大值时，n1 010.5“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球

13、，下一层3个球，再下一层6个球，)若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()A45 B36 C28 D21答案D解析由题意分析可得a11，a2123，a31236，则“三角形数”的通项公式an，a621.6(多选)设an是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值答案ABD解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与S7均为Sn的最大值S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S9480，在24小时内能构筑成第二道防线10已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列

14、an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知a19，d20；当n6时，an0，S4S9，当Sn最大时，n等于()A6 B7 C6或7 D13答案C解析因为S4S9，所以4a1d9a1d，化简得a16d0，所以a16d，因为a10，所以d200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根15某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层()A7 B8 C9 D10答案C解析设电梯所停的楼层是n(2n12)，则S12(n2)212(12n)21572157，开口向上，对称轴为n9，故S在n9时取最小值Smin40.16已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2n.