2023届高三数学单元卷四《三角函数、解三角形》能力提升卷（及答案）.docx

1、单元卷四三角函数、解三角形(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021湖南五市十校联考已知sin 0，cos()0，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角2.2021广东湛江一模将函数f(x)sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为6，则()A. B.6C. D.33.2022山东潍坊期末音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.1807年法国数学家傅里叶发现代表

2、任何周期性声音的公式是形如yAsin x的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍.比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由如图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为()A.f(t)0.06sin 1 000t0.02sin 1 500t0.01sin 3 000tB.f(t)0.06sin 500t0.02sin 2 000t0.01sin 3 000tC.f(t)0.06sin 1 000t0.02sin 2 000t0.01sin 3 000tD.f(t)0.06sin 1 000t0.02sin 2 500t0.01sin 3 000t4

3、.2021湖北武汉十一校联考为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7方向，且山顶T处的仰角为30；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7方向，且山顶T处的仰角为60.同学们建立了如图模型，则山高OT为()A.20米 B.25米C.20米 D.25米5.2021安徽合肥一模已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)6.2022江西八校联考在ABC中，内角A，B，C所对的

4、边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD，a3b，则c的值为()A.3 B. C. D.27.2021东北师大附中模拟已知ABC的面积是S(b2c2)(其中b，c为ABC的边长)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形但不是等腰三角形C.等腰三角形但不是直角三角形D.等腰直角三角形8.2021河南名校联考已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2asin B，则cos Bsin C的取值范围为()A.(0， B.(1，C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

5、求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021湖南重点中学联考ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3，b2，sin Bsin 2A，则()A.sin B B.cos AC.c3 D.SABC210.2022山东德州名校联考在ABC中，给出下列4个说法，其中正确的是()A.若AB，则sin Asin BB.若sin Asin B，则ABC.若AB，则D.若AB，则cos2Acos2B11.2021湖北八市联考若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2a4asin20，则下列结论正确的有()A.角C一定为锐角B.a22b2c20C.3tan

6、Atan C0D.tan B的最小值为12.2022山西太原一模已知函数f(x)|sin x|cos x|，下列选项正确的是()A.f(x)的图象关于点中心对称B.f(x)在区间上单调递减C.f(x)在(0，2)上有4个零点D.f(x)的值域为1，2.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022安徽名校联考已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sin 2 021，cos 2 021)，则sin(19)_.14.2021浙江“七彩阳光”联考在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C(c2b)cos A0，b2，B，则A_，边长c的

7、取值范围为_.15.2021江苏盐城一模已知函数f(x)sin x，若对任意xR都有f(x)f(xm)0，则常数m的一个取值为_.16.2021山西太原模拟已知函数f(x)acos2cos，若函数g(x)和f(x)的图象关于点对称，且对任意xR，g(x)恒成立，则a_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2021河北张家口市期末已知，为锐角，cos ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.18.(12分)2022湖北五校联考请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.cos A(ccos Bbcos C)

8、asin A0；cos B；tan Atan Btan Ctan Btan C0.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_.(1)求A；(2)设AD是ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x28x60的两根，求线段AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)2021山东聊城期末在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2(b2c2a2)(1tan A).(1)求角C；(2)若c2，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件：ABC的面积S4且BA.条件：cos B.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.20.(

9、12分)2021东北师大附中模拟已知函数f(x)sin xcos x3cos2x1.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若f(C)1，c，D为AB的中点，求CD的最大值.21.(12分)2021广东模拟在f(x)的图象关于直线x对称，f(x)的图象关于点对称，f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.已知函数f(x)4sina(N*)的最小正周期不小于，且_，是否存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计

10、分.22.(12分)2022重庆强基联合体检测在ABC中，ABC且tan A，tan B，tan C均为整数.(1)求A的大小；(2)设AC的中点为D，求的值.单元卷四三角函数、解三角形(能力提升卷)1.B因为cos()cos()cos 0，所以cos 0，又sin 0，所以为第二象限角，故选B.2.A由题知，函数g(x)sin x，因为g(x)的最小正周期为6，所以6，即，故选A.3.C由图知，A0.06，T，有1 000，所以y0.06sin 1 000t.由图对应的函数解析式为y0.01 sin 3 000 t通过逐一验证，结合题意知，函数f(t)0.06sin 1 000t0.02si

11、n 2 000t0.01sin 3 000t.故选C.4.C设山OT的高度为h(h0)米，在RtAOT中，TAO30，则AOh.在RtBOT中，TBO60，则BOh，在AOB中，AOB81.721.760，由余弦定理得，AB2AO2BO22AOBOcos 60，即14023h2h22hh，化简得h21402，又h0，解得h14020，即山高OT为20米.故选C.5.D由题中图象，得即由“五点作图法”知点为第一个零点，所以解得所以f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，故选D.6.C如图：在ABC中，由角A，C，B成等差数列，角C的角平分

12、线交AB于点D，则C，所以ACDBCD，由CD，a3b.所以，在ACD，BCD中，由余弦定理得：AD2b232bcos b23b3.DB2(3b)2323bcos 9b29b3.故9b29b39(b23b3)，解得b，故a4.在ABC中，由余弦定理得：c2a2b22abcos C，即c21624.故c.故选C.7.D依题意ABC的面积是S(b2c2)，则bcsin A(b2c2)，2bcsin Ab2c2，由于0A，0sin A1，所以02bcsin A2bc，由基本不等式可知b2c22bc，当且仅当bc时等号成立，所以sin A1，A，三角形ABC是等腰直角三角形.故选D.8.Cb2asin

13、 B，由正弦定理得sin B2sin Asin B，又sin B0，所以sin A，由于三角形ABC是锐角三角形，所以A.由得B，所以cos Bsin Ccos Bsincos Bcos Bsin Bcos Bsin Bsin，由于B，所以sin，所以sin.故选C.9.ACD因为sin Bsin 2A，所以sin B2sin Acos A，b2acos A.又a3，b2，所以cos A，sin A，sin B.又ba，所以cos B，cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin Bcos A，所以ca3，SABCbcsin A232.故选ACD.10.ABD在ABC中，内角A

14、，B，C所对的边分别为a，b，c.由大角对大边知，若AB，则ab，又由正弦定理得，sin Asin B，故A正确，同理B正确.当A120，B30时，0，0，故C错误.若AB，则sin Asin B，又sin A0，则sin2Asin2B，即1cos2A1cos2B，所以cos2Acos2B，故D正确.11.BCb2a4asin20，b2a4asin20，b2a4acos2 0，b2a4a0，b2acos C0，故cos C0，角C一定为钝角，A错误；b2acos C0b2a0a22b2c20，B正确；b2acos C0sin B2sin Acos C03sin Acos Ccos Asin C

15、03tan Atan C0，C正确；tan Btan(AC)，当且仅当tan A时可取等号，D错误.故选BC.12.BC因为f0，f，所以ff，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故A错误.因为f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos x|f(x)，所以为函数f(x)的周期.考虑x0，当x时，f(x)sin xcos x2sin，x，因为，所以f(x)在区间上单调递增，f(x)minf(0)1，f(x)maxf，所以f(x)有一个零点；当x时，f(x)sin xcos x2sin，x，因为，所以f(x)在区间上单调递减，f(x)minf()1，f(x)maxf，所以f(x)有一

16、个零点.所以f(x)的最小正周期为，f(x)在(0，2)上有4个零点，值域为1，故BC正确，D错误.13.由题意，角的终边经过点P(sin 2 021，cos 2 021)，根据三角函数的定义，可得cos sin 2 021sin(5360221)sin 221sin 41，sin cos 2 021cos(5360221)cos 221cos 41，所以sin(19)sin cos 19cos sin 19cos 41cos 19(sin 41)sin 19cos(4119)cos 60.14.2，1因为acos C(c2b)cos A0，所以sin Acos C(sin C2sin B)c

17、os A0，即sin Acos Ccos Asin C2sin Bcos A0，即sin(AC)2sin Bcos A0，即sin B2sin Bcos A0.因为sin B0，所以cos A.又因为0A，所以A.由正弦定理得，解得c1.因为B，所以1tan B，所以211，则c2，1.15.(答案不唯一，只要是(2k1)，kZ即可)由于f(x)f(xm)0对任意xR恒成立，f(x)f(xm)sin xsin(xm)0，所以sin xsin(xm)，故利用诱导公式得m(2k1)，kZ都可满足条件.故答案可取.(答案不唯一，只要是(2k1)，kZ即可)16.由题意知g(x)facos2cosac

18、os2cos，又g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x对称，所以g(0)g，即acos 2cosacos2cos，解得a.17.解(1)，为锐角且cos ，cos()，sin ，sin()，cos cos()cos()cos sin()sin ，cos 22cos21.(2)由(1)知cos ，则sin ，tan ，又cos ，sin ，tan 2，tan().18.解(1)选择条件，因为cos A(ccos Bbcos C)asin A0，由正弦定理得cos A(sin Ccos Bsin Bcos C)sin Asin A0，即cos Asin(BC)sin2A0.在ABC中，sin(

19、BC)sin A0.所以cos Asin A0，即tan A.因为A为ABC的内角，所以A.选择条件，cos B，由余弦定理得，整理得b2c2a2bc，所以cos A.因为A为ABC的内角，所以A.选择条件，tan Atan Btan Ctan Btan C0，因为tan(BC)，即tan A，所以tan Atan Btan Ctan Atan Btan C0，所以tan Btan Ctan Atan Btan C.因为A，B，C为ABC的内角，所以tan B0，tan C0，所以tan A，所以A.(2)因为边b，c的长度是方程x28x60的两根，所以bc8，bc6.因为SABCSABDSA

20、CD，所以bcsin ADcsin ADbsin ，即bc(bc)AD，所以AD，所以线段AD的长度为.19.解(1)在ABC中，由余弦定理知b2c2a22bccos A，所以2b22bccos A(1tan A)，所以bc(cos Asin A)，由正弦定理知，得sin Bsin C(cos Asin A)，所以sin(AC)sin C(cos Asin A)，即sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A，所以sin Acos Csin Csin A，因为sin A0，所以cos Csin C，所以tan C1，又0CA，所以ba，所以又D为BC的中点，

21、所以CD，在ACD中，AD2CA2CD22CACDcos C16224cos 26，所以AD.若选择条件，因为cos B，B是ABC一内角，所以sin B，又sinBACsin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，由正弦定理知，所以a2，又D为BC中点，所以BD，在ABD中，由余弦定理知AD2AB2BD22ABBDcos B，得AD.20.解(1)由已知，得f(x)sin 2x(1cos 2x)1sin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)由f(C)sin1，得sin，ABC为锐角三角形，C，2C，2C，C.在BCD中，由余弦定理得，a2CD

22、22CDcosBDC，在ACD中，由余弦定理得，b2CD22CDcosADC，易知cosBDCcosADC，可得CD2(a2b2).在ABC中，由余弦定理得，3a2b22abcos Ca2b2aba2b2(a2b2)，当且仅当ab时，等号成立，即a2b2的最大值为6，CD的最大值为.21.解由于函数f(x)的最小正周期不小于，所以，所以16，N*.若选择，不存在正实数a满足题意.由于f(x)的图象关于直线x对称，有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k3，4.此时，f(x)4sina.由x，得4x，因此当4x，即x时，f(x)取得最大值4a，令4a3，解得a1，不符合题意.故

23、不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3.若选择，不存在正实数a满足题意.由于f(x)的图象关于点对称，有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k1，3.此时，f(x)4sina.由x，得3x，因此当3x，即x时，f(x)取得最大值4sin aa，令a3，解得a3，不符合题意.故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3.若选择，存在正实数a满足题意.由于f(x)在上单调递增，则有(kZ)，解得由于16，N*，kZ，所以1.此时，f(x)4sina.由x，得x，因此当x，即x时，f(x)取得最大值2a，令2a3，解得a32，符合题意.故存在正实数a32，使得函数f(x

24、)在上有最大值3.22.解(1)在ABC中，ABC，A是锐角，tan A0，若tan A2，tan 60，且ytan x在0，90)内单调递增，A60.又ABC，B，C都大于60，与ABC180矛盾，tan A1，即A45.(2)A45，BC135，tan(BC)tan 1351.又tan(BC)1，即tan Btan C1tan Btan C.由tan B，tan C均为整数，且BC，可得tan B2，tan C3，则cos B，sin B，cos C，sin C.由正弦定理，a，b，c分别对应边BC，AC，AB，可得ba，ca.又AC的中点为D，则22得4|2|24，即|2|2，即cacosABC|2|2，即aa|2，解得BDa，故1.