2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.6空间向量的运算及应用课时跟踪检测（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.6 空间向量的运算及应用 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知 a (1,0,1)， b (x,1,2)，且 ab 3，则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A.56 B 23 C. 3 D 6 解析： ab x 2 3， x 1， b (1,1,2) cos a， b ab|a| b| 32 6 32 . a 与 b 的夹角为 6 ，故选 D. 答案： D 2已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E， F 分别是 BC， AD 的中点，则 AE AF 的值为 ( ) A a2 B 12a2 C.14a2 D 34 a2

2、解析 ： AE AF 12(AB AC ) 12AD 14(AB AD AC AD ) 14(a2cos60 a2cos60) 14a2. 答案： C 3 (2018 届东营质检 )已知 A(1,0,0)， B(0， 1,1)， OA OB 与 OB 的夹角为 120 ，则 的值为 ( ) A 66 B 66 C 66 D 6 解析： OA OB (1， ， )， cos120 1 2 2 2 12，得 66 . 经检验 66 不合题意，舍去， 66 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： C 4已知四边形 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD，连接 AC， BD， PB， PC，

3、PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( ) A.PC 与 BD B DA 与 PB C.PD 与 AB D PA 与 CD 解析：因为 PA 平面 ABCD，所以 PA CD， PA CD 0，排除 D. 又因为 AD AB， 所以 AD PB， 所以 DA PB 0， 同理 PD AB 0， 排除 B， C， 故选 A. 答案： A 5如图，在大小为 45 的二面角 A EF D 中，四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是边长为1 的正方形，则 B， D 两点间的距离是 ( ) A. 3 B 2 C 1 D 3 2 解析： BD BF FE ED ， |BD |2 |BF |2 |F

4、E |2 |ED |2 2BF FE 2FE ED 2BF ED 1 1 1 2 32，故 |BD | 3 2. 答案： D 6已知 a b c 0， |a| 2， |b| 3， |c| 19，则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D以上都不对 解析： a b c， a2 b2 2ab c2. 又 |a| 2， |b| 3， |c| 19， ab |a|b|cos a， b 3. cos a， b 12， a， b 60. 答案： C 7已知向量 a ? ?8， 12x， x ， b (x,1,2)，其中 x0.若 ab ，则 x 的值为 ( ) A 8 B 4

5、C 2 D 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：解法一：因 x 8,2,3 时都不满足 a b. 而 x 4 时， a (8,2,4) 2(4,1,2) 2b， a b. 解法二： a b?存在 0 使 a b? ?8， x2， x (x ， ， 2 )? x 8，x2 ，x 2? 2，x 4， 选 B. 答案： B 8在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)， B(10， 1,6)， C(x， 4,3)为顶点的 ABC是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 _ 解析：由题意知 AB AC 0， |AB | |AC |，又 AB (6， 2， 3)， AC (x 4,

6、3， 6)， ? x 6 18 0，x 2 4， 解得 x 2. 答案： 2 9.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 CD， PC 的中点，并且 PA AD 1.在如图所示的空间直角坐标系中，则 |MN| _. 解析：连接 PD， M， N 分别为 CD， PC 的中点， |MN| 12|PD|，又 P(0,0,1)， D(0,1,0)， |PD| 02 2 12 2， |MN| 22 . 答案： 22 10已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VA VB VC VD， VP 13VC ， VM 23VB ， VN 23VD .则 VA 与平面 PMN

7、 的位置关系是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：如图，设 VA a， VB b， VC c， 则 VD a c b， 由题意知 PM 23b 13c， PN 23VD 13VC 23a 23b 13c. 因此 VA 32PM 32PN ， VA ， PM ， PN 共面 又 VA?平面 PMN， VA 平面 PMN. 答案：平行 11已知 a (1， 3,2)， b ( 2,1,1)， A( 3， 1,4)， B( 2， 2,2) (1)求 |2a b|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得 OE b？ (O 为原点 ) 解： (1)2a b (2， 6,4) ( 2,

8、1,1) (0， 5,5)， 故 |2a b| 02 2 52 5 2. (2)令 AE tAB (t R)， 所以 OE OA AE OA tAB ( 3， 1,4) t(1， 1， 2) ( 3 t， 1 t,4 2t)， 若 OE b，则 OE b 0， 所以 2( 3 t) ( 1 t) (4 2t) 0，解得 t 95. 因此存在点 E，使得 OE b，此时 E 点的坐标为 65， 145 ， 25. 12.如图，在多面体 ABC A1B1C1中，四边形 A1ABB1是正方形， AB AC， BC 2AB， B1C1=【 ;精品教育资源文库 】 = 綊 12BC，二面角 A1 AB

9、C 是直二面角求证： (1)A1B1 平面 AA1C； (2)AB1 平面 A1C1C. 证明： 二面角 A1 AB C 是直二面角，四边形 A1ABB1为正方形， AA1 平面 ABC. 又 AB AC， BC 2AB， CAB 90 ， 即 CA AB， AB， AC， AA1两两互相垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz， 设 AB 2，则 A(0,0,0)， B1(0,2,2)， A1(0,0,2)， C(2,0,0)， C1(1,1,2) (1)A1B1 (0,2,0)， A1A (0,0， 2)， AC (2,0,0)， 设平面 AA1C 的一个法向量 n (x， y， z

10、)， 则? n A1A 0，n AC 0，即? 2z 0，2x 0， 即? x 0，z 0. 取 y 1，则 n (0,1,0) A1B1 2n，即 A1B1 n. A1B1 平面 AA1C. (2)易知 AB1 (0,2,2)， A1C1 (1,1,0)， A1C (2,0， 2)， 设平面 A1C1C 的一个法向量 m (x1， y1， z1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? m A1C1 0，m A1C 0，即? x1 y1 0，2x1 2z1 0， 令 x1 1，则 y1 1， z1 1，即 m (1， 1,1) AB1 m 01 2( 1) 21 0， AB1 m.又 AB

11、1?平面 A1C1C， AB1 平面 A1C1C. 能 力 提 升 1 A， B， C， D 是空间不共面的四 点，且满足 AB AC 0， AC AD 0， AB AD 0， M为 BC 中点，则 AMD 是 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 解析： M 为 BC 中点， AM 12(AB AC ) AM AD 12(AB AC ) AD 12AB AD 12AC AD 0. AM AD， AMD 为直角三角形 答案： C 2.(2018 届吉林延边质检 )如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD CBD， AB BD. (

12、1)证明：平面 ACD 平面 ABC； (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AE C 的余弦值 解： (1)证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO， OD. ABC 是等边三角形， OB AC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 ABD 与 CBD 中， AB BD BC， ABD CBD， ABD CBD， AD CD. ACD 是直角三角形， AC 是斜边， ADC 90. DO 12AC. DO2 BO2 AB2 BD2. BOD 90. OB OD. 又 DO AC O， OB 平面 ACD.

13、又 OB?平面 ABC， 平面 ACD 平面 ABC. (2)设点 D， B 到平面 ACE 的距离分别为 hD， hE.则 hDhE DEBE. 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 13S ACE hD13S ACE hE hDhE DEBE 1. 点 E 是 BD 的中点 建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB 2. 则 O(0,0,0)， A(1,0,0)， C( 1,0,0)， D(0,0,1)， B(0， 3， 0)， E? ?0， 32 ， 12 . AD ( 1,0,1)， AE ? ? 1， 32 ， 12 ， AC ( 2,0,0) 设平面 ADE 的法向量为 m (x， y， z)， 则? m AD 0，m AE 0，即? x z 0， x 32 y 12z 0， 取 m (3， 3， 3) 同理可得，平面 ACE 的法向量为 n (0,1， 3) cos m， n m n|m|n| 2 3212 77 .又由图知二面角 D AE C 的平面角为锐角 二面角 D AE C 的余弦值为 77 .