2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.7正弦定理和余弦定理的应用课时跟踪检测（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.7 正弦定理和余弦定理的应用 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 距塔 68 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处则这只船的航行速度为 ( ) A.17 62 海里 /时 B 34 6 海里 /时 C.17 22 海里 /时 D 34 2 海里 /时 解析：如图，在 PMN 中 PMsin45 MNsin120 ， MN 68 32 34 6， v MN4 17 62 (海里 /时 ) 答案： A 2如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船

2、从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) A 8 km/h B 6 2 km/h C 2 34 km/h D 10 km/h 解析：设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知 sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得 ? ?110v 2 ? ?1102 2 12 2 11021 45，解得 v 6 2. 答案： B 3 (2017 届广东中山上学期期末 )如图所示，设 A， B 两点在河的两岸，一测量

3、者在 A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB 45 ， CAB 105=【 ;精品教育资源文库 】 = 后，就可以计算出 A， B 两点的距离为 ( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D 25 22 m 解析：由题意，得 B 30. 由正弦定理，得 ABsin ACB ACsinB， AB ACsin ACBsinB 50 2212 50 2(m)故选 A. 答案： A 4某人在 C 点测得某塔在南偏西 80 ，塔顶仰角为 45 ，此人沿南偏东 40 方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30 ，则塔高为 ( ) A

4、15 米 B 5 米 C 10 米 D 1 米 解析：如图所示，设塔高为 h，在 Rt AOC 中， ACO 45 ，则 OC OA h. 在 Rt AOD 中， ADO 30 ，则 OD 3h，在 OCD 中， OCD 120 ， CD 10，由余弦定理得 OD2 OC2 CD2 2OC CDcos OCD，即 ( 3h)2 h2 102 2h10cos120 ， h2 5h 50 0，解得 h 10 或 h 5(舍去 ) 答案： C 5有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20 ，现要将倾斜角改为 10 ，则斜坡长为( ) A 1 千米 B 2sin10 千米 C 2cos10 千米 D

5、 cos20 千米 解析 ： 由题意知 DC BC 1， BCD 160 ， BD2 DC2 CB2 2DC CBcos160 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 1 211cos(180 20) 2 2cos20 4cos210 ， BD 2cos10. 答案 ： C 6 (2017 届湖南师大附中月考 )如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得 BCD 15 ， BDC 30 ， CD 30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB ( ) A 5 6 B 15 3 C 5 2 D 15 6 解析：在 BCD 中，

6、CBD 180 45 135. 由正弦定理得 BCsin30 30sin135 ，所以 BC 15 2. 在 Rt ABC 中， AB BCtan ACB 15 2 3 15 6.故选 D. 答案： D 7在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30 ， 60 ，则塔高为 ( ) A.4003 m B 400 33 m C.200 33 m D 2003 m 解析：如图所示，在 Rt BAC 中， ABC 30 ， AB 200， BC ABcos30 4003 3. EBD 30 ， EBC 60 ， DBC 30 ， BDC 120. 在 BDC 中， DCsin30

7、BCsin120 . =【 ;精品教育资源文库 】 = DC BCsin30sin120 4003 31232 4003 (m) 答案： A 8 (2017 届潍坊模拟 )校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和30 ，第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示 )，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为 50 s，升旗手应以 _m/s 的速度匀速升旗 解析：依题意可知 AEC 45 ， ACE 180 60 15 105 ， EAC 180 45 105 30. 由正弦定理可知 CE

8、sin EAC ACsin CEA， AC CEsin EACsin CEA 20 3 m. 在 Rt ABC 中， AB ACsin ACB 20 3 32 30 m. 国歌时长为 50 s， 升旗速度为 3050 0.6 m/s. 答案： 0.6 9如图，在 ABC 中， sin ABC2 33 ， AB 2，点 D 在线段 AC 上，且 AD 2DC， BD 4 33 ，则 cos C _. 解析：由条件得 cos ABC 13， sin ABC 2 23 . 在 ABC 中，设 BC a， AC 3b， 则由余弦定理得 9b2 a2 4 43a. 因为 ADB 与 CDB 互补， 所以

9、 cos ADB cos CDB， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以4b2 163 416 33 bb2 163 a28 33 b， 所以 3b2 a2 6， 联立 解得 a 3， b 1，所以 AC 3， BC 3. 在 ABC 中， cos C BC2 AC2 AB22BC AC 32 32 22233 79. 答案： 79 10某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45 ，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mi

10、le/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 .? ?sin21.8 3 314 解：如图所示，根据题意可知 AC 10， ACB 120 ，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB 21t， BC 9t，在 ABC 中，根据余弦定理得 AB2 AC2 BC2 2AC BCc os120 ，所以 212t2 102 81t2 2109 t 12，即 360t2 90t 100 0，解得 t 23或 t 512(舍去 )所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 23 h此时 AB 14， BC 6. 在 ABC 中，根据正弦定理，得 BCsin CAB ABsin1

11、20 ， 所以 sin CAB6 3214 3 314 ， 即 CAB21.8 或 CAB158.2( 舍去 )， 即舰艇航行的方位角为 45 21.8 66.8. 所以舰艇以 66.8 的方位角航行，需 23 h 才能靠近渔轮 能 力 提 升 1 (2018 届广东深圳第二次调研 )如图，在凸四边形 ABCD 中， AB 1， BC 3， AC CD，AC CD.当 ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：设 AC CD x，在 ABC 中，由余弦定理知 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC，所以 x2 1 3 2 3cos ABC

12、. 由正弦定理得 ACsin ABC ABsin ACB，即 sin ACBsin ABCx . 在 BCD 中，由余弦定理知， BD 3 x2 2 3xcos? ? 2 ACB 3 x2 2 3xsin ACB， 将 式代入化简得， BD 7 2 6sin? ? ABC 4 . 因为 ABC (0， ) ， 所以 sin? ? ABC 4 可以取到最大值 1，所以 |BD|max 7 2 6 6 1. 答案： 6 1 2 (2017 届盐城一模 )如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB， AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，

13、 N(异于村庄 A)，要求 PM PN MN 2(单位：千米 )如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与村庄的距离最远 )? 解：设 AMN ，在 AMN 中， MNsin60 AM . 因为 MN 2，所以 AM 4 33 sin(120 ) 在 APM 中， cos AMP cos(60 ) AP2 AM2 MP2 2AM MPcos AMP 163 sin2(120 ) 4 22 4 33 sin(120 )cos(60 )163 sin2( 60) 16 33 sin( 60)cos( 60) 4 831 cos(2 120) 8 33 sin(2 120) 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 83 3sin(2 120) cos(2 120) 203 203 163sin(2 150) ， (0 ， 120) 当且仅当 2 150 270 ，即 60 时， AP2取得最大值 12，即 AP 取得最大值2 3. 所以设计 AMN 60 时，工厂产生的噪声对居民影响最小