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类型二面角大小的几种求法(归类总结分析).doc

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:3230593
  • 上传时间:2022-08-09
  • 格式:DOC
  • 页数:11
  • 大小:403KB
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    关 键  词:
    二面角 大小 求法 归类 总结 分析
    资源描述:

    1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在其求解过程中,主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是,根据不同问题给出的几何背景,恰在此时当选择方法,作出二面角的平面角,有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )一、定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要

    2、注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例 空间三条射线 CA、CP、CB,PCA=PCB=60o,ACB=90o,求二面角 B-PC-A 的大小。PDA EC BF解:过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E,DFBC 于 F,连 E F.EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角,设 CD=a,PCA=PCB=600,CE=CF=2a,DE=DF= 3a ,又ACB=900,EF=2 2a ,EDF=3a2+3a2-23a28a2=131 / 6二、三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中

    3、,ABCD 是平行四边形,PA平面 ABCD,PA=AB=a,ABC=30,求二面角 P-BC-A 的大小。解:如图,PA平面 BD,过 A 作 AHBC 于 H,连结 PH,则 PHBC又 AHBC,故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。Lp在 RtABH 中,AH=ABsinABC=aSin30=a ;2a在 RtPHA 中 , tanPHA=PA/AH= = 2 , 则aADB H C 2PHA=arctan2.三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥 P-ABCD 中

    4、 ,ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,PA=AB=a,求 B-PC-D 的大小。P解:(垂面法)如图,PA平面 BD BDACH BDBC 过 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH、BHD AjBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。B C因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH 则 BH=a =DH,3又 BD= 2a 在BHD 中由余弦定理,得:cosBHD2 2 6 62( )a + a - 2a 2 2 2 3 3 1BH + DH - BD = = -2BH BD 6 6 2 2 a a3 3,又 0BHD2 / 6 ,则BHD

    5、=2p ,二面角 B-PC-D 的大小是 2p 。3 3II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )四、射影面积法:利用面积射影公式 S 射S 原 cosq ,其中q 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PAABa,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。PAD PA 解:(面积法)如图, 于 ,AD AB AD PBA APA AB = AIA D同时,BC平面 BPA 于 B ,故PBA 是PCD 在平面PBA 上的射影B Cl设平面 PBA 与平面 PDC

    6、所成二面角大小为,则 cos=sDPBASDPCD2= =452五、平移或延长(展)线(面)法:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。例 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PAABa,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。(补形化为定义法)解 :(补形化为定义法)如图,将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 NPABCD-PQMN,Q M3 / 6A DB OB则 PQPA、PD,于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中,PA=AD,则APD=45。即平面 BAP 与平

    7、面 PDC 所成二面角的大小为 45六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例(2009 天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA 平面 ABCD,AD/BC/FE,AB AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD。,(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;(II) 证明平面 AMD 平面 CDE;(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。解:如图所示,建立空间直角坐标

    8、系,以点 A 为坐标原点。设 AB = 1,依题意得 1,1 B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,2,0), E(0,1,1), F(0,0,1), .M 1 2 2(I)解 :BF = (-1,0,1), DE = (0,-1,1),BF DE 0 + 0 +1于是cos BF,DE = = =2 2BF DE1 2.所以异面直线BF与DE 所成的角的大小为600 . 1 1 ( II ) 证 明 : 由AM , , CE = (-1,0,1),= 1 2 2AD = (0,2,0),可得CE AM = 0 ,CE = 因此, , 又 I = ,故 平面AD 0. CE AM CE

    9、 AD. AM AD A CE AMD.4 / 6而CE 平面CDE,所以平面AMD 平面CDE.( III )解:设平面CDE的法向量为u =u(x,y,z),则uCEDE=0,0.- x + z = 0,于是 令x = 1,可得u =- y + z = 0.(1,1,1).又由题设,平面 ACD 的一个法向量为v = (0,0,1).18.(2008 湖北)如图,在直三棱柱ABC - A B C 中,平面 ABC 1 1 1侧面A ABB .1 1(I) 求证: AB BC ;(II) 若直线 AC 与平面 小为j ,A BC 所成的角为q ,二面角1A - BC - A 的大1试判断q

    10、与j 的大小关系,并予以证明.分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的 向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。a(答案:f ,且= arcsina + c2 2ac a ),b a +c a +c2 2 2 2由此可见,二面角的类型和求法可用框图展现如下:分析:所求二面角与底面 ABC 所在的位置无关,故不妨利用定义求解。略解:在二面角的棱 PB 上任取一点 Q,在半平面 PBA 和半平面 PBC 上作5 / 6QM PB,QN PB,则由定义可得 MQ

    11、N 即为二面角的平面角。设 PM=a,则在RtD PQM 和 RtD PQN 中可求得 QM=QN=3 a;又由D PQN D PQM 得 PN=a,故在正2三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN=1 ,即二面角3的余弦值为1 。3因为 AB=AD=a,PA AB PA AD PB PD =AB AD a= = ,PB = PD BC DC PBD PDC= D DPC PC= 。过 B 作 BHPC 于 H,连结 DH DHPC 故BHD 为二面角 B-PC-D的平面角。因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH,则 BH=a =DH3又 BD= 2a 。在BHD 中由余弦定理,得:cosBHD2 2 6 62( )a + a - 2a 2 2 2 3 3 1BH + DH - BD = = -2BH BD 6 6 2 2 a a3 3,又 0BHD则BHD=2p ,二面角 B-PC-D 的大小是 2p 。3 36 / 6

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