二面角大小的几种求法(归类总结分析).doc
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- 关 键 词:
- 二面角 大小 求法 归类 总结 分析
- 资源描述:
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1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在其求解过程中,主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是,根据不同问题给出的几何背景,恰在此时当选择方法,作出二面角的平面角,有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )一、定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要
2、注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例 空间三条射线 CA、CP、CB,PCA=PCB=60o,ACB=90o,求二面角 B-PC-A 的大小。PDA EC BF解:过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E,DFBC 于 F,连 E F.EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角,设 CD=a,PCA=PCB=600,CE=CF=2a,DE=DF= 3a ,又ACB=900,EF=2 2a ,EDF=3a2+3a2-23a28a2=131 / 6二、三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中
3、,ABCD 是平行四边形,PA平面 ABCD,PA=AB=a,ABC=30,求二面角 P-BC-A 的大小。解:如图,PA平面 BD,过 A 作 AHBC 于 H,连结 PH,则 PHBC又 AHBC,故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。Lp在 RtABH 中,AH=ABsinABC=aSin30=a ;2a在 RtPHA 中 , tanPHA=PA/AH= = 2 , 则aADB H C 2PHA=arctan2.三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥 P-ABCD 中
4、 ,ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,PA=AB=a,求 B-PC-D 的大小。P解:(垂面法)如图,PA平面 BD BDACH BDBC 过 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH、BHD AjBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。B C因 PB= 2 a,BC=a,PC= 3 a,12PBBC=SPBC=12PCBH 则 BH=a =DH,3又 BD= 2a 在BHD 中由余弦定理,得:cosBHD2 2 6 62( )a + a - 2a 2 2 2 3 3 1BH + DH - BD = = -2BH BD 6 6 2 2 a a3 3,又 0BHD2 / 6 ,则BHD
5、=2p ,二面角 B-PC-D 的大小是 2p 。3 3II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )四、射影面积法:利用面积射影公式 S 射S 原 cosq ,其中q 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PAABa,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。PAD PA 解:(面积法)如图, 于 ,AD AB AD PBA APA AB = AIA D同时,BC平面 BPA 于 B ,故PBA 是PCD 在平面PBA 上的射影B Cl设平面 PBA 与平面 PDC
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