二面角大小的几种求法(归类总结分析).pdf

1、1/6二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线

2、，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例 空间三条射线 CA、CP、CB，PCA=PCB=60o，ACB=90o，求二面角 B-PC-A 的大小。解：过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，连 EF.EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a，PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF=a3，又ACB=900，EF=2 2a，EDF=31328332222aaaaPBCAEFD2/6二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的

3、平面角。例在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的大小。解：如图，PA平面 BD，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30=2a；在 RtPHA 中，tanPHA=PA/AH=22aa，则PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例在四棱锥 P-ABCD 中，

4、ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。解：（垂面法）如图，PA平面 BDBDACBDBC过 BD 作平面 BDHPC 于 HPCDH、BHBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。因PB=2a,BC=a,PC=3a,12PBBC=SPBC=12PCBH则BH=3a=DH，又 BD=2a在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD2222226623312266233aaaBHDHBDBH BDaa，又 0BHD?p?A?B?C?D?L?H?j?A?B?C?D?P?H3/6?P?Q?M?N?B?O?D?A?B，则BHD=23，二面角 B-PC-D 的大小是

5、23。II.寻找无棱二面角的平面角的方法寻找无棱二面角的平面角的方法(射影面积法射影面积法、平移或延长平移或延长(展展)线线(面面)法法)四、射影面积法：利用面积射影公式 S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。解：（面积法）如图，ADPAADABADPBAAPAABA于，同时，BC平面 BPA 于 B，故PBA 是PCD 在平面PBA 上的射影设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为，则 cos=22PBAPCDsS=45五、平

6、移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体ABCD-PQMN，?l?A?B?C?D?P4/6则 PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，则APD=45。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是

7、非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例（2009 天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA平面 ABCD,AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD。,(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II)证明平面 AMD平面 CDE；(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设，1AB依题意得，001B，011C，020D，110E，100

8、F.21121M，（I），解：101BF，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.（II）证明：，由21121AM，101CE0AMCE020AD，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，5/6.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（III）.0D0)(CDEEuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面.111(1.00），可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v18.（2008 湖北）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面ABC 侧面11A AB

9、B.(I)求证：ABBC；(II)若直线AC与平面1ABC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB1A1平面 BCC1B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：22arcsincaa，且2222,acab acac）由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：分析：所求二面角与底面 ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱 PB 上任取一点 Q，在半平面 PBA 和半平面 PBC

10、上作6/6QMPB，QNPB，则由定义可得MQN 即为二面角的平面角。设 PM=a,则在RtPQM 和 RtPQN 中可求得 QM=QN=23a；又由PQNPQM 得 PN=a,故在正三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cosMQN=31，即二面角的余弦值为31。因为 AB=AD=a，PAABPAADPBPDABADa，PBPDBCDCPBDPDCPCPC 。过 B 作 BHPC 于 H，连结 DHDHPC故BHD 为二面角 B-PC-D的平面角。因 PB=2a,BC=a,PC=3a,12PBBC=SPBC=12PCBH，则 BH=3a=DH又 BD=2a。在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD2222226623312266233aaaBHDHBDBH BDaa，又 0BHD则BHD=23，二面角 B-PC-D 的大小是23。