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类型2019年高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.7数学归纳法课时跟踪检测(理科).doc

  • 上传人(卖家):flying
  • 文档编号:32301
  • 上传时间:2018-08-12
  • 格式:DOC
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    资源描述:

    1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.7 数学归纳法 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1若 f(n) 1 12 13 ? 16n 1(n N*),则 f(1)为 ( ) A 1 B 15 C 1 12 13 14 15 D非以上答案 解析:等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数,且最大分母为 6n 1,则当 n 1时,最大分母为 5,故选 C. 答案: C 2平面内 有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为 ( ) A n 1 B 2n C.n2 n 22 D n2 n 1 解析: 1 条直线将平面分成 1 1 个区域; 2 条直线最多可将平面分成

    2、1 (1 2) 4 个区域; 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域; ? ; n 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3 ? n) 1 n n2 n2 n 22 个区域 答案: C 3用数学归纳法证明 “ n3 (n 1)3 (n 2)3(n N*)能被 9 整除 ” ,利用归纳法假设证明 n k 1 时,只需展开 ( ) A (k 3)3 B (k 2)3 C (k 1)3 D (k 1)3 (k 2)3 解析:假设 n k 时,原式 k3 (k 1)3 (k 2)3能被 9 整除,当 n k 1 时, (k 1)3 (k 2)3 (k 3)3为了能用上面的归纳假设,

    3、只需将 (k 3)3展开,让其出现 k3即可 答案: A 4利用数学归纳法证明 “( n 1)(n 2)?( n n) 2n13?(2 n 1), n N*” 时,从 “ n k” 变到 “ n k 1” 时,左边应增乘的因 式是 ( ) A 2k 1 B 2(2k 1) C.2k 1k 1 D 2k 3k 1 解析:当 n k(k N*)时, 左式为 (k 1)(k 2)?( k k); =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n k 1 时,左式为 (k 1 1)( k 1 2)?( k 1 k 1)( k 1 k)( k 1 k 1), 则左边应增乘的式子是 k kk 1 2(2k 1)

    4、答案: B 5用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时, xn yn能被 x y 整除 ” ,当第二步假设 n2k 1(k N*)命题为真时,进而需证 n _时,命题亦真 解析: n 为正奇数,假设 n 2k 1 成立后,需证明的应为 n 2k 1 时成立 答案: 2k 1 6设数列 an的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有: (Sn 1)2 anSn,通过计算S1, S2, S3,猜想 Sn _. 解析:由 (S1 1)2 S21得, S1 12; 由 (S2 1)2 (S2 S1)S2得, S2 23; 由 (S3 1)2 (S3 S2)S3得 , S3 34. 猜想 Sn

    5、nn 1. 答案: nn 1 7用数学归纳法证明 1 2 3 ? n2 n4 n22 ,则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上的项为 _ 解析:当 n k 时左端为 1 2 3 ? k (k 1) (k 2) ? k2, 则当 n k 1 时,左端为 1 2 3 ? k2 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2, 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2. 答案: (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2 8用数学归纳法证明不等式 1n 1 1n 2 ? 1n n1324的过程中,由 n k 推导 n k1 时,不等式的左边增加的式子是 _ 解析:不等式

    6、的左边增加的式子是 12k 1 12k 2 1k 1 1k k ,故填1k k . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案: 1k k 9用数学归纳法证明等式 12 22 32 42 ? ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1 n n2 . 证明: 当 n 1 时,左边 12 1, 右边 ( 1)0 2 1,左边右边,原等式成立 假设 n k(k N*)时,等式成立,即有 12 22 32 42 ? ( 1)k 1 k2 ( 1)k1 k k2 . 那么,当 n k 1 时,则有 12 22 32 42 ? ( 1)k 1 k2 ( 1)k(k 1)2 ( 1)k 1 k k2 ( 1)k( k

    7、 1)2 ( 1)k k 12 k 2(k 1) ( 1)k k k2 . n k 1 时,等式也成立, 由 知对任意 n N*有 12 22 32 42 ? ( 1)n 1 n2 ( 1)n 1 n n2 . 10设等差数列 an的公差 d0,且 a10.记 Tn 1a1a2 1a2a3 ? 1anan 1. (1)用 a1, d 分别表示 T1、 T2、 T3,并猜想 Tn; (2)用数学归纳法证明你的猜想 解: (1)T1 1a1a2 1a1 a1 d; T2 1a1a2 1a2a3 ? ?1a1 1a2 1a2 1a3 1d ? ?1a1 1a1 2d 1d 2a1 a1 2d; T3

    8、 1a1a2 1a2a3 1a3a4 ? ?1a1 1a2 1a2 1a3 1a3 1a4 1d ? ?1a1 1a1 3d 1d 3a1 a1 3d. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由此可猜想 Tn na1 a1 nd. (2)证明: 当 n 1 时, T1 1a1 a1 d,结论成立 假设当 n k 时 (k N*)时结论成立, 即 Tk ka1 a1 kd. 则当 n k 1 时, Tk 1 Tk 1ak 1ak 2 ka1 a1 kd 1a1 kd a1 k dk a1 kda1 a1 kd a1 k d k 1a1a1 k d. 即 n k 1 时,结论成立 由 可知, Tn n

    9、a1 a1 nd对于一切 n N*恒成立 能 力 提 升 1 (2017 届湖北宜昌一中模拟 )已知函数 f(x) 13x3 x,数列 an满足条件: a11 , an 1 f( an 1)试比较11 a111 a211 a3 ? 11 an与 1 的大小,并说明理由 解: f( x) x2 1, an 1 f( an 1), an 1( an 1)2 1. 函数 g(x) (x 1)2 1 x2 2x在区间 1, ) 上单调递增,于是由 a11 ,得 a2( a1 1)2 12 2 1, 进而得 a3( a2 1)2 12 4 123 1. 由此猜想: an2 n 1. 下面用数学归纳法证明

    10、这个猜想: 当 n 1 时, a12 1 1 1,结论成立; 假设 n k(k1 且 k N*)时结论成立,即 ak2 k 1,则当 n k 1 时,由 g(x) (x 1)2 1 在区间 1, ) 上单调递增知, ak 1( ak 1)2 12 2k 12 k 1 1,即 n k 1时,结论也成立 由 知,对任意 n N*,都有 an2 n 1. 即 1 an2 n, 11 an 12n. 11 a1 11 a2 11 a3 ? 11 an 12 122 123 ? 12n 1 ? ?12 n0) a1、 a2、 a4成等比数列, a22 a1 a4?(1 d)2 1(1 3d)?d 1(d

    11、0), an n(n N*) (2) 根据题意要证 bn an,即证 bn n(n N*) 用数学归纳法证明如下: 当 n 1 时, b11 ,原不等式成立; 假设 n k 时原不等 式成立,即 bk k(k N*), 那么当 n k 1 时, bk 1 b2k (k 2)bk 3 bk(bk k 2) 3 bk(k k 2) 3 2bk 32 k 3k 1, 当 n k 1 时原不等式也成立, 综上可知 bn n(n N*),即 bn an. 证明:由 bn 1 b2n (n 2)bn 3 bn(bn n 2) 32 bn 3,而 bn 30, bn 1 3bn 32 , b1 34 , b2 3b1 32 , b3 3b2 32 , b4 3b3 32 , ? , bn 3bn 1 32 , bn 32 n 1(n N*), 0 1bn 3 12n 1, Tn 1b1 3 1b2 3 1b3 3 ? 1bn 3 122 123 124 ? 12n 1, Tn14?1 12n1 12 12 12n 112(n N*)

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